《信道编码》PPT课件.pptx

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1、6.1.3随机编码随机编码编码性能的分析有两条基本途径：编码性能的分析有两条基本途径：一条是针对具体一种码或一类码进行数学或计算一条是针对具体一种码或一类码进行数学或计算机仿真的分析。这种只适用于特定对象，而且限机仿真的分析。这种只适用于特定对象，而且限于简单的短码，对复杂的长码就无能为力了。于简单的短码，对复杂的长码就无能为力了。另一条是不涉及具体编码，而是运用概率统计方另一条是不涉及具体编码，而是运用概率统计方法对编码信号的性能作出统计分析。法对编码信号的性能作出统计分析。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码1 16.1.3随机编码随

2、机编码最典型的方法是计算统计平均，因为是平均，总有一部分最典型的方法是计算统计平均，因为是平均，总有一部分码的性能优于平均值而另一部分劣于平均值。因此只要求码的性能优于平均值而另一部分劣于平均值。因此只要求出统计平均，就可断言必然存在着一些优秀的编码，其性出统计平均，就可断言必然存在着一些优秀的编码，其性能优于平均值。能优于平均值。用用这种方法不能得知最优码是如何具体编出来的，却能这种方法不能得知最优码是如何具体编出来的，却能得得知最优码可以好到什么程度知最优码可以好到什么程度，并进而推导出有扰离散信道，并进而推导出有扰离散信道的编码定理，对指导编码技术具有特别重要的理论价值。的编码定理，对指

3、导编码技术具有特别重要的理论价值。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码2 2在在(N,K)分组编码器中随机选定的码集有分组编码器中随机选定的码集有qNM种种第第m个码集个码集(记作记作cm)被随机选中的概率是被随机选中的概率是设设与这种选择相对应的条件差错概率是与这种选择相对应的条件差错概率是Pe(cm)全部全部码集的平均差错概率是码集的平均差错概率是6.1.3随机编码随机编码2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码3 3必定存在某些码集必定存在某些码集某些码集某些码集若若，就必然存在一

4、批码集，就必然存在一批码集即差错概率趋于零的好码一定存在即差错概率趋于零的好码一定存在。6.1.3随机编码随机编码2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码4 46.1.3随机编码随机编码2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码5 5码集点数码集点数M=qK占占N维矢量空间总点数维矢量空间总点数qN的比例的比例是是F=qK/qN =q-(N-K)当当K和和N的差值拉大即冗余的空间点数增加时，平均而言的差值拉大即冗余的空间点数增加时，平均而言码字的分布将变得稀疏，码字间的平均距离将变大，平均码字

5、的分布将变得稀疏，码字间的平均距离将变大，平均差错概率将变小。差错概率将变小。当当F0即即(N-K)时，能否让平均差错概率时，能否让平均差错概率？Gallager在在1965年推导了年推导了的的上边界，并证明这个上边上边界，并证明这个上边界是按指数规律收敛的。界是按指数规律收敛的。6.1.4信道编码定理信道编码定理E(R)为为可靠性函数可靠性函数，也叫误差指数，也叫误差指数码率码率：R=(lnM)/NM是可能的信息组合数，是可能的信息组合数，M=qKN是每码字的码元数，是每码字的码元数，R表示每码元携带的信息量，单位是每表示每码元携带的信息量，单位是每符号奈特（符号奈特（nat/symbol）

6、2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码6 6E(R)RR在在0,R0区间时区间时E(R)R曲线是斜率为曲线是斜率为-1（-45）的直线，的直线，E(R)反反比于比于R；而当；而当R=C时时E(R)=0即可靠即可靠性为零。性为零。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码7 7E(R)C R0R0-45 E(R)和和R的关系曲线的关系曲线信道编码信道编码定理定理正定理正定理：只要传信率：只要传信率R小于信道容量小于信道容量C，总存在一，总存在一种信道码（及解码器），可以以所要求的任意小种信道码

7、（及解码器），可以以所要求的任意小的差错概率实现可靠的通信。的差错概率实现可靠的通信。逆定理逆定理：信道容量：信道容量C是可靠通信系统传信率是可靠通信系统传信率R的上的上边界，如果边界，如果R C，就不可能有任何一种编码能使，就不可能有任何一种编码能使差错概率任意小。差错概率任意小。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码8 86.2纠错编译码的基本原理与分析纠错编译码的基本原理与分析纠错编码的基本思路纠错编码的基本思路译码方法最优译码与最大似然译码译码方法最优译码与最大似然译码2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chap

8、ter 6 信道编码信道编码9 96.2.1纠错编码的基本思路纠错编码的基本思路2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码1010R不变不变，信道容量大者其，信道容量大者其可靠性函数可靠性函数E(R)也大；也大；C不变不变，码率减小时其可，码率减小时其可靠性函数靠性函数E(R)增大增大E(R)R0R1R2 C1 C2增大增大E(R)的途径的途径减小差错概率的措施减小差错概率的措施增大信道容量增大信道容量C（传统设计方法）（传统设计方法）扩展带宽扩展带宽加大功率加大功率降低噪声降低噪声减小码率减小码率R（纠错编码方法的基础纠错编码方法的基础）Q、

9、N不变而减小不变而减小KQ、K不变而增大不变而增大NN、K不变而减小不变而减小Q增大码长增大码长N（以设备的复杂度换取可靠性以设备的复杂度换取可靠性）2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码1111利用冗余度利用冗余度冗余度就是在信息流中插入冗余比特。冗余度就是在信息流中插入冗余比特。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码12120:晴晴，1:雨雨若若10，01。收端无法发现错误。收端无法发现错误0000晴晴10100101111100001111雨雨能发现能发现一个一个错误错误禁用码组禁

10、用码组插入插入1 1位监督码位监督码后具有后具有检出检出1 1位错码位错码的的能能力力，但但不能予以纠正。不能予以纠正。1313检错与纠错原理检错与纠错原理000000晴晴010010001001111111000000111111雨雨晴晴在只有在只有1 1位错码位错码的情况的情况下下，可以可以判决哪位是错码判决哪位是错码并予以并予以纠正纠正，可以可以检出检出2位或位或2位以下位以下的错码的错码。100100011011101101110110雨雨噪声均化噪声均化噪声均化就是让差错随机化。噪声均化就是让差错随机化。噪声均化的基本思想是设法将危害较大的、较为噪声均化的基本思想是设法将危害较大的、

11、较为集中的噪声干扰分摊开来，使不可恢复的信息损集中的噪声干扰分摊开来，使不可恢复的信息损伤最小。伤最小。噪声均化方法：噪声均化方法：增加码长增加码长N卷积卷积交错交错2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码14146.2.2最优译码与最大似然译码最优译码与最大似然译码译码器的任务译码器的任务是从受损的信息序列中尽可能正确是从受损的信息序列中尽可能正确地恢复出原信息。地恢复出原信息。译码算法的已知条件是：译码算法的已知条件是：实际实际接收到的码字序列接收到的码字序列r，r=(r1,r2,rN)发端所采用的编码算法和该算法产生的码集发端所采用的编

12、码算法和该算法产生的码集XN，满足满足信道信道模型及信道参数。模型及信道参数。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码15156.2.2最优译码与最大似然译码最优译码与最大似然译码错误概率与译码规则错误概率与译码规则错误概率错误概率Pe与什么有关？与什么有关？信道的统计特性信道的统计特性译码规则译码规则译码规则的选择依据译码规则的选择依据最大后验概率准则最大后验概率准则理想理想(最佳译码最佳译码)最大似然准则最大似然准则实用实用(最大似然译码最大似然译码)2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道

13、编码16161)编码译码过程编码译码过程源数据码流划分为信息组源数据码流划分为信息组m，编码编码译码过程译码过程如下如下：2)译码译码发送码字发送码字ci，接收码字接收码字r；译码器译码器根据编码规则和信道根据编码规则和信道特特性性，对对接收码字接收码字r 作出作出判决，此判决，此过程称为过程称为译码译码。译码器译码器的基本任务就是根据一套译码规则或的基本任务就是根据一套译码规则或算法，由算法，由接接收码字收码字r 给出与发送信息组给出与发送信息组m 的最好估计值的最好估计值。由于由于m 与与c 之之间是一一对应的间是一一对应的，这这就等价于译码器就等价于译码器根据根据r 对对c的的估计估计。

14、最优译码与最大似然译码最优译码与最大似然译码(N,K)编码器编码器信道信道消息消息还原还原最佳最佳/最大最大似然译码似然译码码字码字ci消息组消息组m接收接收码码r码字估值码字估值消息消息3)最佳译码最佳译码在已知接收在已知接收字字r 的条件下的条件下,找出可能性最大的发送找出可能性最大的发送码字码字ci作为译码的估值作为译码的估值,令令这种这种译码方法叫做最佳译码或最大译码方法叫做最佳译码或最大后验概率译码后验概率译码(MAP)。4)最大似然译码最大似然译码在已知接收字在已知接收字r 的条件下的条件下，使得先验概率最大的译码方使得先验概率最大的译码方法称为法称为最大似然译码最大似然译码(ML

15、D)，即令，即令也叫似然函数。也叫似然函数。最佳译码等效于最大似然译码的前提最佳译码等效于最大似然译码的前提如果如果构成码集的构成码集的2K个码字以相同概率发送，满足个码字以相同概率发送，满足P(ci)=1/2K，i=1,2,2KP(r)对于任何对于任何r都有相同的值，满足都有相同的值，满足P(r)=1/2K则则P(ci/r)最大等效于最大等效于P(r/ci)的最大，在此前提下的最大，在此前提下最佳译码等效于最大似然译码。最佳译码等效于最大似然译码。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码1919无记忆信道的似然函数无记忆信道的似然函数对于无

16、记忆信道，对于无记忆信道，码字的似然函数等于组成该码字的各码元码字的似然函数等于组成该码字的各码元的似然函数之和（联合概率）的似然函数之和（联合概率）例：例：BSC信道的最大似然译码可以简化为信道的最大似然译码可以简化为最小汉明距离译码最小汉明距离译码。汉明距离译码是一种硬判决译码汉明距离译码是一种硬判决译码。只要在接收端将发码只要在接收端将发码r与收与收码码ci的各码元逐一作比较，选择其中汉明距离最小的码字作为的各码元逐一作比较，选择其中汉明距离最小的码字作为译码译码估值。估值。由于由于BSC信道是对称的，只要发送的码字独立、信道是对称的，只要发送的码字独立、等概，汉明距离译码也就是最佳译码

17、。等概，汉明距离译码也就是最佳译码。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码20206.3线性分组码线性分组码码集码集C能否构成能否构成n维维n重矢量空间的一个重矢量空间的一个k维维n重子空间？重子空间？如何寻找最佳的码空间？如何寻找最佳的码空间？qk个信息元组以什么算法一一对应映射到码个信息元组以什么算法一一对应映射到码空间？空间？码码率率编编码码效效率率：Rc=(k lbq)/n，码码率率Rc体体现现了了传传信信率率的大小。的大小。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码2121消息消息

18、m(n,k)码字码字c m=(mk-1,m1,m0)分组编码器分组编码器c=(cn-1,c1,c0)qk qn6.3.1线性线性分组码的形成分组码的形成线性分组码码空间线性分组码码空间C是由是由k个线性无关的基底个线性无关的基底gk-1,g1,g0张张成的成的k维维n重子空间重子空间，码空间的所有元素（即码字）都可以，码空间的所有元素（即码字）都可以写成写成k个基底的线性组合。个基底的线性组合。c=mk-1 gk-1+m1 g1+m0g0这种线性组合特性正是线性分组码名称的来历这种线性组合特性正是线性分组码名称的来历。可以把码空间与映射可以把码空间与映射关系画成如图所示的图形。关系画成如图所示

19、的图形。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码2222n维维n重空间重空间Vk维维k重重信息组信息组空间空间mk维维n重重码空间码空间Cn-k维维n重对偶重对偶空间空间DGH线性分组码的形成线性分组码的形成用用gi表示第表示第i个基底并写成个基底并写成1n矩阵形式：矩阵形式：再将再将k个基底排列成个基底排列成k行行n列的列的G矩阵，得矩阵，得2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码2323线性分组码的形成线性分组码的形成对照式（对照式（6-3-1），得），得由由于于k个个基基底底即即G的的

20、k个个行行矢矢量量线线性性无无关关，矩矩阵阵G的的秩秩一定等于一定等于k。某某个个矩矩阵阵A的的秩秩：A的的极极大大无无关关组组中中向向量量的的个个数数称称为为A的秩，其值小于等于的秩，其值小于等于min行数，列数行数，列数。当当信信息息元元确确定定后后，码码字字仅仅由由G矩矩阵阵决决定定，因因此此我我们们称称这这kn 矩阵矩阵G为该为该(n,k)线性分组码的生成矩阵。线性分组码的生成矩阵。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码2424生成矩阵生成矩阵G(kn)的特点的特点想要保证想要保证(n,k)线性分组码能够构成线性分组码能够构成k维维

21、n重子空间，重子空间，G的的k个行矢量个行矢量gk-1,g1,g0必须是线性无关的，只必须是线性无关的，只有这样才符合作为基底的条件。有这样才符合作为基底的条件。由于基底不是唯一的，所以由于基底不是唯一的，所以G也就不是唯一的。也就不是唯一的。不同的基底有可能生成同一码集，但因编码涉及不同的基底有可能生成同一码集，但因编码涉及码集和映射两个因素，码集和映射两个因素，码集一样而映射方法码集一样而映射方法不同不同也不能说是同样的码。也不能说是同样的码。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码2525系统形式的生成矩阵系统形式的生成矩阵(n,k)码

22、的任何生成矩阵都可以通过行运算码的任何生成矩阵都可以通过行运算（以及列置换）简化成（以及列置换）简化成“系统形式系统形式”。G=IkP=P是是k(n-k)矩阵；矩阵；Ik是是kk单位矩阵单位矩阵，从而保证了，从而保证了矩阵的秩是矩阵的秩是k。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码2626生成矩阵生成矩阵前前k位由单位矩阵位由单位矩阵Ik决定，等于把信息组决定，等于把信息组m原封不动搬到码原封不动搬到码字的前字的前k位；位；其余的其余的n-k位叫冗余位或位叫冗余位或一致校验位一致校验位，是前，是前k个信息位的线个信息位的线性组合。性组合。这样

23、生成的（这样生成的（n,k）码叫做）码叫做系统码系统码。若生成矩阵若生成矩阵G不具备系统形式，则生成的码叫做不具备系统形式，则生成的码叫做非系统码非系统码。非系统码与系统码并无本质区别，它的生成矩阵可以通过非系统码与系统码并无本质区别，它的生成矩阵可以通过行运算转变为系统形式，这个过程叫系统化。行运算转变为系统形式，这个过程叫系统化。系统化系统化不改变码集，只是改变了映射规则。不改变码集，只是改变了映射规则。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码2727系统码系统码若通过行运算和列置换能将两个生成矩阵若通过行运算和列置换能将两个生成矩阵G互

24、等，互等，则称这两个则称这两个G等效等效。非系统码的非系统码的G可通过运算转变为系统码的可通过运算转变为系统码的G。等效的两个等效的两个G生成的两个生成的两个(n,k)线性码也是等效的。线性码也是等效的。因此，每个因此，每个(n,k)线性码都可以和一个系统的线性码都可以和一个系统的(n,k)线性码等效。线性码等效。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码2828空间构成空间构成与任意一个（与任意一个（n，k）线性分组码）线性分组码的码空间的码空间C相对应，一定相对应，一定存在一个对偶空间存在一个对偶空间D。可以用可以用n-k个基底产生包含个基

25、底产生包含2 n-k个码字的线性分组码，称个码字的线性分组码，称（n，n-k）码是（）码是（n，k）码的对偶码。）码的对偶码。将将D空间的空间的n-k个基底排列起来可构成一个个基底排列起来可构成一个矩阵，称为码空矩阵，称为码空间间C的校验矩阵的校验矩阵H。用来校验接收到的码字是否是正确的；用来校验接收到的码字是否是正确的；C和和D的的对偶是相互的，对偶是相互的，G是是C的生成矩阵的生成矩阵又是又是D的校验矩阵，而的校验矩阵，而H是是D的的生成矩阵，又是生成矩阵，又是C的校验矩阵。的校验矩阵。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码2929n维

26、维n重空间重空间Vk维维k重重信息组信息组空间空间mk维维n重重码空间码空间Cn-k维维n重对偶重对偶空间空间DGH校验矩阵校验矩阵由于由于C的基底和的基底和D的基底正交，空间的基底正交，空间C和空间和空间D也正交，它也正交，它们互为零空间。们互为零空间。因此，因此，（n，k）线性码的任意码字）线性码的任意码字c一定正交于其对偶码一定正交于其对偶码的任意一个码字，也必定正交于校验矩阵的任意一个码字，也必定正交于校验矩阵H的任意一个行的任意一个行矢量，即矢量，即cHT=0该式可以用来该式可以用来检验检验一个一个n重矢量是否为码字；若等式成立，重矢量是否为码字；若等式成立，该该n重矢量必为码字，否

27、则不是码字。重矢量必为码字，否则不是码字。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码3030校验矩阵校验矩阵由于生成矩阵的每个行矢量都是一个码字，必有由于生成矩阵的每个行矢量都是一个码字，必有GHT=0若生成矩阵为系统码，则校验矩阵为若生成矩阵为系统码，则校验矩阵为H-PTIn-k在二进制时，负号可省略。在二进制时，负号可省略。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码3131例题例题例例6-2有一个有一个(6,3)线性分组码，其生成矩阵是线性分组码，其生成矩阵是G=求：求：(1)计算码集，列出

28、信息组与码字的映射关系。计算码集，列出信息组与码字的映射关系。(2)将该码系统化处理后，计算系统码码集并列出映射关系。将该码系统化处理后，计算系统码码集并列出映射关系。(3)计算系统码的校验矩阵计算系统码的校验矩阵H。若收码。若收码r=100110，检验检验它是它是否码字？否码字？(4)根据系统码生成矩阵画出编码器电原理图。根据系统码生成矩阵画出编码器电原理图。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码3232111010110001011101例例6-2码集与映射关系码集与映射关系2023/1/302023/1/30Chapter 6 Cha

29、pter 6 信道编码信道编码3333信息码字系统码字000000000000000001011101001011010110001010110011101100011101100111010100111101100111101100110001011110001111010110111010例例6-2二元二元(6,3)线性分组码编码器线性分组码编码器2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码3434 m0m1m2输入输出 c0c1c26.3.2伴随式与标准阵列译码伴随式与标准阵列译码mC=(cn-1,c1,c0)R=(rn-1,r1,r0)(

30、n,k)信道信道定义定义差错图案差错图案EE(en1,e1,e0)RC(rn-1cn-1,r1c1,r0c0)二进制码中模二进制码中模2加与模加与模2减是等同的，因此有减是等同的，因此有E=RC及及R=CE2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码3535伴随式伴随式S的定义的定义因为因为CHT=0所以所以RHT(CE)HTCHTEHT=EHT如果收码无误：必有如果收码无误：必有RC即即E0，则则EHT=0RHT=0。如果收码有误：即如果收码有误：即E 0，则则RHT=EHT 0。在在HT固定的前提下，固定的前提下，RHT仅仅与差错图案仅仅与差

31、错图案E有关，而与有关，而与发送码发送码C无关。定义无关。定义伴随式伴随式SS=(sn-k-1,s1,s0)=RHT=EHT2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码3636伴随式伴随式S的意义的意义从物理意义上看，从物理意义上看，伴随式伴随式S并不反映发送的码字是什么，并不反映发送的码字是什么，而而只是反映信道对码字造成怎样的干扰只是反映信道对码字造成怎样的干扰。差错图案差错图案E是是n重矢量，共有重矢量，共有2n个可能的组合，而伴随式个可能的组合，而伴随式S是是(n-k)重矢量，只有重矢量，只有2n-k个可能的组合，因此不同的差错个可能的组

32、合，因此不同的差错图案可能有相同的伴随图案可能有相同的伴随式，式，S与与E不存在一一对应关系。不存在一一对应关系。接收端收到接收端收到R后，因为已知后，因为已知HT，可求出，可求出SRHT；如果能；如果能知道对应的知道对应的E，则通过，则通过C=RE可求得可求得C。RHT=S?C=RERSEC只要只要E正确，译出的码也就是正确的。正确，译出的码也就是正确的。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码3737差错图案差错图案E的的求解求解可以通过可以通过解解线性方程组线性方程组求解求解E：S=(sn-k-1,s1,s0)=EHT=(en-1,e1

33、,e0)得到线性方程组：得到线性方程组：sn-k-1=en-1h(n-k-1)(n-1)+e1h(n-k-1)1+e0h(n-k-1)0 s1=en-1h1(n-1)+e1h11+e0h10s0=en-1h0(n-1)+e1h01+e0h002023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码3838差错图案差错图案E的的求解求解上述方程组中有上述方程组中有n个未知数个未知数en1,e1,e0，却只有，却只有n-k个方程，个方程，可知方程组有多解。可知方程组有多解。在有理数或实数域中，少一个方程就可能导致无限多个解，在有理数或实数域中，少一个方程就可能导

34、致无限多个解，而在二元域中，少一个方程导致两个解，少两个方程四个而在二元域中，少一个方程导致两个解，少两个方程四个解，以此类推，少解，以此类推，少n-(n-k)=k个方程导致每个未知数有个方程导致每个未知数有2k个解。个解。因此，由上述方程组解出的因此，由上述方程组解出的E可以有可以有2k个解。到底取哪一个解。到底取哪一个作为附加在收码个作为附加在收码R上的差错图案上的差错图案E的估值呢？的估值呢？概率译码：概率译码：把所有把所有2k个解的重量个解的重量(差错图案差错图案E中中1的个数的个数)作作比较，选择比较，选择其中最轻者作为其中最轻者作为E的估值的估值。该方法概念上很简。该方法概念上很简

35、单但计算效率不高。单但计算效率不高。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码3939差错图案差错图案E的求解的求解2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码4040依据：依据：若若BSC信道的差错概率是信道的差错概率是p，则长度，则长度n的码中的码中错误概率错误概率：0个错个错1个错个错2个错个错n个错个错(1-p)np(1-p)n-1p2(1-p)n-2pn由于由于pp(1-p)n-1p2(1-p)n-2pn出错越少的情况，发生概率越大，出错越少的情况，发生概率越大，E的重量越轻，的重量越轻

36、，所以该译码方法实际上体现了最小距离译码准则，所以该译码方法实际上体现了最小距离译码准则，即最大似然译码。即最大似然译码。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码4141例例6-3一个一个(5,2)系统线性码的生成矩阵是系统线性码的生成矩阵是G=设收码设收码R=(10101)，译，译出发码的出发码的估值估值解：求解：求出校验矩阵：出校验矩阵：H=PTI3=列出方程组列出方程组：S=RHT=（010）按概率译码方式，推测按概率译码方式，推测E=（00010）得发码的估值得发码的估值为为R+E=（10111）标准阵列译码表标准阵列译码表上述的概率

37、译码，如每接收一个码上述的概率译码，如每接收一个码R就要解一次就要解一次线性方程，那就太麻烦了。好在伴随式线性方程，那就太麻烦了。好在伴随式S的数目是有的数目是有限的限的2n-k个，如果个，如果n-k不太大，我们可以预先把不同不太大，我们可以预先把不同S下的方程组解出来，把各种情况下的最大概率译码输下的方程组解出来，把各种情况下的最大概率译码输出列成一个出列成一个码表码表。这样，在实时译码时就不必再去解。这样，在实时译码时就不必再去解方程，而只要象查字典那样查一下码表就可以了。这方程，而只要象查字典那样查一下码表就可以了。这样构造的表格叫做样构造的表格叫做标准阵列译码表标准阵列译码表。2023

38、/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码4242标准阵列译码表的构成标准阵列译码表的构成表中所列码字是接收到的码字表中所列码字是接收到的码字R=C+E；将没有任何差错时的收码将没有任何差错时的收码R放在第一行，收码等于发码放在第一行，收码等于发码R=C(C Ci，i=0,1,2k-1)，差错差错图案为全零图案为全零E0=(0,00)，伴随式为全零，伴随式为全零S0=(0,00)。由于有。由于有2k个码字，码表有个码字，码表有2k列。列。在第在第2到第到第n+1的的n行中差错图案的所有重量为行中差错图案的所有重量为1(共共n个个)。如果如果(1+n)2

39、n-k，再在下面行写出全部带有，再在下面行写出全部带有2个差错的图案个差错的图案(共共个个)。如果总行数如果总行数(1+n+)仍然小于仍然小于2n-k，再列出带有，再列出带有3个差错个差错的图案，以此类推，直到放满的图案，以此类推，直到放满2n-k行，每行一个行，每行一个Ej，对应对应一一个不同的伴随式个不同的伴随式Sj。这样，表的行数。这样，表的行数2n-k正好等于伴随式的正好等于伴随式的数目。数目。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码43432023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码4

40、444S0E0S1E1SjEjE0+C0=0+0=0E0+C1=C1E0+Ci=CiE1+C0=E1E1+CiEj+C0=EjEj+C1Ej+Ci标准阵列译码表标准阵列译码表 E1+C1陪集和子集陪集和子集译译码码表表中中有有2n-k行行，每每行行是是一一个个陪陪集集，每每陪陪集集的的第第一一个个元元素素(位位于于第第一一列列)叫叫陪陪集集首首。同同一一陪陪集集（同同一一行行）中中的的所所有有元元素素对对应应共共同同的的一一个个伴伴随随式式。第第一一行行陪陪集集的的陪陪集集首首是是全全零零伴伴随随式式S0所所对对应应的的全全零零差差错错图图案案E0(无无差差错错)，而而第第j行行陪陪集集的的陪

41、陪集集首首是是伴伴随随式式Sj所所对对应应的的重重量量最最小小的的差差错错图图案案Ej(C0=0,Rj=Ej)。译译码码表表中中有有2k列列，每每列列是是一一个个子子集集，每每子子集集的的第第一一个个元元素素(位位于于第第一一行行)叫叫子子集集头头。同同一一子子集集（同同一一列列）中中的的所所有有元元素素对对应应同同一一个个码码字字，第第一一列列子子集集的的子子集集头头是是全全零零码码字字C0，而第而第i列子集的子集头是码字列子集的子集头是码字Ci(E0=0,Ri=Ci)。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码45452023/1/3020

42、23/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码4646例例6-3一个一个(5,2)系统线性码的生成矩阵是系统线性码的生成矩阵是G=设收码设收码R=(10101)，构造标准阵列译码表，译出发码的估值，构造标准阵列译码表，译出发码的估值解解：(1)构构造造标标准准阵阵列列译译码码表表。分分别别以以信信息息组组m=(00)、(01)、(10)、(11)及已知的及已知的G求得求得4个许用码字为个许用码字为C1=(00000)、C2=(10111)、C3=(01101)、C4=(11010)。求出校验矩阵：求出校验矩阵：H=PTI3=列出方程组：列出方程组：2023/1/3020

43、23/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码4747伴随式有伴随式有2n-k238种组合，差错图案中代表无差错的有种组合，差错图案中代表无差错的有一种，代表一个差错的图案有一种，代表一个差错的图案有种，已有种，已有6种。种。代表两个差错的图案有代表两个差错的图案有种种。只需挑选其中的两个，。只需挑选其中的两个，挑选方法可有若干种，不是唯一的。先将挑选方法可有若干种，不是唯一的。先将Ej=(00000)、(10000)、(01000)、(00100)、(00010)、(00001)代入上面的代入上面的线性方程组，解得对应的线性方程组，解得对应的Sj分别是分别是(000)

44、、(111)、(101)、(100)、(010)、(001)。剩下的伴随式中，。剩下的伴随式中，(011)所对应的差所对应的差错图案是错图案是2k个即个即(00011)、(10100)、(01110)、(11001)，其中其中(00011)和和(10100)并列重量最轻，任选其中一个如并列重量最轻，任选其中一个如(00011)。同样可得伴随式同样可得伴随式(110)所对应的最轻差错图案之一是所对应的最轻差错图案之一是(00110)。译码译码表的构成表的构成2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码4848S0=000E0+C0=00000C1=

45、10111C2=01101C3=11010S1=111E1=10000001111110101010S2=101E2=01000111110010110010S3=100E3=00100100110100111110S4=010E4=00010101010111111000S5=001E5=00001101100110011011S6=011E6=00011101000111011001S7=110E7=00110100010101111100标准标准阵列译码表阵列译码表将将接收码接收码R10101译码译码可选可选以下三种方法之一译码：以下三种方法之一译码：直接搜索码表，查得直接搜索码表，查得

46、(10101)所在列的子集头是所在列的子集头是(10111)，因，因此译码输出取为此译码输出取为(10111)。先求伴随式先求伴随式RHT=(10101)HT=(010)=S4，确定，确定S4所在所在行，再沿着行对码表作一维搜索找到行，再沿着行对码表作一维搜索找到(10101),最后顺着所最后顺着所在列向上找出码字在列向上找出码字(10111)。先求出伴随式先求出伴随式RHT=(010)=S4并确定并确定S4所对应的陪集首所对应的陪集首（差错图案）（差错图案）E4=(00010)，再将陪集首与收码相加得到码，再将陪集首与收码相加得到码字字C=R+E4=(10101)+(00010)=(1011

47、1)。上述上述三种方法由上而下，查表的时间下降而所需计算三种方法由上而下，查表的时间下降而所需计算量增大，实际使用时可针对不同情况选用。量增大，实际使用时可针对不同情况选用。2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码4949对例对例6-3的分析的分析2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码5050对对上例作进一步分析，还可以看到，该上例作进一步分析，还可以看到，该(5,2)码的码的dmin=3,纠纠错能力是错能力是t=INT(3-1)/2=1。因此因此，译码阵列中只有前，译码阵列中只有前6行具

48、有唯一性、可靠性，真正体行具有唯一性、可靠性，真正体现了最大似然译码准则，而第现了最大似然译码准则，而第7、8行的差错图案行的差错图案(00011)和和(00110)中包含两中包含两个个“1”，已超出了，已超出了t=1的纠错能力，译码已不的纠错能力，译码已不可靠可靠。比如比如，当收码，当收码R(10100)时，根据码表译出的码字是时，根据码表译出的码字是(10111)，与收码，与收码R的汉明距离是的汉明距离是2，然而收码，然而收码R与全零码字与全零码字(00000)的的汉明距离也是汉明距离也是2，为什么不能译成，为什么不能译成(00000)呢呢？事实上事实上，码表的第，码表的第7、8行本身就不

49、是唯一的。注意在码表计行本身就不是唯一的。注意在码表计算过程中，伴随式算过程中，伴随式(011)所对应的所对应的4个差错图案中有两个并列重个差错图案中有两个并列重量最轻，如果当时选的不是量最轻，如果当时选的不是(00011)而是而是(10100)，那么码表第，那么码表第7行就不是现在这样了。行就不是现在这样了。6.3.3码距、纠错能力、码距、纠错能力、MDC码及重量谱码及重量谱N重码矢重码矢c=(cn-1,c n-2,c1,c0)可与可与N维矢量空间维矢量空间XN中的一个点对应，全体码字所对应的点构成矢量中的一个点对应，全体码字所对应的点构成矢量空间里的一个子集空间里的一个子集；发码一定在这个

50、子集里，传输无误时的收码也一发码一定在这个子集里，传输无误时的收码也一定位于该子集定位于该子集；当出现差错时，接收的当出现差错时，接收的N重重矢量矢量，可能，可能对应到子集外空间某一点对应到子集外空间某一点对应到该子集，却对应到该子集的另一点上对应到该子集，却对应到该子集的另一点上2023/1/302023/1/30Chapter 6 Chapter 6 信道编码信道编码5151最小距离最小距离码集各码字间的距离是不同的，码距最小者决定码集各码字间的距离是不同的，码距最小者决定码的特性，称之为码的特性，称之为最小距离最小距离dmin。这里这里dmin=3，纠错能力是，纠错能力是1，检错能力是，