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1、静力平衡问题1本讲稿第一页，共六十五页3.1 3.1 平面力系的平衡问题平面力系的平衡问题思路：研究对象思路：研究对象受力分析受力分析平衡方程平衡方程求解求解一、一、平面力系平衡问题的分析方法平面力系平衡问题的分析方法ABC静力平衡问题，一般有二类静力平衡问题，一般有二类：对于对于完全被约束的物体完全被约束的物体或系统，在已或系统，在已知外载荷的作用下，求约束力。知外载荷的作用下，求约束力。对于对于未完全被约束未完全被约束的物体的物体或系统，或系统，求平衡时外载荷所应满足的条件及约求平衡时外载荷所应满足的条件及约束力束力。60ABCDF2本讲稿第二页，共六十五页例例例例3.13.13.13.1
2、 求图示结构中铰链求图示结构中铰链求图示结构中铰链求图示结构中铰链A A A A、B B B B处的约束力。处的约束力。处的约束力。处的约束力。解解：1）画整体受力图。）画整体受力图。注意注意BC为二力杆。为二力杆。验算验算，再写一个不独立平衡方程，看是否满足。如，再写一个不独立平衡方程，看是否满足。如 MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0 结果正确。结果正确。2）取坐标，列平衡方程。）取坐标，列平衡方程。Fx=FAx-FCcos30=0 ABCF=2KNF Fq q30q=0.5KN/m L=2m1.5mFq=2q=1 KNF FC CF FA Ay yF FA Ax xxy
3、 Fy=FAy+FCsin30-F-Fq=0 MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0 3）解方程得到）解方程得到;FC=4KN;FAy=1KN;FAx=2KN 矩心取在二未知力交点矩心取在二未知力交点矩心取在二未知力交点矩心取在二未知力交点A A处，处，处，处，力矩方程中只有一个未知量力矩方程中只有一个未知量力矩方程中只有一个未知量力矩方程中只有一个未知量F FC，可直接求解。，可直接求解。3本讲稿第三页，共六十五页例例例例3.33.3 夹紧装置如图。设各处均为光滑接触，夹紧装置如图。设各处均为光滑接触，夹紧装置如图。设各处均为光滑接触，夹紧装置如图。设各处均为光滑接触，求求P P力
4、作用下工件所受到的夹紧力。力作用下工件所受到的夹紧力。力作用下工件所受到的夹紧力。力作用下工件所受到的夹紧力。研究整体，受力如图。研究整体，受力如图。需要求的是需要求的是FC。列平衡方程：列平衡方程：Fy=FB-F=0 FB=F 解解：逐一讨论逐一讨论A A、B B，可解。，可解。，可解。，可解。ABFBAFCFBFABFAFABCF FayxOFBFCFA MA(F)=FB.ABcos-FC.ABsin=0 FC=Fctg。越小，夹紧力越大。越小，夹紧力越大。讨论讨论：若将矩心取在：若将矩心取在FA、FB二未知力交点二未知力交点O，则由力矩方程直接可得则由力矩方程直接可得:MO(F)=F A
5、Bcos-FC ABsin=0 FC=Fctg 4本讲稿第四页，共六十五页例例例例3.4 梁梁ACBACB如图。梁上起重小车重如图。梁上起重小车重WW=50kN=50kN，吊，吊，吊，吊 重重重重 P=10kN，求，求A A、B B处的约束力。处的约束力。由由(1)(1)知，知，FA Ax x=0=0。剩余二个方程中含三个未知约束反力，不足以求解。剩余二个方程中含三个未知约束反力，不足以求解。剩余二个方程中含三个未知约束反力，不足以求解。剩余二个方程中含三个未知约束反力，不足以求解。列平衡方程：列平衡方程：Fx=FAx=0 -(1)Fy=FAy+FBy-P-W=0-(2)MA(F)=MA+12
6、FBy-4W-8P=0 -(3)解解解解：1)1)1)1)取系统整体为研究对象，画受力图。取系统整体为研究对象，画受力图。4mCA4m1m1m8mBWPF FB By yF FA Ax xF FA Ay yMMA A5本讲稿第五页，共六十五页 2)小车小车小车小车为研究对象，列平衡方程：为研究对象，列平衡方程：MD(F)=2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN Fy=FD+FE-W-P=0 FD=10kN3)取取BC梁梁为研究对象为研究对象，有：，有：MC(F)=8FBy-FE=0 FBy=FE/8=6.25kN 将将FBy代入代入(2)、(3)式，求得：式，求得：FAy=P
7、+W-FBy=53.75 kN MA=4W+8P-12FBy=205 kN.m有时需要综合研究有时需要综合研究有时需要综合研究有时需要综合研究整体及部分的整体及部分的整体及部分的整体及部分的平衡，平衡，联联立立立立求解求解求解求解4mWP1m1mDEF FE EF FD DC1m8mBF F E EF FC Cy yF FB By yF FC Cx x=0=06本讲稿第六页，共六十五页补充例补充例：已知：已知AD=BD=CD=a，求图示杆系，求图示杆系，求图示杆系，求图示杆系A、B 及及 D D处的约束力。处的约束力。处的约束力。处的约束力。解：研究整体有：解：研究整体有：解：研究整体有：解：
8、研究整体有：Fy=FAy-F=0 FAy=F MA(F)=FB 2a-Fa=0 FB=F/2 Fx=FAx+FB=0 FAx=-FB=-F/2 研究研究CD杆，有：杆，有：MC(F)=FDya=0 YD=0 Fy=FACsin45 -F=0 FAC Fx=FDx-FACcos45=0 FDxABCFDF FAyAyF FA Ax xF FB BCDFF FDyDyF FD Dx xF FACAC请验算：请验算：AB杆杆(带带销销A)受受力是否平力是否平衡？衡？F FB BF FD Dx xF FD Dy yF FA Ax xF FA Ay yF FACACF FACACF FA Ax xF F
9、A Ay y7本讲稿第七页，共六十五页求解平面力系平衡问题的一般方法和步骤为求解平面力系平衡问题的一般方法和步骤为：弄清弄清题意，题意，标出标出已知已知量量整体受整体受力图，力图，列平衡列平衡方程方程，解决问解决问题否？题否？选取适选取适当的坐当的坐标轴和标轴和矩心，矩心，注意正注意正负号。负号。检检查查结结果，果，验验算算补充选取补充选取适当研究适当研究对象，画对象，画受力图，受力图，列平衡方列平衡方程求解。程求解。NoYes注意：注意：力偶力偶M在任一轴上的投影为零；在任一轴上的投影为零；力偶对任一点之矩即为力偶对任一点之矩即为M。8本讲稿第八页，共六十五页问题问题1：不计杆重，求连杆机构
10、不计杆重，求连杆机构不计杆重，求连杆机构不计杆重，求连杆机构 在图示平衡位置时在图示平衡位置时F F1、F2之关系之关系之关系之关系。问题问题2:三铰拱受力偶三铰拱受力偶M作用，作用，不计拱的重量，求不计拱的重量，求A、B处的约束力处的约束力。bMABac4560ABCDF F1 1F F2 2问题问题3：试求图示双跨梁试求图示双跨梁A端端 的约束力。的约束力。ABCF Fq2aaa459本讲稿第九页，共六十五页问题问题1.不计杆重，求连杆机构在图示平衡位置时不计杆重，求连杆机构在图示平衡位置时 F1、F F2之关系。之关系。4560ABCDF1 F2F FD DF FC C ME(F)=F2
11、 AE-F1sin60 BE=0 注意：注意：BE=AB；AE=AB 可解得：可解得：F2=.F12E 10本讲稿第十页，共六十五页问题问题2:三铰拱受力偶三铰拱受力偶三铰拱受力偶三铰拱受力偶M作用，不计拱的重量，作用，不计拱的重量，求求求求A A、B B处的约束力处的约束力。解解:BC为二力杆为二力杆;外力只有力偶外力只有力偶M,以以AC为轴为轴写投影方程可知，写投影方程可知，A处反力为处反力为FAy=0,整体受力如图所示。整体受力如图所示。bMABacFB BFCFAxAMFAy=0F CFAFBA BbMcdaBAFF=BdFM=+-0有0(F)=AM又由可解得BF11本讲稿第十一页，共
12、六十五页问题问题2再论再论:不计拱重，分析三铰拱的约束力不计拱重，分析三铰拱的约束力不计拱重，分析三铰拱的约束力不计拱重，分析三铰拱的约束力。FBA BMdFAABFBA BFFBA BFFAFA三力平衡，若有二力汇交，则第三力必过其交点。三力平衡，若有二力汇交，则第三力必过其交点。三力平衡，若有二力汇交，则第三力必过其交点。三力平衡，若有二力汇交，则第三力必过其交点。三力平衡，若有二力平行，则第三力与其平行。三力平衡，若有二力平行，则第三力与其平行。12本讲稿第十二页，共六十五页问题问题3：试求图示双跨梁试求图示双跨梁试求图示双跨梁试求图示双跨梁A A端的约束反力。端的约束反力。端的约束反力
13、。端的约束反力。先分离研究对象，再处理其上的先分离研究对象，再处理其上的先分离研究对象，再处理其上的先分离研究对象，再处理其上的分布载荷。分布载荷。分布载荷。分布载荷。解：解：1）研究整体：）研究整体：）研究整体：）研究整体：2）研究）研究BC，受力如图。，受力如图。求出求出FC即可。即可。MB(F)=2aFCcos45-Fa-qa2/2=02一般力系，一般力系，3 3个方程，个方程，个方程，个方程，4 4个未知量。不足以求解个未知量。不足以求解个未知量。不足以求解个未知量。不足以求解F FB Bx xCFqBF FB By yF FC CABCF Fq2aaa45F FC CF FA Ay
14、yF FA Ax xMMA A13本讲稿第十三页，共六十五页讨论讨论：判断下述分析的正误。：判断下述分析的正误。MMA A=M+Fa-2PaM+Fa-2Pa 固定铰的约束力作用于销钉上。固定铰的约束力作用于销钉上。多杆用同一销钉连接，讨论某杆时，多杆用同一销钉连接，讨论某杆时，须考虑各杆与销钉间作用的不同。须考虑各杆与销钉间作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx=F;FAy=P;MA=M？F FAyAyF FAyAyPABCPABCAF FAxAxF FAyAyF FAyAyF FAxAxF FAxAxF FAByAByF FABxABxF FACxACxF FACyACyFABxFA
15、ByFACxFACyF FA Ax xF FA Ay y14本讲稿第十四页，共六十五页第一种情形第一种情形ACBlllF问题讨论问题讨论：试求图示试求图示A A、B、C处的约束力。处的约束力。llFABDCFBFAydFAx第二种情形第二种情形lllACBM=F l MA(F)=0 FB d-F 2l=0FB=22F MB(F)=0 FAy l+Fl=0FAy=-F Fx=0FAx+FBcos=0FAx=-2F15本讲稿第十五页，共六十五页第二种情形第二种情形lllACBM=F lFAyFAxllABDFBxFByFCxFCyFBxFByBC分析分析BC和和ABD杆受杆受力力M=F l考察考察
16、BC杆的平衡杆的平衡:FCx=FBx;FCy=FBy MB(F)=0 :FCy lBC+Fl=02=-F 2 FCy=FBy再考察再考察ABAB杆，杆，由由由由 MA A(F F)=0 可求得可求得FBx16本讲稿第十六页，共六十五页由由由由ABD杆的平衡有：杆的平衡有：杆的平衡有：杆的平衡有：MA(F)=0 2 FBx=F 2 MB(F)=0 FAy=0 MC(F)=0:FAx=FFAyFAxllABDFBxFByCl第二种情形第二种情形lllACBM=F l更更简简单单方方法法以整体为研究对象如何？以整体为研究对象如何？FAxlllABDCM=F lFCxFAyFCy?BCM=F lFCx
17、FBxllABDFBxFAx?17本讲稿第十七页，共六十五页二、二、静不定问题的概念静不定问题的概念1)1)1)1)静定问题静定问题完全约束住完全约束住的的n个物体组成的个物体组成的物体系统物体系统在平面一在平面一般力系作用下，每一物体都处于平衡，共可写出般力系作用下，每一物体都处于平衡，共可写出3n个平衡方程。若反力未知量是个平衡方程。若反力未知量是3n个，则是静定的。个，则是静定的。由平衡方程即可确定的静力平衡问题由平衡方程即可确定的静力平衡问题 -未知量数未知量数=独立平衡方程数独立平衡方程数ABCF F30如例如例1 1 系统系统二根杆二根杆六个平衡方程；六个平衡方程；约束约束三处铰链
18、三处铰链六个反力，静定。六个反力，静定。若将若将BC视为二力杆，视为二力杆，则平衡方程减少二个，则平衡方程减少二个，但但B、C处约束力未知量也减少了二个处约束力未知量也减少了二个。18本讲稿第十八页，共六十五页本题作用于小车的是本题作用于小车的是 平行于平行于Y轴的平行力系，轴的平行力系，系统系统 三个物体三个物体8个平衡方程；个平衡方程；约束约束 固定端固定端3；中间铰；中间铰2；活动铰、车轮接触；活动铰、车轮接触 处各处各1共共8个反力，个反力，是静定问题。是静定问题。如例如例3 3系统系统三个物体三个物体9个方程，个方程，反力只有反力只有反力只有反力只有8个。个。小车可能发生水平运动。小
19、车可能发生水平运动。小车可能发生水平运动。小车可能发生水平运动。未被完全约束住的物体及系统未被完全约束住的物体及系统 约束力未知量数少于约束力未知量数少于独立的平衡方程数，有运动的可能。独立的平衡方程数，有运动的可能。CABWWP P19本讲稿第十九页，共六十五页2）静不定问题静不定问题或或超静定问题超静定问题 完全约束的物体或系统完全约束的物体或系统，若约束力数，若约束力数 独立平独立平衡方程数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称衡方程数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称静静不定问题不定问题。3 3n=3;m=4n=3;m=4一次静不定一次静不定一次静不定一次静不定3 3n=3;m=6n=
20、3;m=6三次静不定三次静不定三次静不定三次静不定3 3n=3;m=4n=3;m=4一次静不定一次静不定一次静不定一次静不定约束反力数约束反力数 m系统中物体数系统中物体数 n 3n 3n 3n 静不定问题静不定问题静不定的次数为：静不定的次数为：k=m-3n20本讲稿第二十页，共六十五页MAB讨论讨论：试判断下列问题的静定性。：试判断下列问题的静定性。约束力数约束力数 m=8 物体数物体数 n=3 m3n 未完全约束未完全约束 m=6 n=2 m=3n静定结构静定结构 m=3 n=1+2+2+4=9 m=3n静定结构静定结构60ABCDF F1 1F F2 2ABCFDFABxFAByFAC
21、xFACyF FA Ax xF FA Ay y21本讲稿第二十一页，共六十五页第一次作业：第一次作业：思考题：思考题：3-1，习题：习题：3-1，3-3，3-5，3-6。22本讲稿第二十二页，共六十五页3.2 含摩擦的平衡问题含摩擦的平衡问题摩擦给运动带来阻力，消耗能量，降低效率；摩擦给运动带来阻力，消耗能量，降低效率；利用摩擦可进行传动、驱动、制动、自锁。利用摩擦可进行传动、驱动、制动、自锁。摩擦是二物体接触表面间有相对运动（或运动趋摩擦是二物体接触表面间有相对运动（或运动趋势）时的阻碍作用。接触表面间只有相对滑动趋势时势）时的阻碍作用。接触表面间只有相对滑动趋势时的摩擦，是静滑动摩擦的摩擦
22、，是静滑动摩擦。一、静滑动摩擦一、静滑动摩擦AOmCP P512DDdaABWPABFLFTAFLFTF FNANAF FBF NAF F FNBNBF FF0FT静止滑动F Fmamax xFTC23本讲稿第二十三页，共六十五页只要只要只要只要滑动未发生，物体仍静止，滑动未发生，物体仍静止，滑动未发生，物体仍静止，滑动未发生，物体仍静止，则则F由由平衡方程平衡方程确定确定。摩擦力摩擦力F也是被动力，它阻碍物体的运动，但不也是被动力，它阻碍物体的运动，但不能完全约束物体的运动。能完全约束物体的运动。F作用在沿接触面切向且指向与运动趋势相反作用在沿接触面切向且指向与运动趋势相反。APTNFVf
23、f是静滑动摩擦系数，是静滑动摩擦系数，FN是法向反力是法向反力。临界状态下接触面间的最大静临界状态下接触面间的最大静（滑动）摩擦力与法摩擦力与法向反力的大小成正比向反力的大小成正比，即 Fmax=f FNF0FT静止滑动F Fmamax xFTC FT=0,静止，无运动趋势；静止，无运动趋势；F=00FTFTc,运动状态；运动状态；一般有一般有 FTF1min=M(a-fe)/frLMMOOF FmaxmaxF FN NF FOxOxF FOyOyAF F1min1minF FmaxmaxF FN NF FAxAxF FAyAy26本讲稿第二十六页，共六十五页例例例例3.63.6 图示悬臂可沿
24、柱滑动图示悬臂可沿柱滑动图示悬臂可沿柱滑动图示悬臂可沿柱滑动,摩擦系数为摩擦系数为f。为保证。为保证。为保证。为保证 不卡住，试确定力不卡住，试确定力不卡住，试确定力不卡住，试确定力F0 0 0 0的作用位置。的作用位置。解解：1)F0向下，悬臂下滑向下，悬臂下滑。临界状态临界状态 x x=x xmax；有：；有：；有：；有：Fx x=F FND-F FNANA=0=0；Fy y=F FA+F FD-F0=0 MA A(F)=)=F FNDh+FD Dd-d-F0 0(xmaxmax+d/2)=0+d/2)=0 及及 F FA A=f F FNA,FD=f F FNDND 解得：解得：FNA
25、A=FNDND=F F0 0/2f,x xmaxmax=h/2f f.悬臂不卡住，悬臂不卡住，悬臂不卡住，悬臂不卡住，应有应有应有应有 xmaxh/2h/2f f而与而与F0 0无关。无关。ABCDxmaxhdF F0 0F FD DF FN ND DF FN NA AF FA A27本讲稿第二十七页，共六十五页例例3.63.6 图示悬臂可沿柱滑动图示悬臂可沿柱滑动,摩擦系数为摩擦系数为摩擦系数为摩擦系数为f f。为保证不。为保证不。为保证不。为保证不 卡住，试确定力卡住，试确定力卡住，试确定力卡住，试确定力P P的作用位置。的作用位置。的作用位置。的作用位置。解解：2)F0向上，悬臂上滑向上
26、，悬臂上滑。临界状态临界状态临界状态临界状态 x=xmaxmax；有：；有：；有：；有：F Fx=FNB-F FNC=0=0；Fy y=F F0 0-FB-F FC C=0=0 MB B(F)=)=FCd-F FNCh-F F0 0(x xmaxmax-d/2)=0-d/2)=0 及及及及 FB B=f FNB,F FC=f F FNC 同样解得：同样解得：F FN NB B=FNC=F0/2f f xmax=h/2=h/2f.ABCDxmaxhdF F0 0F FC CF FN NC CF FN NB BF FA A悬臂不卡住，悬臂不卡住，应有应有 xmaxh/2fh/2f，而与而与而与而与
27、F0 0无关；无关；无关；无关；与上下滑无关。与上下滑无关。与上下滑无关。与上下滑无关。28本讲稿第二十八页，共六十五页含摩擦的平衡问题的分析方法：含摩擦的平衡问题的分析方法：研究对象研究对象 受力分析受力分析 平衡方程平衡方程求解求解先回忆静力平衡问题的一般方法：先回忆静力平衡问题的一般方法：（此时F=Fmax）可滑动的临可滑动的临界情况分析界情况分析摩擦力沿滑动面摩擦力沿滑动面切向，指向与运切向，指向与运动趋势相反动趋势相反。加摩擦加摩擦方程方程 Fmax=f FN解有解有一个一个区间区间范围范围WWaFTBA29本讲稿第二十九页，共六十五页讨论一讨论一：摩擦角及自锁现象摩擦角及自锁现象设
28、主动力之合力设主动力之合力设主动力之合力设主动力之合力F FA A的作用线与法向夹角为的作用线与法向夹角为，若若若若 若若 ,则无论则无论则无论则无论FA A多小，物体都不能保持平衡。多小，物体都不能保持平衡。30本讲稿第三十页，共六十五页 2.夹紧装置如图。夹紧后夹紧装置如图。夹紧后OA水平，欲在力水平，欲在力F0除去后工除去后工件不松，求偏心距件不松，求偏心距e.O OA Ae eF F0 0B B工件工件D D直径直径 3.破碎机轧辊破碎机轧辊D=500mm，匀速转动，匀速转动破碎球形物料。破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大求能破碎的最大物料直径物料直径d。（物重不计）。（物重不计
29、）1.木楔打入墙内，木楔打入墙内，摩擦角为摩擦角为 ，试，试，试，试问问问问 为多大时木楔打入后才不致退出为多大时木楔打入后才不致退出？aa利用自锁条件，研究下述问题利用自锁条件，研究下述问题：31本讲稿第三十一页，共六十五页1.1.木楔打入墙内，木楔打入墙内，摩擦角为摩擦角为 ，试问，试问 为多大时为多大时为多大时为多大时 木楔打入后才不致退出？木楔打入后才不致退出？aa 不计重力，木楔受全反力不计重力，木楔受全反力F FR1、F FR2R2二力作用而处于平衡，则二力作用而处于平衡，则二力作用而处于平衡，则二力作用而处于平衡，则F FR1R1、F FR2必共线且沿铅垂方向必共线且沿铅垂方向(
30、对称性对称性)。临界状态有：临界状态有：=;自锁条件为：自锁条件为：F FR1R1F1maxF F2max2maxrF FR2R2F FN1N132本讲稿第三十二页，共六十五页问题问题：2.2.夹紧装置如图。夹紧后夹紧装置如图。夹紧后OA水平，欲在水平，欲在水平，欲在水平，欲在P力除去力除去 后工件不松，求偏心距后工件不松，求偏心距后工件不松，求偏心距后工件不松，求偏心距e.e.自锁条件：自锁条件：tg=e/(d/2)tg=f得得得得:e:e f f d/2d/2aFROAFA 3.破碎机轧辊破碎机轧辊D=500mm，匀速转动破碎球形物料。，匀速转动破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料
31、直径求能破碎的最大物料直径d。（物重不计）。（物重不计）二力平衡必共线。二力平衡必共线。临界状态临界状态:tg=f(D+d)cos/2=256 解得：解得：d 34mmf 1Cos=(1+f )2-1/2O OA Ae eF F0 0B B工件工件D D直径直径aF FR Ra a a a33本讲稿第三十三页，共六十五页讨论二讨论二：皮带传动的摩擦力皮带传动的摩擦力 皮带在轮皮带在轮皮带在轮皮带在轮O O上，包角上，包角。紧边。紧边F FT2，松边，松边，松边，松边F FT T1，轮，轮O O O O逆时针转动。逆时针转动。研究研究皮带微段。皮带微段。法向压力法向压力dFN，摩，摩擦力擦力dF
32、，二端拉力为，二端拉力为FT+dFT和和FT。在临界状态在临界状态下，下，dF=f dFN。FT1oMbFT2oaFN=FN()F F=F F()FT1FT2FT2FT1研究皮带受力。研究皮带受力。接触面法向分布接触面法向分布压力压力FN、摩擦力、摩擦力F都是都是 的函数的函数。dad dF FN Nd dF Fyda/2oFTFT+dFT有平衡方程：有平衡方程：Fx=FTcos(d/2)+f dFN -(FT+dFT)cos(d/2)=0 F Fy y=dFN N-FTsin(dsin(d/2)-(-(FT+d+dFT T)sin(d)sin(d/2)=034本讲稿第三十四页，共六十五页注意
33、注意d 是小量，有是小量，有sin(d/2)=d/2)=d/2,cos(dcos(d /2)=1/2)=1；略去略去二阶小量二阶小量二阶小量二阶小量 d dFT Td d ；得到：得到：得到：得到：fdFN N=d=dF FT T 和和和和 d dFN=F FTd d ;再再消去消去消去消去d dF FN，即得：即得：dF FT/FT=f d d 积分积分,注意注意=0=0时，时，FT=FT1；=时，时，FT=FT2；有：；有：FT1oMbFT2由平衡方程已得到：由平衡方程已得到：Fx=FTcos(d/2)+f dFN-(FT+dFT)cos(d/2)=0 Fy=dFN-FTsin(d/2)-
34、(FT+dFT)sin(d/2)=0可见可见：1)1)若若f=0=0，即光滑接触，有，即光滑接触，有FT1=FT2，轮，轮O O不能传递扭矩不能传递扭矩。2)2)摩擦存在时，有扭矩摩擦存在时，有扭矩M作用在轮上，且作用在轮上，且 M=FT2-FT1 r=FT2r1-exp(-f ).3)3)摩擦系数摩擦系数f 越大，皮带包角越大，皮带包角 越大，轮径越大，轮径r越大，越大，可传递的扭矩可传递的扭矩M越大越大。35本讲稿第三十五页，共六十五页3.3 3.3 平面桁架平面桁架桥桥梁梁结结构构节点：节点：杆件间的结合点。杆件间的结合点。杆件间的结合点。杆件间的结合点。桁架桁架：杆杆组成的几何形状不变
35、的框架。组成的几何形状不变的框架。组成的几何形状不变的框架。组成的几何形状不变的框架。平面桁架平面桁架平面桁架平面桁架:杆轴线和外力在同一平面内。杆轴线和外力在同一平面内。36本讲稿第三十六页，共六十五页平面桁架的平面桁架的 基本假设基本假设:2)2)载荷都在桁架平面内载荷都在桁架平面内，且，且，且，且作用于作用于作用于作用于桁架的桁架的桁架的桁架的节点节点处，处，或可作为集中载荷分配到节点处。或可作为集中载荷分配到节点处。或可作为集中载荷分配到节点处。或可作为集中载荷分配到节点处。故：故：故：故：力系是平面力系力系是平面力系；杆都是杆都是在二端节点处受力在二端节点处受力 的的二力杆二力杆。杆
36、。杆。杆。杆内力是内力是沿杆的沿杆的拉拉拉拉/压力压力。1)1)1)1)杆杆杆杆均均均均为无重直杆为无重直杆为无重直杆为无重直杆，节点节点均均均均为铰接为铰接为铰接为铰接点。点。点。点。3)3)桁架桁架桁架桁架只在节点处受到约束只在节点处受到约束只在节点处受到约束只在节点处受到约束。AB12345678910111213F FA Ax xCDF FC CF FA Ay yF FB B37本讲稿第三十七页，共六十五页无余杆桁架无余杆桁架：除掉任一根杆便不能保持其形状的桁架。除掉任一根杆便不能保持其形状的桁架。除掉任一根杆便不能保持其形状的桁架。除掉任一根杆便不能保持其形状的桁架。n个节点均为汇交
37、力系，有个节点均为汇交力系，有2n个平衡方程；未知量有个平衡方程；未知量有m根根杆的内力和三个约束，杆的内力和三个约束，m+3=2n，是，是静定问题。静定问题。基本三角形有三根杆和三个节点，其余基本三角形有三根杆和三个节点，其余基本三角形有三根杆和三个节点，其余基本三角形有三根杆和三个节点，其余(n-3)个节点各对应二根杆，故个节点各对应二根杆，故个节点各对应二根杆，故个节点各对应二根杆，故无余杆桁架中杆数无余杆桁架中杆数无余杆桁架中杆数无余杆桁架中杆数m和节点数和节点数n n应当满足：应当满足：应当满足：应当满足：m=3+2(n-3),m=3+2(n-3),即即 m=2n-3m=2n-3显然
38、，显然，无余杆桁架是静定桁架无余杆桁架是静定桁架无余杆桁架是静定桁架无余杆桁架是静定桁架。有余杆桁架（有余杆桁架（m2n-3）则是静不定的。）则是静不定的。AB123C45D67保证桁架形状的必要条件：保证桁架形状的必要条件：保证桁架形状的必要条件：保证桁架形状的必要条件：以基本三角形框架为基础，每增加以基本三角形框架为基础，每增加一个节点就增加二根杆件。一个节点就增加二根杆件。38本讲稿第三十八页，共六十五页F讨论下列桁架及问题的静定性讨论下列桁架及问题的静定性杆数杆数m=7 节点数节点数n=5m=2n-3 静定桁架静定桁架约束力约束力3 静定问题静定问题 静定桁架，反力静定桁架，反力4 4
39、一次一次静不定问题静不定问题 杆数杆数m=6 节点数节点数n=4m-(2n-3)=1 静不定桁架静不定桁架约束力约束力3 一次静不定一次静不定 m-(2n-3)=2 静不定桁架，静不定桁架，约约束力束力4 三次静不定问题三次静不定问题 F39本讲稿第三十九页，共六十五页3.3.1 节点法节点法用节点法求平面桁架中杆内力的步骤为：用节点法求平面桁架中杆内力的步骤为：1)1)研究整体研究整体，求约束反力求约束反力。求反力求反力求反力求反力F FAx x、F FAy 由由由由A节点平衡求节点平衡求F F1 1、F F2 2 由由由由D节点求节点求F F3、F F4 4 由由由由 C节点求节点求节点求
40、节点求F5 5、F F6 3)3)从含已知力且只有二杆受力未知的节点开始，从含已知力且只有二杆受力未知的节点开始，逐一列平衡方程求解逐一列平衡方程求解。若求得的结果为负，则是压力。若求得的结果为负，则是压力。2)2)选取选取节点节点，画，画受力图。假定杆内力为拉力受力图。假定杆内力为拉力。AB12345678910111213F FA Ax xCDF FC CF FA Ay yF FB BAF F1 1F FA Ay yF FA Ax xF F2 2DF F 2 2F F3 3F F4 4CF FC CF F 1 1F F 3 3F F6 6F F5 540本讲稿第四十页，共六十五页3.3.2
41、 截面法截面法2)2)任取一截面，截取部分桁架作为研究对象，画受任取一截面，截取部分桁架作为研究对象，画受 力图。杆内力假定为拉力。力图。杆内力假定为拉力。截面法求解桁架问题时，不需逐个节点分析，截面法求解桁架问题时，不需逐个节点分析，截面法求解桁架问题时，不需逐个节点分析，截面法求解桁架问题时，不需逐个节点分析，其其其其分析方法分析方法可归纳为：可归纳为：可归纳为：可归纳为：3)3)列平衡方程求解。因为作用在研究对象上的是平列平衡方程求解。因为作用在研究对象上的是平 面一般力系，可以求解三个未知量。面一般力系，可以求解三个未知量。1)1)研究整体，求约束反力。研究整体，求约束反力。41本讲稿
42、第四十一页，共六十五页例例3.113.113.113.11 求图示桁架中各杆内力。求图示桁架中各杆内力。求图示桁架中各杆内力。求图示桁架中各杆内力。解解解解：1)1)1)1)由整体求得：由整体求得：FAx=0;F FA Ay y=FE E/3;/3;FB B=2FE E/32)2)2)2)截取上部研究，受力如图。截取上部研究，受力如图。截取上部研究，受力如图。截取上部研究，受力如图。有有有有 Fx x=0 =0 F F2=0=0 MMD D(F)=-FE(2a/3)-/3)-F3 3a a=0 F F3 3=-2=-2F FE/3 Fy=-F FE E-F3 3-F1=0 =0 F1=-=-F
43、E E/3/3综合应用截面法和截点法，可提高求解的效率。综合应用截面法和截点法，可提高求解的效率。ABCDEH123456789F FE Ea/2a/2aaa333F FB BF FA Ax xF FA Ay yCD456F FE EF3F2F13)研究节点研究节点D，可求得，可求得 F F4、F6；4)研究节点研究节点C，可求得，可求得 F F5、F6；5)研究节点研究节点B，可求得，可求得 F8、F F9；6)研究节点研究节点A，可求得，可求得 F7、F9；DF F6 6F F4 4F F1 1CF F6 6F F5 5F F3 3BF F8 8F F9 9F F3 3F FB BF F9
44、 9F F7 7F F1 1F FA Ax xF FA Ay yA42本讲稿第四十二页，共六十五页讨论讨论讨论讨论1 1：求桁架指定截面内力。求桁架指定截面内力。求桁架指定截面内力。求桁架指定截面内力。FAB123aaaaa4FF F1 1ABF F2 2F F3 3F F4 41AB23aF FaaaF FFFF1F2F343本讲稿第四十三页，共六十五页AKEBDCJF讨论讨论2：广告牌由杆系支撑，风载：广告牌由杆系支撑，风载作用如图。如何求各杆内力？作用如图。如何求各杆内力？思考：思考：思考：思考：零杆是否可零杆是否可以不要？以不要？KEDCJF F FCBCB=0=0D F FCDCD=
45、0=0EKCJF44本讲稿第四十四页，共六十五页第二次作业：第二次作业：思考题：思考题：3-4 习题：习题：3-13,3-14,3-16(b)，3-17(b)。45本讲稿第四十五页，共六十五页3.4 空间力系的平衡问题空间力系的平衡问题 力力F 为为Fz、Fxy；Fxy Fx、Fy；显然有：显然有：F=Fx+Fy+Fz；且各分且各分力为力为：由定义知后者正是力由定义知后者正是力在各轴上的投影。故在各轴上的投影。故正交坐标系中，投影正交坐标系中，投影和分力大小相等。和分力大小相等。二次投影法：先投影到坐标面，再投影到轴上。二次投影法：先投影到坐标面，再投影到轴上。1.力在空间坐标轴上的投影力在空
46、间坐标轴上的投影AAabxxyyzzBCDEKFFxFyFxyFzog一、空间中力的投影及力对轴之矩一、空间中力的投影及力对轴之矩46本讲稿第四十六页，共六十五页物体绕轴转动效果的度量。物体绕轴转动效果的度量。以门绕以门绕以门绕以门绕Z Z Z Z轴的转动为例来讨论。轴的转动为例来讨论。轴的转动为例来讨论。轴的转动为例来讨论。显然有：显然有：显然有：显然有：MMz(F1)=0；MMz(F2 2)=02.2.力对轴之矩力对轴之矩 将力将力F分解成分解成Fz和和Fxy，可见，可见 Mz(Fz)=0;Mz(Fxy)=MO(Fxy)力力力力F F对轴对轴对轴对轴z z之矩之矩Mz z(F F)等于力在
47、垂直于等于力在垂直于z轴之平面内轴之平面内的分量的分量Fxy对轴对轴对轴对轴z z与该平面交点与该平面交点O之矩之矩。正负用右手螺旋法确定，（图中为正）。正负用右手螺旋法确定，（图中为正）。力与轴相交或平行力与轴相交或平行，对轴之矩为零对轴之矩为零故故力力F对轴对轴z z之矩之矩可写为：可写为：Mz(F)=MO(Fxy)=Fxy h zF F1 1FF F2 2 yhOxF FxyxyF Fz z47本讲稿第四十七页，共六十五页例例:试写出图中力试写出图中力试写出图中力试写出图中力F在轴上的投影及对力轴之矩。在轴上的投影及对力轴之矩。Fx=0Fy=(4/5)F=40 NFZ=(3/5)F=30
48、 NMx(F)=-Fy z+Fz y =-40+36=-4 N.m My(F)=-FZ x=-6 N.m Mz(F)=Fy x=8 N.m利用合力矩定理，进一步有利用合力矩定理，进一步有利用合力矩定理，进一步有利用合力矩定理，进一步有：MMz(F F)=)=MMz(F Fx)+)+MMz z(F Fy)+MMz z(Fz z)=Fx x y+F Fy x xOxyzABCx=0.2my=1.2mz=1mAF F=50N=50Naa=0.6mb=0.8maFyFZ48本讲稿第四十八页，共六十五页二、力偶矩的矢量表示二、力偶矩的矢量表示故：故：故：故：力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所确定。力偶对刚
49、体的作用完全由力偶矩矢所确定。力偶矩矢是自由矢力偶矩矢是自由矢力偶矩矢是自由矢力偶矩矢是自由矢，可平行移动。，可平行移动。空间力偶系的合成可按力偶矩矢量求和空间力偶系的合成可按力偶矩矢量求和空间力偶系的合成可按力偶矩矢量求和空间力偶系的合成可按力偶矩矢量求和进行。进行。力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢 M：矢的长度矢的长度-力偶矩的大小；力偶矩的大小；矢的指向矢的指向矢的指向矢的指向-力偶作用平面的法向；力偶作用平面的法向；转向由转向由转向由转向由右手螺旋规则右手螺旋规则确定。确定。1）力偶矩矢：力偶矩矢：力偶矩矢：力偶矩矢：空间力偶对刚体的作用效果取决于空间力偶对刚体的作用效果取决于空间力偶
50、对刚体的作用效果取决于空间力偶对刚体的作用效果取决于 力偶矩的大小；力偶矩的大小；力偶作用平面；力偶作用平面；力偶的转动方向。力偶的转动方向。F F xyzF F MM49本讲稿第四十九页，共六十五页2）空间中力对点之矩与力对轴之矩间的关系空间中力对点之矩与力对轴之矩间的关系如图，力如图，力F F对对对对OO点之矩矢点之矩矢点之矩矢点之矩矢MMO垂直于垂直于OAB平面且大小为：平面且大小为：MMOO=MOO(F)=)=F F h=2 OABAzBOMOF Fh另一方面：力另一方面：力F 对对轴轴z之矩等于其在垂之矩等于其在垂直于轴直于轴 z之的平面内的分量之的平面内的分量F 对交点对交点O之矩