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1、第二章第二章波函数和波函数和薛定薛定谔方程方程 微微观粒粒子子的的基基本本属属性性不不能能用用经典典语言言确确切描述。切描述。量子力学用波函数描述微量子力学用波函数描述微观粒子的运粒子的运动状状态，波函数所遵从的方程，波函数所遵从的方程薛定薛定谔方方程是量子力学的基本方程。程是量子力学的基本方程。这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。主要介绍：1.二个基本假设：A.微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。B.描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。2.用定态薛定谔方程求解三个简单问题：A.一维无限深势阱B.一维谐振子C.势垒贯穿（隧道效应）1.波函数波函数：概率波的数学表达形式，概率
2、波的数学表达形式，描述微描述微观客体的运客体的运动状状态一般表示一般表示为复指数函数形式复指数函数形式2.1波函数及其波函数及其统计解解释例：例：一一维自由粒子的波函数自由粒子的波函数经典描述：典描述：沿沿x轴匀速直匀速直线运运动量子描述：量子描述：类比：比：单色平面波色平面波一定一定沿直沿直线传播播以坐以坐标原点原点为参考点，参考点，设 0，以速率，以速率u 沿沿+x 方向方向传播播（取（取实部）部）3 3个个问题？描写自由粒子的描写自由粒子的平平 面面 波波如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他的动量中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）
3、粒子的状态就不能和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的描写粒子状态的波函数，它通常波函数，它通常是一个是一个复函数复函数。称为称为 dedeBroglieBroglie 波。此式称为自由粒子的波函数。波。此式称为自由粒子的波函数。(1)(1)是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2)(2)如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3)(3)描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？三三维自由粒子波函数自由粒子波函数2.波函数的波函数的强度度模的平方模的平方
4、波函数与其共波函数与其共轭复数的复数的积例：例：一一维自由粒子：自由粒子：3.波函数的波函数的统计解解释光光栅衍射衍射电子衍射子衍射类比比I大大处到达光子数多到达光子数多I小小处到达光子数少到达光子数少I=0无光子到达无光子到达各光子起点、各光子起点、终点、路点、路径均不确定径均不确定用用I对屏上光子数分布作屏上光子数分布作概率性描述概率性描述各各电子起点、子起点、终点、路径点、路径均不确定均不确定对屏上屏上电子数分布子数分布作概率性描述作概率性描述电子到达子到达该处概率大概率大电子到达子到达该处概率概率为零零电子到达子到达该处概率小概率小光光栅衍射衍射电子衍射子衍射电子源电子源感感光光屏屏（
5、1 1）两种错误的看法）两种错误的看法.波由粒子组成波由粒子组成如如水波，声波水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。波由粒子组成的看法波由粒
6、子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。波动性的一面，具有片面性。PPOQQO事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。些量子现象。.粒子由波组成粒子由波组成粒子由波组成粒子由波组成l电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动
7、现象。波包的大续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。l什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。l实验上观测到的电子，总是处于一个
8、小区域内。例如在一个原子内，其实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小广延不会超过原子大小1 1 。l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“电子既不是粒子电子既不是粒子也不是波也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们但是我们也可以说，也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典概念中经典
9、概念中 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性;粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念中经典概念中 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。1.1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;电子源电子源感感光光屏屏QQOPP我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射
10、实验2.2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样.l结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。同实验中的统计结果。l波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，础上，Born Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点
11、的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几点附近的几率。率。在电子衍射实验中，在电子衍射实验中，照相底片上照相底片上 一般：一般：t 时刻时刻,到达空间到达空间r(x,y,z)处某体积处某体积dV内的粒子数内的粒子数 t 时刻，出现在空间（时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比粒子数与总粒子数之比 t 时刻，粒子出现在空间（时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积点附近单位体积内的概率内的概率 t时刻，粒子在空间分布的概率密度时刻，粒子在空间分布的概率密度的物理
12、意义：的物理意义：物质波的波函数不描述介质中运动物质波的波函数不描述介质中运动状态（相位）传播的过程状态（相位）传播的过程概率密度，粒子在空间分布的统计规律概率密度，粒子在空间分布的统计规律概率幅概率幅注意：干涉项干涉项4 4、波函数的波函数的归一化条件和一化条件和标准条件准条件粒子在整个空粒子在整个空间出出现的概率的概率为1 1 归一化条件一化条件对微微观客体的数学描述：客体的数学描述：脱离日常生活脱离日常生活经验，避免借用，避免借用经典典语言引起言引起的表的表观矛盾矛盾标准条件准条件 是是单值、有限、有限、连续的。的。平面波归一化平面波归一化IDirac 函数函数 定义：定义：或等价的表示
13、为：对在或等价的表示为：对在x=xx=x0 0 邻域邻域连续的任何函数连续的任何函数 f f（x x）有：有：函数函数 亦可写成亦可写成 Fourier Fourier 积分形式：积分形式：令令 k=k=p px x/,dkdk=dpdpx x/,则则 性质：性质：0 x0 xII II 平面波平面波 归一化归一化写成分量形式写成分量形式t=0 t=0 时的平面波时的平面波考虑一维积分考虑一维积分若取若取 A A1 12 2 2 2 =1=1，则则 A A1 1=2=2 -1/2-1/2,于于是是平面波可归一化为平面波可归一化为函数函数三维情况：三维情况：其中其中注意：注意：这样归一化后的平面
14、波其模的平方仍不表示几率密度，依这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。2.2态的迭加原理态的迭加原理态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加深对态迭加原理的理解。一、量子态和波函数一、量子态和波函数用波函数用波函数（r,t）来描述微观粒子的量子来描述微观粒子的量子态。当态。当（r,t）给定后，如果测量其位置，给定后，如果测量其位置，粒子出现在点的几率密度为粒子出现在点的几率密度为|2。波函数的统计解释也是
15、波粒二波函数的统计解释也是波粒二象象性的一种体性的一种体现。现。经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更程迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更斯原理。斯原理。描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？意义是否与经典相同？意义是否与经典相同？1、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理：二列经典波1与2线性相加，=a1+b2,相加后的也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以说明的。量子力学的二个态的迭加原理（P17 顺 2行）：如果1与2是体系的可能状态，那么它们的 线性迭加态=c
16、11+c22，（c1、c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。二、量子力学的态的迭加原理二、量子力学的态的迭加原理考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射 l=C=C1 11 1+C+C2 22 2 也是电子的可能状态。也是电子的可能状态。l空间找到电子的几率则是：空间找到电子的几率则是：l|2 2=|C=|C1 11 1+C+C2 22 2|2 2 l =(C =(C1 1*1 1*+C+C2 2*2 2*)(C)(C1 11 1+C+C2 22 2)l =|C =|C1 1 1 1|2 2+|C+|C2 22 2|2 2+C+C1 1*C C2 21 1*2 2+C
17、+C1 1C C2 2*1 12 2*P1 12 2S1S2电子源电子源感感光光屏屏电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度相干项相干项 正是由于相干项的正是由于相干项的出现，才产生了衍出现，才产生了衍射花纹。射花纹。一个电子有一个电子有 1 1 和和 2 2 两种可能的状两种可能的状态，态，是这两种状是这两种状态的叠加。态的叠加。2、双缝衍射实验中，衍射图样的产生证实了干涉项的存在。推广到任意多态的一般态迭加原理：3、态的迭加原理如果1、2、3是体系可能的状态，则它们的线性迭加态=c11+c22+c33=cii也
18、是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态时，体系部分处在1态、也部分处在2态，等，即各有一定几率处在迭加之前的各个态i。4、说明：说明：（1）量子力学使用最多的是把可以实现）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解为某一个算符本征态的迭加。的态分解为某一个算符本征态的迭加。（2）如同经典波的分解和迭加，量子力）如同经典波的分解和迭加，量子力学的态的迭加也是波函数的迭加。而不学的态的迭加也是波函数的迭加。而不是几率（是几率（|2）的迭加。）的迭加。数学表示式：数学表示式：其中，其中，是动量一定的平面波。这在数学是动量一定的平面波。这在数学上是成立的，这正好是非周期函数的傅里叶展开。上是成立的，这正好
19、是非周期函数的傅里叶展开。三、三、三、三、一个结论：一个结论：一个结论：一个结论：任何一个波函数都可以看作是各任何一个波函数都可以看作是各任何一个波函数都可以看作是各任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的迭加。种不同动量的平面波的迭加。种不同动量的平面波的迭加。种不同动量的平面波的迭加。例：例：例：例：电子在晶体表面反射后，电子可电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量能以各种不同的动量 p p 运动。具运动。具有确定动量的运动状态用有确定动量的运动状态用dedeBroglieBroglie 平面波表示平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态根据叠加原理，在晶体表面
20、反射后，电子的状态可表示可表示成成 p p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。dp p通常写成傅里叶变换的对称形式：通常写成傅里叶变换的对称形式：通常写成傅里叶变换的对称形式：通常写成傅里叶变换的对称形式：一维情况：说明：说明：1 1、在态、在态（r,tr,t）的粒子，它的动量没有确的粒子，它的动量没有确定的值，由上式可知：粒子可处于任何一定的值，由上式可知：粒子可处于任何一个态个态p p（r,tr,t），但是当粒子的状态确定但是当粒子的状态确定后，粒子动量集于某一确定值的几率是一
21、后，粒子动量集于某一确定值的几率是一定的。定的。2 2、由于量子力学的态的迭加原理是几率波、由于量子力学的态的迭加原理是几率波的迭加，所以的迭加，所以1 1+1 1=2=21不是新的态，不是新的态，只不过未归一化。在态只不过未归一化。在态=c=c1 11 1+c+c2 22 2进行进行测量时，发现粒子要么处在测量时，发现粒子要么处在1 1 ，要么处要么处在在2。薛定谔猫2.3薛定薛定谔方程方程薛定薛定谔方程是波函数方程是波函数 所遵从的基本方程，是所遵从的基本方程，是量子力学的基本假量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推之一，只能建立，不能推导，其正确性由其正确性由实验检验。建立建立（简单复
22、复杂，特殊特殊一般）一般）1.一一维粒子的粒子的薛定谔薛定谔方程方程一维自由粒子：一维自由粒子：一一维自由粒子：自由粒子：一一维自由粒子的薛自由粒子的薛定定谔方程：方程：式中：式中：振幅函数振幅函数与与驻波波类比比2.一一维定定态薛定薛定谔方程方程能量能量E和动量和动量Px与作用在波函数上的下列算与作用在波函数上的下列算符相当符相当若粒子处在一维势场中：若粒子处在一维势场中：一一维粒子的薛定粒子的薛定谔方程：方程：要求波函数要求波函数(x,t)的模方，只需求振幅函数的模方，只需求振幅函数(x）的模的模方。方。建立关于振幅函数建立关于振幅函数(x）的方程的方程振幅方程振幅方程*非相非相对论考考虑
23、自由粒子：自由粒子：势函数函数*代入代入得得即即一一维自由粒子的定自由粒子的定态方程方程*代入代入粒子在力粒子在力场中运中运动，且，且势能不随能不随时间变化化即即一一维定定态薛定薛定谔方程方程得得3.三三维定定态薛定薛定谔方程方程拉普拉斯算符拉普拉斯算符即即三三维定定态薛定薛定谔方程方程振幅函数振幅函数4.一般形式薛定一般形式薛定谔方程方程哈密哈密顿算符算符求定求定态问题：一一维：三三维：5.多粒子体系的多粒子体系的薛定薛定谔方程方程体系由体系由N个粒子组成（个粒子组成（N1）体系能量为：体系能量为：将能量公式变为算符公式将能量公式变为算符公式将能量公式变为算符公式将能量公式变为算符公式:将算
24、符公式同时作用在多粒子波函数将算符公式同时作用在多粒子波函数将算符公式同时作用在多粒子波函数将算符公式同时作用在多粒子波函数(r(r1 1,r,r2 2,t),t)上，这样就得到多粒子的薛定谔方程上，这样就得到多粒子的薛定谔方程:讨论：讨论：1、薛定薛定谔方程方程也称波动方程，描述在势场也称波动方程，描述在势场U中粒中粒子状态随时间的变化规律。子状态随时间的变化规律。2、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其它更基本原理或方程推导出来，它的正确从其它更基本原理或方程推导出
25、来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。性由它解出的结果是否符合实验来检验。3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。方程，相当于牛顿方程。4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。足自由粒子薛定谔方程。5、薛定谔方程是非相对论的方程。、薛定谔方程是非相对论的方程。求解求解问题的思路：的思路：1.写出具体写出具体问题中中势函数函数U(r)的形式代入方程的形式代入方程2.用分离用分离变量法求解量法求解3.用用归一化条件和一化条件和标准条件确定准条件确定积分常数分常数
26、只有只有E取某些特定取某些特定值时才有解才有解本征本征值本征函数本征函数4.讨论解的物理意解的物理意义，即求即求|2，得出粒子在空得出粒子在空间的概率分布。的概率分布。薛定谔的另一伟大科学贡献薛定谔的另一伟大科学贡献 What is life？薛定谔薛定谔薛定谔薛定谔(Schroding,1897-1961)(Schroding,1897-1961)奥地利奥地利奥地利奥地利人人人人,因发现原子理论的有效的新因发现原子理论的有效的新因发现原子理论的有效的新因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克形式一波动力学与狄拉克形式一波动力学与狄拉克形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-198
27、4)(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方因创立相对论性的波动方因创立相对论性的波动方因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程程一狄拉克方程程一狄拉克方程程一狄拉克方程,共同分享了共同分享了共同分享了共同分享了19331933年度诺贝尔物理学奖年度诺贝尔物理学奖年度诺贝尔物理学奖年度诺贝尔物理学奖2.4粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 （或几率流密度和几率守恒定律）（或几率流密度和几率守恒定律）本本节节要要引引入入几几率率流流密密度度概概念念，有有了了它它就可以把几率与电流联系起来。就可以把几率与电流联系起来。由由薛薛定定谔谔方方程程出出发发，讨讨论论粒粒子子
28、在在一一定定空空间间区区域域内内出出现现的的几几率率将将怎怎样样随随时时间间变变化。所以可以看作对薛定谔方程的讨论。化。所以可以看作对薛定谔方程的讨论。设设已归一化，已归一化，q为单粒子的电荷，则为单粒子的电荷，则|2=几率密度几率密度(w)；|2dV=dV的几率；的几率；|2q=电荷密度电荷密度()；|2qdV=dV的电荷。的电荷。几率流密度（几率流密度（J）含义含义=单位时间垂直流单位时间垂直流过单位面积几率。过单位面积几率。J公式公式=？先介绍几率的连续方程。先介绍几率的连续方程。若从数学上能推出如下公式：若从数学上能推出如下公式：通过类比，就可定义为几率流密度通过类比，就可定义为几率流
29、密度J，这个方程也就是几率的连续方程。这个方程也就是几率的连续方程。一、几率的连续方程与几率流密度一、几率的连续方程与几率流密度类比：已知电荷有连续方程：类比：已知电荷有连续方程：其中，其中，电荷密度电荷密度,电流密度。电流密度。薛定谔方程为薛定谔方程为:(1)对上述方程取复共轭得对上述方程取复共轭得 (2)在非相对论情况下，实物粒子没有产生和湮在非相对论情况下，实物粒子没有产生和湮灭，所以，在随时间的演化过程中，粒子数目灭，所以，在随时间的演化过程中，粒子数目保持不便。对一个粒子来说，在全空间中找到保持不便。对一个粒子来说，在全空间中找到粒子的概率之总和应不随时间变化粒子的概率之总和应不随时
30、间变化,即即:下面推导这个公式下面推导这个公式：定义：几率流密度定义：几率流密度得几率的连续方程：得几率的连续方程：二、几率守恒定律二、几率守恒定律对几率的连续方程：对几率的连续方程：两边对一个封闭的体积两边对一个封闭的体积V积分，并利用高斯公式，得积分，并利用高斯公式，得：表表示示：左左=体体积积V内内单单位位时时间间几几率率的的增增加加量量=右右=单单位位时时间间从从体体积积外外流流向向体体积积内内的的几几率率量量，这这就就是是几几率率守守恒恒定律。有连续方程一定有守恒定律，两者是等价的。定律。有连续方程一定有守恒定律，两者是等价的。几率守恒定律表明几率不会凭空产生，也不会凭空几率守恒定律
31、表明几率不会凭空产生，也不会凭空消失。消失。三、质量、电荷守恒定律三、质量、电荷守恒定律1wm=mw：质量密度，：质量密度，Jm=mJ：质量流密度。质量流密度。质质量守恒定律量守恒定律 2we=qw：电荷密度，：电荷密度，Je=qJ：电流密度。：电流密度。电荷守恒定律电荷守恒定律四、波函数标准条件：连续，单值，有限。四、波函数标准条件：连续，单值，有限。单值与有限，由波函数的统计含义所定。单值与有限，由波函数的统计含义所定。连续，由几率的连续方程所确定。连续，由几率的连续方程所确定。另外，一般情况下，还要求波函数一阶导数也连续。另外，一般情况下，还要求波函数一阶导数也连续。说明：说明：几率守恒
32、具有定域性质。当粒子在某地的概率减几率守恒具有定域性质。当粒子在某地的概率减小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使总概小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使总概率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实现这种率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。变化。连续性就意味着某种流的存在。一定态薛定谔方程一定态薛定谔方程条件：条件：V（r,t）=V(r)，与与t无关。无关。用用分分离离变变量量法法,令令=(r)f(t)，代代入入薛薛定定谔谔方程，得两个方程：方程，得两个方程：此称定态薛定谔方程此称定态薛定谔方程2.5定态薛定谔方程定态薛定谔方程整个定态波函数形式：
33、整个定态波函数形式：特点：特点：A.波函数由空间部分函数与时间部分函数波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘；相乘；B时间部分函数是确定的，为：时间部分函数是确定的，为：定态波函数几率密度定态波函数几率密度w与与t无关，几率分无关，几率分布不随时间而变，因此称为定态。布不随时间而变，因此称为定态。重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。算符算符本征方程：本征方程：本征值，有多个，甚至无穷多个。本征值，有多个，甚至无穷多个。：本本征征值值为为的的本本征征函函数数。也也有有多多个个，甚甚至至无无穷穷多多个个，有有时时一一个个本本征征值值对对应应多多个个不不同
34、同的的本本征征函函数数，这这称称为为简简并并。若若一一个个本本征征值值对对应应的的不不同同本本征征函函数数数数目目为为N，则则称称N重简并。重简并。二、本征方程、本征函数与本征值二、本征方程、本征函数与本征值上述用分离变量得到两个方程上述用分离变量得到两个方程都是本征方程：都是本征方程：（1）或或 （2）或或称为称为定态哈密顿算符定态哈密顿算符。定态薛定谔方程就是的本征方程。定态薛定谔方程就是的本征方程。薛定谔方程就可简写成：薛定谔方程就可简写成：设定态薛定谔方程的本征值为设定态薛定谔方程的本征值为En,本征函数本征函数为为，定态波函数为定态波函数为它是定态情况下的薛定谔方程：它是定态情况下的
35、薛定谔方程：的一个解。的一个解。三、三、定态情况下的薛定谔方程一般解定态情况下的薛定谔方程一般解定定态态情情况况下下的的薛薛定定谔谔方方程程的的一一般般解解，是是所有定态波函数所有定态波函数n的线性迭加：的线性迭加：说明：说明：1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，能量本征方程，E就称为体系的能量本征值就称为体系的能量本征值（energyeigenvalue），而相应的解而相应的解称为称为能量的本征函数能量的本征函数（energyeigenfunction）。2、是体系的哈密顿量算符，当不显含是体系的哈密顿量算符，当不显含t时，体系的能量是
36、守恒量，可用分离变量。时，体系的能量是守恒量，可用分离变量。3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。量算符。求解问题的思路：求解问题的思路：1.写出具体问题中势函数写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程的形式代入方程2.用分离变量法求解用分离变量法求解3.用归一化条件和标准条件确定积分常数用归一化条件和标准条件确定积分常数只有只有E 取某些特定值时才有解取某些特定值时才有解4.讨论解的物理意义讨论解的物理意义作作 业业周世勋：量子力学教程 2.1、2.2一、一维势阱实例一、一维势阱实例如：金属中的自由电子。如：金属中的自由电子。金属粒子有规则的排列
37、成行，金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内）电子在金属内部势能为常数，认定为零；部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。形式。2.6一维一维(无限深无限深)势阱势阱二、微分方程二、微分方程 的三种解形式。的三种解形式。这是二阶常系数微分方程，有三种等价的解：这是二阶常系数微分方程，有三种等价的解：a.b.c.依方便依方便,随取一种形式的解随取一种形式的解.三、三、一维无限深势阱求解一维无限深势阱求解1、一维无限深势阱、一维无限深势阱一个粒子处在这样势阱一个粒子处在这样势阱内内,
38、其质量为其质量为.具体例子具体例子:金属中电子可以金属中电子可以看成处在有限深势阱内看成处在有限深势阱内.-a0aV(x)IIIIII2、一维无限深势阱的薛定谔方程与求解、一维无限深势阱的薛定谔方程与求解.这这是是定定态态问问题题,只只需需解解出出定定态态波波函函数数n与定态能量与定态能量En即可即可.定态薛定谔方程定态薛定谔方程:3.一维无限深势阱问题求解一维无限深势阱问题求解l求解求解S方程分四步：方程分四步：l（1）列出各势域的一维）列出各势域的一维S方程方程l（2）解方程）解方程l（3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解l（4）定归一化系数）定归一化系数-a0aV(x)II
39、IIII（1 1 1 1）列出各势域的）列出各势域的）列出各势域的）列出各势域的 S S S S 方程方程方程方程方程可方程可简化为：简化为：-a0aV(x)IIIIII势势V(x)分为三个区域，分为三个区域，用用I、II和和III表示，表示，其上的波函数分别为其上的波函数分别为 I(x),II(x)和和 III(x)。则方程为：则方程为：2 2（3）使用波函数标准条件）使用波函数标准条件从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别是壁上和阱壁外波函数为零，特别是(-a)=(
40、a)=0。-a0aV(x)IIIIII 1.单值，成立；单值，成立；2.有限：当有限：当x-，有限有限条件要求条件要求C2=0。使用标准条件使用标准条件使用标准条件使用标准条件 3 3。连续：。连续：。连续：。连续：2 2）波函数导数连续：）波函数导数连续：l 在边界在边界 x=-ax=-a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：l若若 I I(-a)(-a)=IIII(-a)(-a)，则有，则有，0=Acos(-a)-Bsin(-a)l Acos(a)+Bsin(a)=0与上面波函数连续条件导出的结果与上面波函数连续条件导出的结果l -Asin(
41、a)+Bcos(a)=0矛盾，二者不能同时成立。所以波函数矛盾，二者不能同时成立。所以波函数l导数在有无穷跳跃处不连续。导数在有无穷跳跃处不连续。1）波函数连续：）波函数连续：-a0aV(x)IIIIII(1)+(2)(2)-(1)A、B不能同时为零，分两种情况：不能同时为零，分两种情况：由（由（4 4）式）式讨论讨论状态不存在状态不存在描写同一状态描写同一状态所以所以 m 只取正整数，即只取正整数，即于是：于是：或或于是波于是波函数：函数：由（由（3 3）式）式类似类似I中关于中关于m=k的的讨论可知：讨论可知：综合综合 I I、II II 结果，最后得：结果，最后得：对应对应n=2m对应对
42、应n=2m+1能量最低的态能量最低的态(n=1)=1)称为基态，其上为第一激发态、第二激发称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。态依次类推。由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，有限空间范围，在无限远处，有限空间范围，在无限远处，有限空间范围，在无限远处，=0=0=0=0。这样的状态，称这样的状态，称这样的状态，称这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成为束缚态
43、。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。分立谱。分立谱。分立谱。（4 4）由归一化条件定系数）由归一化条件定系数 A、B得：得：（取实数）（取实数）小结小结小结小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看由无穷深方势阱问题的求解可以看由无穷深方势阱问题的求解可以看由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解出，解出，解出，解S S S S 方程的一般步骤如下：方程的一般步骤如下：方程的一般步骤如下：方程的一般步骤如下：一、列出各势域上的一、列出各势域上的S S方程；方程；二、求解二、求解S S方程；方程；l三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定
44、未知三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；数和能量本征值；l四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。4.讨论讨论一维无限深一维无限深势阱中粒子势阱中粒子的状态的状态（2）n=0,E=0,=0，态不存在，无意不存在，无意义。而而n=k,k=1,2,.可见，可见，n 取负整数与正整数描写同一状态。取负整数与正整数描写同一状态。（1）n=1,基态，基态，与经典最低能量为零不与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动同，这是微观粒子波动性的表现，因为性的表现，因为“静止静止的波的波”是没有意义的。是没有意义的。（
45、3 3）n n*(x)=(x)=n n(x(x)即波函数是实函数。即波函数是实函数。（4 4）定定 态 波波 函函 数数能量本征值能量本征值 n=1,2,3,（5）波函数与几率分布图波函数与几率分布图(P28图图2.2,图图2.3)-a 0 a图 2.2-a 0 a图 2.3每每一一态态n可可看看成成向向x方方向向传传播播与与向向-x方向传播的二列平面波合成的驻波。方向传播的二列平面波合成的驻波。利用驻波条件也可得量子化能量公式。利用驻波条件也可得量子化能量公式。驻波条件驻波条件：2a=n/2,n=1,2,3,得得=4a/n.E=p2/2=h2/(22)=22n2/(8a2),n=1,2,3,
46、.（6）势阱坐标不同时的波函数与能量）势阱坐标不同时的波函数与能量A、势阱从势阱从02a.波函数（空间部分）为波函数（空间部分）为能量公式不变。能量公式不变。B、势阱从、势阱从0a.波函数（空间部分）为波函数（空间部分）为B、势阱从、势阱从0a.波函数（空间部分）为波函数（空间部分）为能量能量（此此即即书书上上44页页习习题题2.3解解。今今后后通通常常都都用用B的的势势阱阱坐坐标标，故故其其波波函函数数与与能能量量要要用用B的的波波函函数数与与能能量量）。在一维情况下，宇称的奇偶性与波函数的奇偶性是一致的。在一维情况下，宇称的奇偶性与波函数的奇偶性是一致的。四、宇称四、宇称（1 1）空间反射
47、：空间矢量反向的操作。）空间反射：空间矢量反向的操作。（2 2）此时如果有：）此时如果有：称波函数具有称波函数具有正宇称（正宇称（或偶宇称或偶宇称）；称波函数具有称波函数具有负宇称（负宇称（或奇宇称或奇宇称）；（3 3）如果在空间反射下，）如果在空间反射下，则波函数没有确定的宇称。则波函数没有确定的宇称。b)若若一一维维势势能能是是对对称称的的，即即V（x）=V(-x),则则其其波波函函数一定具有宇称（见数一定具有宇称（见P45习题习题2.6）。）。例例如如，一一维维无无限限深深势势阱阱，势势阱阱坐坐标标为为-aa,势势能能是是对称的，则其波函数具有宇称，对称的，则其波函数具有宇称，n=偶数，奇宇称；偶数，奇宇称；n=奇数，偶宇称。奇数，偶宇称。宇称是一个十分重要的物理概念。传统认为高能物宇称是一个十分重要的物理概念。传统认为高能物理中某一物理过程宇称是守恒的。杨振宁与李政道发理中某一物理过程宇称是守恒的。杨振宁与李政道发现了弱作用下宇称不守恒，并被吴健雄所做实验证实，现了弱作用下宇称不守恒，并被吴健雄所做实验证实，从而获诺贝尔物理奖。从而获诺贝尔物理奖。五、半无限深势阱五、半无限深势阱V(x)-a 0 a六、有限深方势阱六、有限深方势阱(曾教程曾教程p34)V(x)-a 0 a作作 业业周世勋：量子力学教程 2.3、2.4