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1、风险理论第三章本讲稿第一页，共四十二页第一节 损失分布的贝叶斯修正方法统计推断利用三种信息：总体信息、样本信息、先验信息。仅使用前两种的统计学是数理统计，三种信息都使用的是贝叶斯(Bayes)统计。贝叶斯假设、贝叶斯公式、相应的归纳推理方法构成了贝叶斯原理。在非寿险精算中，贝叶斯方法主要用于估计参数和修正损失分布、调整费率、校正责任准备金等。本讲稿第二页，共四十二页一、贝叶斯方法的步骤X的分布类型 ，密度函数族为 贝叶斯方法与经典的数理统计方法的基本区别：把参数看做随机变量而不是普通变量。本讲稿第三页，共四十二页（1）选择先验分布设 的（边缘）分布函数和密度函数分别为 和 ，并称为先验分布和先
2、验密度，他反应了评估者对参数 的情况有一个初步的看法或信念。（过去经验、知识或主观判断）本讲稿第四页，共四十二页（2）确定似然函数评估人针对损失变量X进行一些试验或观察，以获的一些新的信息，假设所获得的观察值为x1,x2,.,xn,则在 =0的假定下，可构造似然函数，并记为本讲稿第五页，共四十二页（3）确定参数 的后验分布按照关于条件概率的贝叶斯公式，可以求得关于参数 的后验分布，利用观察值x1,x2,.,xn之后的 的分布函数 和密度函数 。对于密度而言，有本讲稿第六页，共四十二页（4）选择差异函数选择一个适当函数，如y=x2来刻画参数的真实值与估计值之间差距的严重程度，“差异函数”，本质上
3、是评估人的“效用函数”本讲稿第七页，共四十二页（5）估计参数根据所选择的差异函数和参数的后验分布，求使差异函数的期望值最小的 ，作为参数 的贝叶斯估计值。离散情况：概率分布密度函数变为概率分布。本讲稿第八页，共四十二页二、先验分布的确定（一）数理统计方法关于参数 取值情况的历史数据或样本信息，则可利用第二章的方法，对参数在其取值范围上的先验概率进行估计。缺陷：要有足够样本信息。本讲稿第九页，共四十二页（二）主观判断法根据随机事件的客观条件或物理现象作出概率分布的判断。如：古典概型，根据每一个基本事件的客观物理条件，有理由推断每一基本事件是等可能的。几何概型，随机事件的客观条件爱你做出主观判断等
4、。本讲稿第十页，共四十二页（三）贝叶斯假设应用下述公式，须知道参数的先验分布，才能求出条件分布（后验分布）。贝叶斯假设：参数 无任何信息时，在其允许范围内机会均等，认为先验分布是它的取值域上的均匀分布。本讲稿第十一页，共四十二页（三）贝叶斯假设贝叶斯假设存在问题：1.均匀分布的存在性问题，参数 取值在一有限区间，均匀分布存在，反之不存在。（引入广义密度函数）2.均匀假设分布假设很难与客观实际相符，一般的，参数不一定服从均匀分布。（先验均匀，后验不一定均匀，但贝叶斯估计只需要后验分布）本讲稿第十二页，共四十二页三、后验分布的确定先验概率到后验概率直接利用贝叶斯公式本讲稿第十三页，共四十二页例，用
5、X表示n重伯努利试验中的成功次数，设：每次成功的概率为p，即XB(n,p).由于不知道p的大小，将其视为随机变量P并设其先验分布服从参数为 的Beta分布，试求P的后验分布。解：由于pBeta(),先验密度为又由于XB(n,p)，其似然函数为所以，正比式知P的后验密度可表示为由此看出，P的后验分布仍是Beta分布，即分布为Beta()本讲稿第十四页，共四十二页五、差异函数与贝叶斯估计量损失分布的未知参数 的贝叶斯估计值记为 ，如何确定这个函数？贝叶斯估计法:度量 与 的差异程度记为 被看做随机变量，不能直接求 的最小值，转而求其期望最小的值，即求解：本讲稿第十五页，共四十二页由于差异函数反映了
6、评估者的价值判断，选择什么样的差异函数具有很强主观性。介绍三种最常用的差异函数及其贝叶斯估计结果。本讲稿第十六页，共四十二页差异函数D 的贝叶斯估计值二次差异函数后验分布的均值绝对差异函数后验分布的中位数示性差异函数后验分布的众数本讲稿第十七页，共四十二页例 已知总体服从正态分布 ，其中 已知，未知，假定 的先验分布为广义分布 ，求参数 的三种常用差异函数的贝叶斯估计值。本讲稿第十八页，共四十二页解：查表得 的后验分布为 ，其中 为总体的m个样本，为样本的均值。由于正态分布均匀值、中位数、众数都相等（三位一体），所以参数 的三种贝叶斯估计量都相同，即：本讲稿第十九页，共四十二页（1）（2）（3
7、）本讲稿第二十页，共四十二页贝叶斯估计提供了一种修正损失分布的方法，损失的总体分布基本上是根据数理统计方法确定，但这个总体分布是否完全符合客观实际，或是否适合变化了的新情况？贝叶斯方法就是利用新的样本信息，对总体参数进行更有效的估计，从而得到更符合实际的损失分布。本讲稿第二十一页，共四十二页第二节 损失变量的边缘分布分布密度本讲稿第二十二页，共四十二页一、损失变量的联合分分布与条件分布1.联合分布2.条件分布本讲稿第二十三页，共四十二页二、损失变量的边缘分布若在具有两个损机变量(X,Y)的联合分布中只考虑其中一个损及变量X的分布状况，而不管另一个随机变量Y取什么值，或者说Y的任何可能取值都已经
8、考虑了，这时称只体现X的分布状况为X的边缘分布。本讲稿第二十四页，共四十二页用全概率公式（连续）（连续）（离散）（离散）钜母函数：钜母函数：求出相应的边缘分布求出相应的边缘分布本讲稿第二十五页，共四十二页例、假设某种风险不一定同质的众多保单，在某一保单年度内发生索赔例、假设某种风险不一定同质的众多保单，在某一保单年度内发生索赔的次数的次数N是服从参数是服从参数 的泊松分布，但参数的泊松分布，但参数 也是一个随机变量，也是一个随机变量，其（先验）分布密度其（先验）分布密度 是参数为是参数为 的伽玛分布。求索赔次数的伽玛分布。求索赔次数N的边缘分布。的边缘分布。解一：解一：由此看出，由此看出，N的
9、边缘分布是参数为的边缘分布是参数为的负二项分布。的负二项分布。本讲稿第二十六页，共四十二页解二：用钜母函数由此看出本讲稿第二十七页，共四十二页此例说明，当损失次数或索赔次数的条件分布时泊松分布，其参数又服从伽玛分布时，它的边缘分布是负二项分布。特别的，当参数 服从指数分布时，其边缘分布是几何分布。本讲稿第二十八页，共四十二页例、设某种保险标的的单次损失量X服从参数为 的指数分布，但参数 又服从参数为 的另一指数分布。求单次损失量X的边缘分布。解：即X的边缘分布是参数1，的帕拉图分布本讲稿第二十九页，共四十二页三、损失变量的条件分布与边缘分布的某些结果单次损失量的边缘分布与条件分布损失次数的边缘
10、分布与条件分布的结果。本讲稿第三十页，共四十二页 从损失量（单次损失量和损失次数）的条件分布求的它的边缘分布的过程，实际上是对损失分布进行修正的过程。注：1.损失变量的条件分布是由数理统计方法得到。2.参数的分布，首先可有评估人的主观选择得到它的先验分布。然后，通过贝叶斯方法，利用新样本信息得到它的后验分布。最后，把条件分布和参数的后验分布代入到全概率公式中，求出边缘分布。本讲稿第三十一页，共四十二页第三节 损失分布的Esscher变化如概率分布的尾部（损失量大的地方）与实际差别较大。某些标志值有可能改变。如何修改使尾部符合实际？本讲稿第三十二页，共四十二页一、Esscher变换方法X，F(x
11、),M(t).对于一个实数h，作变换：称 是F(x)具有参数h的Esscher变换。斯蒂吉斯积分对上式求微分，得本讲稿第三十三页，共四十二页再由上式得 钜母函数本讲稿第三十四页，共四十二页例、设随机变量X服从参数为 的泊松分布，求X的Esscher变换 的分布。解：因为X的钜母函数为 ，代入（2）式，得 的钜母函数为：即 是参数为 的泊松分布。注：h的值可调节分布密度（或分布律）尾部的厚度。(由（1）式)本讲稿第三十五页，共四十二页另：是h的递增函数，由（2）式说明h还可以调节原分布的均值。本讲稿第三十六页，共四十二页性质3 如果随机变量X的期望、方差和偏度都存在，则本讲稿第三十七页，共四十二
12、页如果我们对损失分布F(x)=PX=x的某个特定值x0感兴趣，或发现x0是实际损失分布的均值，则可运用Esscher方法对原损失分布F(x)进行修正。Esscher方法关键是选择h，使得：本讲稿第三十八页，共四十二页例、设某财险标的损失分布，通过数理统计方法拟合出它服从参数 =0.4的指数分布，但在后来的实务中，发现这种风险同质的财险标的发生的平均损失量都集中在数值4这个位置，与原拟合的损失分布的均值2.5有较大差别。试用Esscher变换修正原拟合损失分布。本讲稿第三十九页，共四十二页解：根据 式选择变换参数h，满足解得h=0.15，再由（1）式的原损失分布的Esscher变换后的分布密度函数为：即修正后的损失分布是参数0.25的指数分布。均值为4，尾部加厚 本讲稿第四十页，共四十二页指数函数的钜母函数：本讲稿第四十一页，共四十二页二、Esscher变换的某些结果1.（1）（2）（3）式都可用来求Esscher变换。2.由上两例知，泊松分布和指数分布在Esscher变换下仍然保持原来的分布。还有其它有此特性的分布。本讲稿第四十二页，共四十二页