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1、量子力学第二章本讲稿第一页，共六十五页1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释（一）微观粒子的基本属性（一）微观粒子的基本属性 -波粒二象性波粒二象性（二）粒子状态经典描述的失效（二）粒子状态经典描述的失效 -测不准关系测不准关系（三）波函数及其统计解释（三）波函数及其统计解释 (四四)波函数的性质波函数的性质本讲稿第二页，共六十五页（一）微观粒子的基本属性（一）微观粒子的基本属性 -波粒二象性波粒二象性光光:1:1）是电磁波）是电磁波,具有干涉、衍射现象，有波动光学。具有干涉、衍射现象，有波动光学。2 2）是粒子，称为光子，）是粒子，称为光子，EinsteinEinstein的光量子论，光电
2、效应，的光量子论，光电效应，Compton Compton散射实验。散射实验。电子：电子：1 1）是粒子，有质量、电荷，有颗粒性。）是粒子，有质量、电荷，有颗粒性。2 2）是波，）是波，de Broglie de Broglie 假设，假设，Davisson Davisson 和和 Germer Germer 电子衍射实验。电子衍射实验。经典概念中经典概念中 1.1.有一定质量、电荷等，和有一定质量、电荷等，和“颗粒性颗粒性”的属性的属性;粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念中经典概念中 1.1.实在的物
3、理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。本讲稿第三页，共六十五页1 1、电子衍射实验、电子衍射实验1.1.入射电子流强度小，电子一个一个发射，开始显示电子的微粒性，长入射电子流强度小，电子一个一个发射，开始显示电子的微粒性，长 时时间亦显示衍射图样间亦显示衍射图样;2.2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样.电子源电子源感感光光屏屏OPPQQO微观粒子究竟是粒子还是波呢？电子既有粒子性又有波动性电子既有粒子性又有波动性本讲稿第四页，共六十五页2 2、电
4、子双缝干涉实验、电子双缝干涉实验比较经典粒子、经典波与微观粒子的粒子性和波动性的区别比较经典粒子、经典波与微观粒子的粒子性和波动性的区别（1 1）子弹双缝实验）子弹双缝实验 1 1(x)(x)和和 2 2(x)(x)分别为缝和缝单独打开时靶上子弹密度分布，分别为缝和缝单独打开时靶上子弹密度分布，1212(x)(x)为两缝同时打开时子弹密度分布。为两缝同时打开时子弹密度分布。1212(x)(x)=1 1(x)+(x)+2 2(x)(x)实验结果表明：子弹通过两缝的事件相互独立，无干涉现象，子弹通过狭缝实验结果表明：子弹通过两缝的事件相互独立，无干涉现象，子弹通过狭缝表现出经典粒子的行为。表现出经
5、典粒子的行为。本讲稿第五页，共六十五页(2)(2)声波双缝干涉实验声波双缝干涉实验 1 1(x)(x)和和 2 2(x)(x)分别为缝分别为缝1 1和缝和缝2 2单独打开时吸音板上声波的强度分布，单独打开时吸音板上声波的强度分布，1212(x)(x)为两缝同时打开时吸音板上声波的强度分布。为两缝同时打开时吸音板上声波的强度分布。实验结果：实验结果：1212(x)(x)1 1(x)+(x)+2 2(x)(x)，出现干涉现象。，出现干涉现象。干涉现象出现的原因：两列声波相干叠加干涉现象出现的原因：两列声波相干叠加本讲稿第六页，共六十五页（3 3）电子双缝干涉实验）电子双缝干涉实验S1S2电子源电子
6、源感感光光屏屏P 实验结果表明：1）在计数器上接收电子是一个一个的，电子枪发出一个电子，接收器上从来没有在两个以上地方同时接受到电子的一部分。电子表现出“粒子性”。2）电子表现出的干涉是自己与自己的干涉，不是不同电子之间的干涉，“波动性”是单个电子的行为。问题：一个电子怎样通过双缝产生干涉现象呢？本讲稿第七页，共六十五页 两种错误的看法两种错误的看法1 1）波由粒子组成）波由粒子组成如如水波，声波水波，声波，由电子密度疏密变化而形成的一种分布由电子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验不能解释长时间单个电子衍射实验。电子
7、一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。波由粒子组成的看法波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。性的一面，具有片面性。O 事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子才能理解氢原子（只含（只含一个电子！）中电子运动的稳定性
8、以及能量量子化这样一些量子现象。一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。3 3、微观粒子的波粒二象性、微观粒子的波粒二象性本讲稿第八页，共六十五页2 2）粒子由波组成）粒子由波组成电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包
9、是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小会超过原子大小1 1 。本讲稿第九页，共六十五页 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子
10、？还是波？“电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也不，既不是经典的粒子也不是经典的波。是经典的波。但是我们也可以说，但是我们也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一波动二重性矛盾的统一”。这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。与物质相互作用时，表现粒子性；运动过程中体现波动性。与物质相互作用时，表现粒子性；运动过程中体现波动性。这就是这就是微观粒子的基本属性。微观粒子的基本属性。本讲稿第十页，共六十五页（二）粒子状态经典描述的失效（二）粒子状态经
11、典描述的失效 -测不准关系测不准关系 经典力学描述一个粒子的状态：用两个物理量，经典力学描述一个粒子的状态：用两个物理量，Heisenberg不确定性原理：同时精确知道一个粒子的位置和动量是不确定性原理：同时精确知道一个粒子的位置和动量是不可能的，其不确定程度满足如下关系：不可能的，其不确定程度满足如下关系：x p h称为测不准关系。称为测不准关系。测不准关系是一个基本规律，它是微观粒子波粒二象性的反映。由此可知，经测不准关系是一个基本规律，它是微观粒子波粒二象性的反映。由此可知，经典的轨道概念将不复存在，用典的轨道概念将不复存在，用 描述状态的方式失效。描述状态的方式失效。本讲稿第十一页，共
12、六十五页（三）波函数及其统计解释（三）波函数及其统计解释1.1.波函数波函数称为称为 de deBroglie Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。波。此式称为自由粒子的波函数。描写自由粒子的平描写自由粒子的平 面面 波波 如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的波函数，描写粒子状态的波函数，它通常是一个它通常是一个复
13、函数复函数。本讲稿第十二页，共六十五页 r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几率点附近的几率在电子衍射实验中，在电子衍射实验中，照相底片上照相底片上 2.2.波函数的波函数的BornBorn几率解释几率解释19261926年年BornBorn提出了几率波的概念提出了几率波的概念,用波函数把波粒二象性统一描述。用波函数把波粒二象性统一描述。本讲稿第十三页，共六十五页 因此，因此，描写粒子的波是几率波，反映微观客体运动的
14、一种统计规律描写粒子的波是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数性，波函数(r,t)(r,t)也称为几率幅。也称为几率幅。假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r,t)(r,t)描述，与光学相似，描述，与光学相似，衍射花纹的强度则用衍射花纹的强度则用|(r,t)|(r,t)|2 2 描述，但意义与经典波不同。描述，但意义与经典波不同。|(r,t)|(r,t)|2 2 的意义是代表电子的意义是代表电子t t时刻出现在时刻出现在 r r 点附近几率的大小，确切的说，点附近几率的大小，确切的说，|(r,t)|(r,t)|2 2 x y z x y z 表示表示t t时刻在时刻在 r r 点处
15、，体积元点处，体积元xyzxyz中找到中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，率成比例，显然显然 ，(r,t)(r,t)本身不是可观测量，本身不是可观测量，|(r,t)|(r,t)|2 2 是可观测量。是可观测量。量子力学的基本假设（原理）量子力学的基本假设（原理）1 1：微观粒子的运动状态有波函数：微观粒子的运动状态有波函数完全描述。完全描述。本讲稿第十四页，共六十五页（四）波函数的性质（四）波函数的性质 在在 t t 时刻，时刻，r r点，点，d=dxdydz d=d
16、xdydz 体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数(r,t)(r,t)描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是：d W(r,t)=|(r,t)|d W(r,t)=|(r,t)|2 2 d d，其中其中 C C 是比例系数。是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：（1 1）几率和几率密度）几率和几率密度 在在 t t 时刻时刻 r r 点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是：(r,t)=dW(r,t)/d=|(r,t)|(r,t)=dW(r,t)/d=|(r,t)|2 2 称为几率密度。称为几率密度。在体积在体积
17、 V V 内，内，t t 时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为：W(t)=W(t)=V VdW=dW=V V(r(r，t)d=t)d=V V|(r,t)|(r,t)|2 2dd本讲稿第十五页，共六十五页（2 2）单值、连续、平方可积单值、连续、平方可积 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：|(r,t)|(r,t)|2 2 d=1 d=1,要求描写粒子量子状态的要求描写粒子量子状态的波函数波函数 必须是绝对值平必须是绝对值平方可积的函数。方可积的函
18、数。注意：自由粒子波函数注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。题，以后再予以讨论。本讲稿第十六页，共六十五页（3 3）归一化波函数）归一化波函数 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 2 倍），则倍），则相应的波动能量将为原来的相应的波动能量将为原来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。态。经典波无归一化问题。(r,t)(r,t)和和 C(r,t)C(r,t)所描写状所描写状态的相对几率是相同的
19、，这里的态的相对几率是相同的，这里的 C C 是常数。是常数。因为在因为在 t t 时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r r1 1 和和 r r2 2 处找到粒子的相对几率之处找到粒子的相对几率之比是：比是：由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r,t)(r,t)和
20、和 C(r,t)C(r,t)描述同一状态描述同一状态可见，可见，(r,t)(r,t)和和 C(r,t)C(r,t)描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。定性。本讲稿第十七页，共六十五页归一化常数 若若 (r,t)(r,t)没有归一化，没有归一化，|(r,t)|(r,t)|2 2 d=A d=A（A A 是大于零的常数），则有是大于零的常数），则有|(A)(A)-1/2-1/2(r,t)(r,t)|2 2 d=1 d=1 也就是说，也就是说，(A)(A)-1/2-1/2(r,t)(r,t)是归一化的波函数，与是归一化的波函数，与(r,t)(
21、r,t)描描写同一几率波，写同一几率波，(A)(A)-1/2 -1/2 称为归一化因子称为归一化因子。注意：对归一化波函数仍有一个注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性模为一的因子不定性。若。若(r,t (r,t)是归一化波函数，那么，是归一化波函数，那么，expiexpi(r,t)(r,t)也是归一化波函数（其中也是归一化波函数（其中是是实数），与前者描述同一几率波。实数），与前者描述同一几率波。本讲稿第十八页，共六十五页（4 4）平面波归一化）平面波归一化I Dirac -函数函数 定义：定义：或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=xx=x0 0 邻域连续邻域连续的任何函数的
22、任何函数 f f（x x）有：）有：函数函数 亦可写成亦可写成 Fourier Fourier 积分形式：积分形式：令令 k=p k=px x/,dk=dp,dk=dpx x/,则则 性质：性质：0 x0 x本讲稿第十九页，共六十五页II II 平面波平面波 归一化归一化写成分量形式写成分量形式t=0 t=0 时的平面波时的平面波考虑一维积分考虑一维积分若取若取 A A1 12 2 2 2 =1=1，则，则 A A1 1=2=2 -1/2-1/2,于是于是平面波可归一化为平面波可归一化为函数函数本讲稿第二十页，共六十五页三维情况：三维情况：其中其中注意：注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不
23、表示几率密度，依然只是表示平这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。本讲稿第二十一页，共六十五页作作 业业 补补 充充 题题本讲稿第二十二页，共六十五页2 2 态叠加原理态叠加原理（一）动量分布几率（一）动量分布几率粒子处在状态粒子处在状态 （r r）:在空间点找到粒子的几率正比于在空间点找到粒子的几率正比于|(r)|2。问题：在该状态测量粒子的动量，情况如何呢？问题：在该状态测量粒子的动量，情况如何呢？1 1、设、设为单色平面波为单色平面波(波长为波长为、频率为、频率为 ），则按
24、照），则按照de Brogliede Broglie关系，粒关系，粒子的动量为子的动量为 p=h/p=h/，能量为，能量为 E=h E=h 。2 2、设、设为一个波包，由许多平面单色波叠加而成，即含有各种波长的分为一个波包，由许多平面单色波叠加而成，即含有各种波长的分波，在数学上，有波，在数学上，有 Fourier Fourier 展开（平面波展开）：展开（平面波展开）：其中 几率波的概念认为：展开式表示几率波的概念认为：展开式表示是平面波以一定的几率幅是平面波以一定的几率幅 (p)叠加而叠加而成，或者说，在该波包中含有动量为成，或者说，在该波包中含有动量为 p 的平面波的几率为的平面波的几率
25、为|(p)|2 。本讲稿第二十三页，共六十五页3、用晶体衍射实验测量电子的动量、用晶体衍射实验测量电子的动量 d 设动量为设动量为 p p 的电子，即波长为的电子，即波长为 =h/p=h/p的平面波，垂直入射到单晶表面，则衍射波沿的平面波，垂直入射到单晶表面，则衍射波沿一定的角度一定的角度 n n 出射，出射，n 由由 Bragg Bragg 公式决定公式决定:此式给出了衍射角此式给出了衍射角 n n 与入射粒子动量的关系，如与入射粒子动量的关系，如 1 1 与与 p p 的对应关系。的对应关系。由此，可以通过由此，可以通过 1 测出入射粒子的动量。测出入射粒子的动量。设入射波是一个波包，那么
26、，它的每一个分波（平面波）将按照各自的角分设入射波是一个波包，那么，它的每一个分波（平面波）将按照各自的角分布布 n n 出射，衍射波分解成一个波谱，在足够远处，它们在空间上分开。由衍出射，衍射波分解成一个波谱，在足够远处，它们在空间上分开。由衍射波谱得到两个信息：射波谱得到两个信息：（1 1）入射波中含有哪些波长成分，或者说有哪些动量成分（入射粒子动）入射波中含有哪些波长成分，或者说有哪些动量成分（入射粒子动量可能取哪些值）。量可能取哪些值）。(-(-说明上述论断）说明上述论断）本讲稿第二十四页，共六十五页 （2 2）衍射波谱中每种成分的强度）衍射波谱中每种成分的强度|f(1)|2正比于相应
27、的出射波的波幅正比于相应的出射波的波幅f(1)，从而，从而正比于入射波包中相应的正比于入射波包中相应的 Fourier Fourier 分波的波幅分波的波幅|(p)(p)|2 2 。在衍射图样中，衍射条纹的强度在衍射图样中，衍射条纹的强度|f(f(1 1)|2 2，对大量粒子入射的情况来说，它正，对大量粒子入射的情况来说，它正比于沿比于沿 1 方向出射的粒子数，对单个粒子入射来说，它对应于粒子沿方向出射的粒子数，对单个粒子入射来说，它对应于粒子沿 1 方向出射的方向出射的几率。几率。衍射图样反映出，入射粒子有多种可能的方向出射，并且，沿衍射图样反映出，入射粒子有多种可能的方向出射，并且，沿 1
28、方向出射的几率方向出射的几率为为|f(f(1 1)|2 2。即，对于一个入射粒子，在。即，对于一个入射粒子，在 1方向测到的几率方向测到的几率|f(1)|2|(p)|2。根据根据 1 与与 p p 的一一对应关系，可以说的一一对应关系，可以说,入射粒子动量为入射粒子动量为 p p 的几率的几率|(p)(p)|2 2 。由此，得出如下结论：由此，得出如下结论：处在状态处在状态(r)(r)的粒子，其动量在的粒子，其动量在 p p p+dp p+dp 范围内的几率为范围内的几率为|(p)(p)|2 2dp dp。本讲稿第二十五页，共六十五页(二二)量子态及其表象量子态及其表象 对于一个粒子，当描述它
29、的波函数对于一个粒子，当描述它的波函数 给定后，如测量其位置，则粒给定后，如测量其位置，则粒子位于子位于 点的几率密度为点的几率密度为 2 2。如测量其动量，则测得其动量为。如测量其动量，则测得其动量为 的几率的几率密度为密度为 。与与 由变换相联系。由变换相联系。实际上，当实际上，当 给定后，粒子所有力学量的测值几率分布就确定了。所以说，给定后，粒子所有力学量的测值几率分布就确定了。所以说，完全描述了一个三维空间中粒子的完全描述了一个三维空间中粒子的量子态量子态。波函数也称为。波函数也称为态函数态函数，或，或几率波幅几率波幅。由于由于 与与 一一对应，一一对应，可以完全等价地描述同一量子态。
30、因可以完全等价地描述同一量子态。因此，粒子的量子态可以用不同自变量的函数等价的描述，称为不同表象。此，粒子的量子态可以用不同自变量的函数等价的描述，称为不同表象。：坐标表象中的波函数坐标表象中的波函数。：动量表象中的波函数。动量表象中的波函数。本讲稿第二十六页，共六十五页若若(r)(r)已归一化，则已归一化，则 (p)(p)也是归一化的也是归一化的本讲稿第二十七页，共六十五页（三）态叠加原理三）态叠加原理 微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于的本质在于波的叠加性波的叠加性，即可相加性。因此，同光学中波的，即可相加性。因此，同
31、光学中波的叠加原理一样，叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加态叠加原理原理。本讲稿第二十八页，共六十五页 考虑一个粒子处于用波包考虑一个粒子处于用波包 描述的量子态，数学上通过描述的量子态，数学上通过FourierFourier变换变换可以表示成若干平面波的叠加：可以表示成若干平面波的叠加：其中的每一个平面波其中的每一个平面波描述粒子具有确定动量描述粒子具有确定动量 的量
32、子态。的量子态。实验上测量该粒子的动量时，可以得到多个不同的动量值，即展开式中所包含实验上测量该粒子的动量时，可以得到多个不同的动量值，即展开式中所包含的每一个平面波对应的动量值，并且，得到每一个动量值的相对几率是确定的。的每一个平面波对应的动量值，并且，得到每一个动量值的相对几率是确定的。怎样理解这样的测量结果呢？波包波包 所描述的量子态是粒子具有确定动量值的若干量子态的线性叠加，粒所描述的量子态是粒子具有确定动量值的若干量子态的线性叠加，粒子以确定的相对几率处在这些动量取确定值的态。子以确定的相对几率处在这些动量取确定值的态。本讲稿第二十九页，共六十五页 态叠加原理一般表述：态叠加原理一般
33、表述：若若1 1 ，2 2,.,.,n n,.,.是体系的一系列可能的状态，则这些态的线是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加性叠加 =C=C1 11 1+C+C2 22 2+.+C+.+Cn nn n+.+.(其中其中 C C1 1,C,C2 2,.,C,.,Cn n,.,.为复常数为复常数)。也是体系的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。处于处于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1 1态，部分的处于态，部分的处于2 2态态.，部分的处于，部分的处于n n，.一般情况下，如果一般情况下，如果1 1和和2 2 是体系的可能状态，那末它们的线性叠是体系的可能状态，那末它们的线性叠
34、加加 =C =C1 11 1+C+C2 22 2 也是该体系的一个可能状态，其中也是该体系的一个可能状态，其中C C1 1 和和 C C2 2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。本讲稿第三十页，共六十五页3 3 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 （一）力学量平均值（一）力学量平均值 （1 1）坐标平均值）坐标平均值 （2 2）动量平均值）动量平均值 （二）力学量算符（二）力学量算符 （1 1）动量算符）动量算符 （2 2）动能算符）动能算符 （3 3）角动量算符）角动量算符 （4 4）Hamilton Hamilton 算符算符本讲
35、稿第三十一页，共六十五页（一）力学量平均值（一）力学量平均值 在统计物理中知道，在统计物理中知道，当可能值为离散值时当可能值为离散值时:一个物理量的平均值等于物一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；几率求和；当可能值为连续取值时：当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值一个物理量出现的各种可能值乘上相应的乘上相应的几率密度求积分。几率密度求积分。基于波函数的几率含义，基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三
36、维。本讲稿第三十二页，共六十五页（1 1）坐标平均值）坐标平均值 为简单计，省去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）为简单计，省去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）,设设(x)(x)是归一化波函数，是归一化波函数，|(x)|(x)|2 2 是粒子出现在是粒子出现在x x点的几率密度，则点的几率密度，则 对三维情况对三维情况，设，设(r)(r)是归一化波函数，是归一化波函数，|(r)|(r)|2 2是粒子出现在是粒子出现在 r r 点的几率密度，则点的几率密度，则x x的平均值为的平均值为（2 2）动量平均值）动量平均值 一维情况一维情况：令：令(x)(x)是归一化波函数，相应动量表象
37、波函数为是归一化波函数，相应动量表象波函数为本讲稿第三十三页，共六十五页（二）力学量算符（二）力学量算符 由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写状由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式（称态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式（称为第一次量子化）。为第一次量子化）。（1 1）动量算符）动量算符 既然既然(x)(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为是归一化波函数，相应动量表象波函数为c(pc(px x)一一 一一 对应，相互等价的描述粒子的同一状态，那末动量的平均值也应对应，相互等价的描述粒子的同一状态，那末
38、动量的平均值也应可以在坐标表象用可以在坐标表象用(x)(x)表示出来。但是表示出来。但是(x)(x)不含不含p px x变量，为了能由变量，为了能由(x)(x)来确定动量平均值，动量来确定动量平均值，动量 p px x必须改造成只含自变量必须改造成只含自变量 x x 的形式，的形式，这种形式称为动量这种形式称为动量 p px x的算符形式，记为的算符形式，记为本讲稿第三十四页，共六十五页一维情况：一维情况：本讲稿第三十五页，共六十五页比较上面二式得两点结论：比较上面二式得两点结论：体系状态用坐标表象中的波函数体系状态用坐标表象中的波函数(r)(r)描写时，描写时，坐标坐标 x x 的算符就是其
39、自身，即的算符就是其自身，即说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。而动量而动量 p px x 在坐标表象（非自身表象）中的形在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：式必须改造成动量算符形式：三维情况：三维情况：本讲稿第三十六页，共六十五页 由归一化波函数由归一化波函数(r)(r)求力学量平均值时，必须把该力学量求力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在的算符夹在*(r)(r)和和(r)(r)之间之间,对全空间积分，即对全空间积分，即F 是任一是任一 力学量算力学量算符符本讲稿第三十七页，共六十五页（2 2）动能算符）动能算符（3 3）角
40、动量算符）角动量算符本讲稿第三十八页，共六十五页（4 4）Hamilton Hamilton 算符算符本讲稿第三十九页，共六十五页作作 业业 补充题补充题本讲稿第四十页，共六十五页4 Schr4 Schrdinger dinger 方程方程（一）引进方程的基本考虑一）引进方程的基本考虑 （二）自由粒子的运动方程（二）自由粒子的运动方程 （三）势场（三）势场 V(r)V(r)中运动的粒子的中运动的粒子的 Schr Schrdingerdinger方程方程（四）多粒子体系的（四）多粒子体系的SchrSchrdingerdinger方程方程本讲稿第四十一页，共六十五页 这些问题在这些问题在19261
41、926年年SchrSchrdinger dinger 提出了波动方程之后得提出了波动方程之后得到了圆满解决。到了圆满解决。微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：问题就是要解决以下两个问题：(1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；在各种情况下
42、，找出描述系统的各种可能的波函数；(2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。本讲稿第四十二页，共六十五页（一）引进方程的基本考虑（一）引进方程的基本考虑 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t t 粒子粒子的状态的状态 r r 和和 p p 。因为初条件知道的是坐标及其对时。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1 1）经典情况）经典情况本讲稿第四十三页，共六
43、十五页（2 2）量子情况）量子情况 3 3方程方程不能包含状态参量不能包含状态参量，如，如 p p,E E 等，否则方程只能等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。1 1因为因为 t=tt=t0 0 时刻，已知的初态是时刻，已知的初态是(r,t(r,t0 0)且只知道这样一个且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含只能含对时间对时间的一阶导数的一阶导数。2 2要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即，若，即，若1 1(r,t)(r,t)和和2
44、 2(r,t)(r,t)是方程是方程的解，那末的解，那末 (r,t)=C (r,t)=C1 11 1(r,t)+C(r,t)+C2 22 2(r,t)(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含、对时间的一阶导数对时间的一阶导数和和对坐标各阶导数的一次项对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开，不能含它们的平方或开方项。方项。本讲稿第四十四页，共六十五页（二）自由粒子运动方程（二）自由粒子运动方程这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E E。将。将对坐标
45、二次微商，得：对坐标二次微商，得：描写自由粒子波函数描写自由粒子波函数:应是所要建立的方程的解。应是所要建立的方程的解。将上式对将上式对 t t 微商，得：微商，得：本讲稿第四十五页，共六十五页满足上述构造方程的三个满足上述构造方程的三个条件条件讨论：讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能动量关系式通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能动量关系式 E=E=p p2 2/2/2 写成如下方程形式：写成如下方程形式：即得自由粒子运动方程（即得自由粒子运动方程（3 3）。）。(1)(2)(1)(2)式，得式，得然后，做算符替换：然后，做算符替换：本讲稿第四十六页，共六十五页（三
46、）势场（三）势场 V(r)V(r)中运动粒子的中运动粒子的 SchrSchrdinger dinger 方程方程 该方程称为该方程称为 SchrSchrdinger dinger 方程方程，也常称为，也常称为波动方程波动方程。它描述微。它描述微观世界中物质运动的基本规律。观世界中物质运动的基本规律。若粒子处于势场若粒子处于势场 V(r)V(r)中运动，则能动量关系变为：中运动，则能动量关系变为：将其作用于波函数将其作用于波函数做算符替换做算符替换本讲稿第四十七页，共六十五页（四）多粒子体系的（四）多粒子体系的 Schr Schrdinger dinger 方程方程 设体系由设体系由 N N 个
47、粒子组成，个粒子组成，质量分别为质量分别为 i i(i=1,2,.,N)(i=1,2,.,N)体系波函数记为体系波函数记为 (r(r1 1,r,r2 2,.,r,.,rN N;t);t)第第i i个粒子所受到的外场个粒子所受到的外场 U Ui i(r(ri i)粒子间的相互作用粒子间的相互作用 V(rV(r1 1,r,r2 2,.,r,.,rN N)则多粒子体系的则多粒子体系的 Schr Schrdinger dinger 方程可表示为：方程可表示为：本讲稿第四十八页，共六十五页多粒子体系多粒子体系 Hamilton Hamilton 量量对有对有 Z Z 个电子的原子，电子间相互作用为个电子
48、的原子，电子间相互作用为 Coulomb Coulomb 排斥作用：排斥作用：而原子核对第而原子核对第 i i 个电子的个电子的 Coulomb Coulomb 吸引能为：吸引能为：例如：例如：本讲稿第四十九页，共六十五页5 5 几率守恒，几率流密度几率守恒，几率流密度（一）定域几率守恒（一）定域几率守恒 （二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质本讲稿第五十页，共六十五页（一）（一）定域几率守恒定域几率守恒 考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子
49、而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即到它的几率总和应不随时间改变，即 在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在 t t 时刻时刻 r r 点点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：SchrSchrdingerdinger方程能否给出这一结论？本讲稿第五十一页，共六十五页证：考虑考虑 Schr Schrdinger dinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式：本讲
50、稿第五十二页，共六十五页在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有：中将上式积分，则有：闭区域闭区域上上找到粒子的找到粒子的总几率在单总几率在单位时间内的位时间内的增量增量J J是几率流密度，是几率流密度，是一矢量。是一矢量。所以所以(7)(7)式是几率（粒子数）守恒式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。的积分表示式。令令 Eq.Eq.（7 7）趋于趋于 ，即让积分对全空间进行，考虑到任何，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是式右面积分趋于零，于是 Eq.Eq.（7 7）