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1、计算方法函数逼近与计算2023/1/271本讲稿第一页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法什么是插值？什么是拟合？Chapter3函数逼近2023/1/272本讲稿第二页，共二十六页什么是插值？什么是拟合？7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2023/1/273本讲稿第三页，共二十六页实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2023/1/274本讲稿第四页，共二十六页 纤维强度随拉伸倍数增加而增加，并且24个点大致分布在一条直线附近，因此可以认为强度y与拉伸倍数x的主要关
2、系是线性关系：7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2023/1/275本讲稿第五页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2023/1/276本讲稿第六页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近仍然定义平方误差2023/1/277本讲稿第七页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近我们选取的度量标准是（7.1）2023/1/278本讲稿第八页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2023/1/279本讲稿第九页，共二十六页法方程组7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近由可知因此可假设二次函数
3、因此求最小二乘解转化为2023/1/2710本讲稿第十页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近由多元函数取极值的必要条件得即2023/1/2711本讲稿第十一页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近即2023/1/2712本讲稿第十二页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近引入记号则由内积的概念可知显然内积满足交换律2023/1/2713本讲稿第十三页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近将其表示成矩阵形式（7.7）2023/1/2714本讲稿第十四页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数
4、逼近并且其系数矩阵为对称阵。所以法方程组的系数矩阵非奇异,即根据Cramer法则,法方程组有唯一解：2023/1/2715本讲稿第十五页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近即是的最小值。所以因此误差平方和2023/1/2716本讲稿第十六页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近 例 已知观测数据(1,5),(2,0),(4,5),(5,6)，试用最小二乘法求形如 的经验公式。法一法一 解：解：求a、b使F最小，整理得：2023/1/2717本讲稿第十七页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近求得 a=1.537650114 b
5、=6.432976311 所求经验公式为 代入数据：例 已知观测数据(1,5),(2,0),(4,5),(5,6)，试用最小二乘法求形如 的经验公式。2023/1/2718本讲稿第十八页，共二十六页 例 已知观测数据(1,5),(2,0),(4,5),(5,6)，试用最小二乘法求形如 的经验公式。法方程组为 法二法二 解：解：7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2023/1/2719本讲稿第十九页，共二十六页 例 已知观测数据(1,5),(2,0),(4,5),(5,6)，试用最小二乘法求形如 的经验公式。7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2023/1/2720本讲稿
6、第二十页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近多项式拟合多项式拟合2023/1/2721本讲稿第二十一页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近2023/1/2722本讲稿第二十二页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近 例 已知一组观测数据表，试用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据。x0 1 2 3 4 5y5 2 1 1 2 3 解 作散点图，可以看出这些点接近一条抛物线，因此设所求的多项式为 其法方程组为 2023/1/2723本讲稿第二十三页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近得 a0=4.714
7、3,a1=-2.785 7,a2=0.500 0 2023/1/2724本讲稿第二十四页，共二十六页例 求一个经验函数,使它与观测数据拟合。x12345678y14.320.527.436.649.164.687.8117.67 曲线拟合的最小二乘法指数函数形式两边取对数,得解：x12345678y2.663.023.313.603.894.174.484.77求解直线拟合得a,b,2023/1/2725本讲稿第二十五页，共二十六页7 曲线拟合的最小二乘法基于Matlab的曲线拟合 用k次多项式拟合向量数据(x,y)，返回多项式的降幂系数，当k=n-1时，Polyfit实现多项式插值，这里n是向量维数。2023/1/2726本讲稿第二十六页，共二十六页