信道编码简介ppt课件.ppt

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1、编码理论编码理论周武旸周武旸中国科学技术大学中国科学技术大学助教刘磊：第一章 序论编码理论的内容包括三个方面编码理论的内容包括三个方面u以保证数字信息传输和处理的可靠性为目的的差错控制编以保证数字信息传输和处理的可靠性为目的的差错控制编码（码（error-control coding），又称为信道编码（），又称为信道编码（channel coding）；）；u以提高数字信息传输、存储处理的有效性为宗旨的信源编以提高数字信息传输、存储处理的有效性为宗旨的信源编码（码（Source coding）；）；u以增加数字信息传输、存储的安全性为目标的数据加密编以增加数字信息传输、存储的安全性为目标的数据

2、加密编码（码（data encryption）；）；我们主要讨论差错控制编码技术。我们主要讨论差错控制编码技术。差错控制编码技术是适应数字通信抗差错控制编码技术是适应数字通信抗噪声干扰的需要而诞生和发展起来的，噪声干扰的需要而诞生和发展起来的，它是于它是于1948年、著名的信息论创始人年、著名的信息论创始人C. E. Shannon（香农）在贝尔系统技（香农）在贝尔系统技术杂志发表的术杂志发表的“A Mathematical Theory of Communication”一文，开一文，开创了一门新兴学科和理论：信息论和创了一门新兴学科和理论：信息论和编码理论。编码理论。1.1 信道编码的历史

3、及研究现状 1948年，年，Bell实验室的实验室的C.E.Shannon发表的发表的通信的数通信的数学理论学理论，是关于现代信息理论的奠基性论文，它的发表，是关于现代信息理论的奠基性论文，它的发表标志着信息与编码理论这一学科的创立。标志着信息与编码理论这一学科的创立。Shannon在该在该文中指出，任何一个通信信道都有确定的信道容量文中指出，任何一个通信信道都有确定的信道容量C，如，如果通信系统所要求的传输速率果通信系统所要求的传输速率R小于小于C，则存在一种编码，则存在一种编码方法，当码长方法，当码长n充分大并应用最大似然译码（充分大并应用最大似然译码（MLD，Maximum Likeli

4、hood Decdoding）时，信息的错误概）时，信息的错误概率可以达到任意小。从率可以达到任意小。从Shannon信道编码定理可知，随信道编码定理可知，随着分组码的码长着分组码的码长n或卷积码的约束长度或卷积码的约束长度N的增加，系统可的增加，系统可以取得更好的性能（即更大的保护能力或编码增益），而以取得更好的性能（即更大的保护能力或编码增益），而译码的最优算法是译码的最优算法是MLD，MLD算法的复杂性随算法的复杂性随n或或N的增的增加呈指数增加，因此当加呈指数增加，因此当n或或N较大时，较大时，MLD在物理上是不在物理上是不可实现的。因此，构造物理可实现编码方案及寻找有效译可实现的。因

5、此，构造物理可实现编码方案及寻找有效译码算法一直是信道编码理论与技术研究的中心任务。码算法一直是信道编码理论与技术研究的中心任务。 Shannon指出了可以通过差错控制码在信息传输速率不指出了可以通过差错控制码在信息传输速率不大于信道容量的前提下实现可靠通信，但却没有给出具体大于信道容量的前提下实现可靠通信，但却没有给出具体实现差错控制编码的方法。实现差错控制编码的方法。 20世纪世纪40年代，年代，R.Hamming和和M.Golay提出了第一提出了第一个实用的差错控制编码方案，使编码理论这个应用数个实用的差错控制编码方案，使编码理论这个应用数学分支的发展得到了极大的推动。通常认为是学分支的

6、发展得到了极大的推动。通常认为是R.Hamming提出了第一个差错控制码。当时他作为一提出了第一个差错控制码。当时他作为一个数学家受雇于贝尔实验室，主要从事弹性理论的研个数学家受雇于贝尔实验室，主要从事弹性理论的研究。他发现计算机经常在计算过程中出现错误，而一究。他发现计算机经常在计算过程中出现错误，而一旦有错误发生，程序就会停止运行。这个问题促使他旦有错误发生，程序就会停止运行。这个问题促使他编制了使计算机具有检测错误能力的程序，通过对输编制了使计算机具有检测错误能力的程序，通过对输入数据编码，使计算机能够纠正这些错误并继续运行。入数据编码，使计算机能够纠正这些错误并继续运行。Hamming

7、所采用的方法就是将输入数据每所采用的方法就是将输入数据每4个比特分个比特分为一组，然后通过计算这些信息比特的线性组合来得为一组，然后通过计算这些信息比特的线性组合来得到到3个校验比特，然后将得到的个校验比特，然后将得到的7个比特送入计算机。个比特送入计算机。计算机按照一定的原则读取这些码字，通过采用一定计算机按照一定的原则读取这些码字，通过采用一定的算法，不仅能够检测到是否有错误发生，同时还可的算法，不仅能够检测到是否有错误发生，同时还可以找到发生单个比特错误的比特的位置，该码可以纠以找到发生单个比特错误的比特的位置，该码可以纠正正7个比特中所发生的单个比特错误。这个编码方法就个比特中所发生的

8、单个比特错误。这个编码方法就是分组码的基本思想，是分组码的基本思想，Hamming提出的编码方案后来提出的编码方案后来被命名为汉明码。被命名为汉明码。 Hamming, 1915-1998 虽然汉明码的思想是比较先进的，但是它也存在许多难以接受虽然汉明码的思想是比较先进的，但是它也存在许多难以接受的的缺点缺点。首先，汉明码的。首先，汉明码的编码效率比较低编码效率比较低，它每，它每4个比特编码就个比特编码就需要需要3个比特的冗余校验比特。另外，在一个码组中只能个比特的冗余校验比特。另外，在一个码组中只能纠正单纠正单个的比特错误个的比特错误。M.Golay研究了汉明码的这些缺点，并提出了两研究了汉

9、明码的这些缺点，并提出了两个以他自己的名字命名的高性能码字：一个是二元个以他自己的名字命名的高性能码字：一个是二元Golay码，在码，在这个码字中这个码字中Golay将信息比特每将信息比特每12个分为一组，编码生成个分为一组，编码生成11个冗个冗余校验比特，相应的译码算法可以纠正余校验比特，相应的译码算法可以纠正3个错误。另外一个是三个错误。另外一个是三元元Golay码，它的操作对象是三元而非二元数字。三元码，它的操作对象是三元而非二元数字。三元Golay码码将每将每6个三元符号分为一组，编码生成个三元符号分为一组，编码生成5个冗余校验三元符号。这个冗余校验三元符号。这样由样由11个三元符号组

10、成的三元个三元符号组成的三元Golay码码字可以纠正码码字可以纠正2个错误。个错误。 汉明码和汉明码和Golay码的基本原理相同。它们都是将码的基本原理相同。它们都是将q元符元符号按每号按每k个分为一组然后通过编码得到个分为一组然后通过编码得到n-k个个q元符号元符号作为冗余校验符号，最后由校验符号和信息符号组成有作为冗余校验符号，最后由校验符号和信息符号组成有n个个q元符号的码字符号。得到的码字可以纠正元符号的码字符号。得到的码字可以纠正t个错误，个错误，编码码率为为编码码率为为k/n。这种类型的码字称为。这种类型的码字称为分组码分组码，一般，一般记为记为(q,n,k,t)码，二元分组码可以

11、简记为码，二元分组码可以简记为(n,k,t)码或者码或者(n,k)码。汉明码和码。汉明码和Golay码都是线性的，任何两个码字码都是线性的，任何两个码字经过模经过模q的加操作之后，得到的码字仍旧是码集合中的的加操作之后，得到的码字仍旧是码集合中的一个码字。一个码字。 在在Golay码提出之后最主要的一类分组码就是码提出之后最主要的一类分组码就是Reed-Muller码。它是码。它是Muller在在1954年提出的，此后年提出的，此后Reed在在Muller提出的分组码的基础上得到了一种新的分组码，提出的分组码的基础上得到了一种新的分组码，称为称为Reed-Muller码，简记为码，简记为RM码

12、码。在。在1969年到年到1977年之间，年之间，RM码在火星探测方面得到了极为广泛的应用。码在火星探测方面得到了极为广泛的应用。即使在今天，即使在今天，RM码也具有很大的研究价值，其快速的码也具有很大的研究价值，其快速的译码算法非常适合于光纤通信系统。译码算法非常适合于光纤通信系统。 在在RM码提出之后人们又提出了码提出之后人们又提出了循环码循环码的概念。循环码实际上也的概念。循环码实际上也是一类分组码，但它的码字具有循环移位特性，是一类分组码，但它的码字具有循环移位特性，即码字比特经过即码字比特经过循环移位后仍然是码字集合中的码字循环移位后仍然是码字集合中的码字。这种循环结构使码字的设。这

13、种循环结构使码字的设计范围大大增加，同时大大简化了编译码结构。循环码的另一个计范围大大增加，同时大大简化了编译码结构。循环码的另一个特点就是它可以用一个幂次为特点就是它可以用一个幂次为n-k的多项式来表示，这个多项式的多项式来表示，这个多项式记为记为g(D)，称为生成多项式，其中，称为生成多项式，其中D为延迟算子。循环码也称为为延迟算子。循环码也称为循环冗余校验循环冗余校验(CRC，Cyclic Redundancy Check)码，并且可码，并且可以用以用Meggitt译码器来实现译码。由于译码器来实现译码。由于Meggitt译码器的译码复杂译码器的译码复杂性随着纠错能力性随着纠错能力t的增

14、加而呈指数形式的增加，因此通常的增加而呈指数形式的增加，因此通常CRC码码用于纠正只有单个错误的应用情况，用于纠正只有单个错误的应用情况，常用做检错码而非纠错码常用做检错码而非纠错码。 循环码的一个非常重要的子集就是分别由循环码的一个非常重要的子集就是分别由Hocquenghem在在1959年、年、Bose和和Ray-Chaudhuri研究组在研究组在1960年几乎同时提出的年几乎同时提出的BCH码码(BCH，Bose Chaudhuri Hocquenghem)，BCH码的码码的码字长度为字长度为nqm-1，其中，其中m为一个整数。二元为一个整数。二元BCH码（码（q=2）的）的纠错能力限为

15、纠错能力限为t2）的情况，得到了）的情况，得到了RS（Reed-Solomon）码。）码。1967年，年，Berlekamp给出了一个非常有效的译码算法后，给出了一个非常有效的译码算法后，RS码码得到了广泛的应用。此后，得到了广泛的应用。此后，RS码在码在CD播放器、播放器、DVD播放器中得播放器中得到了很好的应用。到了很好的应用。 虽然分组码在理论分析和数学描述方面已经非常成熟，并且在实虽然分组码在理论分析和数学描述方面已经非常成熟，并且在实际的通信系统中也已经得到了广泛的应用，但分组码固有的际的通信系统中也已经得到了广泛的应用，但分组码固有的缺陷缺陷大大限制了它的进一步发展。大大限制了它的

16、进一步发展。首先首先，由于分组码是，由于分组码是面向数据块面向数据块的，的，因此，在译码过程中必须等待整个码字全部接收到之后才能开始因此，在译码过程中必须等待整个码字全部接收到之后才能开始进行译码。在数据块长度较大时，引入的系统延时是非常大的。进行译码。在数据块长度较大时，引入的系统延时是非常大的。分组码的分组码的第二个缺陷第二个缺陷是它要求是它要求精确的帧同步精确的帧同步，即需要对接收码字，即需要对接收码字或帧的起始符号时间和相位精确同步。另外，大多数基于代数的或帧的起始符号时间和相位精确同步。另外，大多数基于代数的分组码的译码算法都是分组码的译码算法都是硬判决算法硬判决算法，而不是对解调器

17、输出未量化，而不是对解调器输出未量化信息的软译码，从而造成了一定程度的增益损失。信息的软译码，从而造成了一定程度的增益损失。 分组码所存在的固有缺点可以通过采用其他的编码方法分组码所存在的固有缺点可以通过采用其他的编码方法来改善。这种编码方法就是卷积码。卷积码是来改善。这种编码方法就是卷积码。卷积码是Elias等等人在人在1955年提出的。卷积码与分组码的不同在于：它年提出的。卷积码与分组码的不同在于：它充分利用了各个信息块之间的相关性。通常卷积码记为充分利用了各个信息块之间的相关性。通常卷积码记为(n，k，N)码。卷积码的码。卷积码的编码编码过程是过程是连续进行连续进行的，依次的，依次连续将

18、每连续将每k个信息元输入编码器，得到个信息元输入编码器，得到n个码元，得到个码元，得到的码元中的检验元的码元中的检验元不仅与本码的信息元有关，还与以前不仅与本码的信息元有关，还与以前时刻输入到编码器的信息元时刻输入到编码器的信息元(反映在编码寄存器的内容反映在编码寄存器的内容上上)有关有关。同样，在卷积码的译码过程中，不仅要从本。同样，在卷积码的译码过程中，不仅要从本码中提取译码信息，还要充分利用以前和以后时刻收到码中提取译码信息，还要充分利用以前和以后时刻收到的码组从这些码组中提取译码相关信息，而且的码组从这些码组中提取译码相关信息，而且译码也译码也是可以连续进行的是可以连续进行的，这样可以

19、保证卷积码的译码，这样可以保证卷积码的译码延时相延时相对比较小对比较小。通常，在系统条件相同的条件下，在达到相。通常，在系统条件相同的条件下，在达到相同译码性能时，卷积码的信息块长度和码字长度都要比同译码性能时，卷积码的信息块长度和码字长度都要比分组码的信息块长度和码字长度小，相应译码复杂性也分组码的信息块长度和码字长度小，相应译码复杂性也小一些。小一些。 Elias, 1923-2001 卷积码的译码通常有如下几个比较流行的译码算法：卷积码的译码通常有如下几个比较流行的译码算法：u由由Wozencraft和和Reiffen在在1961年提出，年提出，Fano和和Jelinek分别在分别在19

20、63年和年和1969年进行改进了的序年进行改进了的序贯译码算法。该算法是基于码字树图结构的一种贯译码算法。该算法是基于码字树图结构的一种次优概率译码算法。次优概率译码算法。 u由由Massey在在1963年提出的门限译码算法。这个年提出的门限译码算法。这个算法利用码字的代数结构进行代数译码。算法利用码字的代数结构进行代数译码。 u由由Viterbi在在1967年提出的年提出的Viterbi算法。该算法是算法。该算法是基于码字格图结构的一种最大似然译码算法，是基于码字格图结构的一种最大似然译码算法，是一种最优译码算法。一种最优译码算法。 在在Viterbi译码算法提出之后，卷积码在通信系统中得译

21、码算法提出之后，卷积码在通信系统中得到了极为广泛的应用。如到了极为广泛的应用。如GSM、3G、商业卫星通信、商业卫星通信系统等。系统等。 Viterbi, CDMA之父之父 近年来，在信道编码定理的指引下，人们一近年来，在信道编码定理的指引下，人们一直致力于寻找能满足现代通信业务要求、结直致力于寻找能满足现代通信业务要求、结构简单、性能优越的好码，并在分组码、卷构简单、性能优越的好码，并在分组码、卷积码等基本编码方法和最大似然译码算法的积码等基本编码方法和最大似然译码算法的基础上提出了许多构造好码及简化译码复杂基础上提出了许多构造好码及简化译码复杂性的方法，提出了乘积码、代数几何码、低性的方法

22、，提出了乘积码、代数几何码、低密度校验码密度校验码(LDPC，Low Density Parity Check)、分组、分组-卷积级联码等编码方法和逐卷积级联码等编码方法和逐组最佳译码、软判决译码等译码方法以及编组最佳译码、软判决译码等译码方法以及编码与调制相结合的网格编码调制码与调制相结合的网格编码调制(TCM，Trellis Coded Modulation)技术。其中对纠技术。其中对纠错码发展贡献比较大的有级联码、软判决译错码发展贡献比较大的有级联码、软判决译码和码和TCM技术等。技术等。 Gallager 虽然软判决译码、级联码和编码调制技术都对信道虽然软判决译码、级联码和编码调制技术

23、都对信道码的设计和发展产生了重大影响，但是其增益与码的设计和发展产生了重大影响，但是其增益与Shannon理论极限始终都存在理论极限始终都存在23dB的差距。的差距。 在在1993年于瑞士日内瓦召开的国际通信会议年于瑞士日内瓦召开的国际通信会议(1CC93)上 ， 两 位 任 教 于 法 国 不 列 颠 通 信 大 学 的 教 授上 ， 两 位 任 教 于 法 国 不 列 颠 通 信 大 学 的 教 授C.Berrou、A.Glavieux和他们的缅甸籍博士生和他们的缅甸籍博士生P.Thitimajshima首次提出了一种新型信道编码方首次提出了一种新型信道编码方案案Turbo码，由于它很好地

24、应用了码，由于它很好地应用了Shannon信信道编码定理中的随机性编、译码条件，从而获得了道编码定理中的随机性编、译码条件，从而获得了几乎接近几乎接近Shannon理论极限的译码性能。仿真结果理论极限的译码性能。仿真结果表明，在采用长度为表明，在采用长度为65536的随机交织器并译码迭代的随机交织器并译码迭代18次情况下，在信噪比次情况下，在信噪比Eb/N0=0.7dB并采用二元相并采用二元相移键控移键控(BPSK)调制时，码率为调制时，码率为1/2的的Turbo码在加性码在加性高斯白噪声信道上的误比特率高斯白噪声信道上的误比特率(BER)=10-5，达到了，达到了与与Shannon极限仅相差

25、极限仅相差0.7dB的优异性能。的优异性能。(1/2码率码率的的Shannon极限是极限是0dB)。Berrou and Forney 1997年，年，Host、Johannesson、Ablov提出了编织卷级码提出了编织卷级码（Woven Convolutional Code,WCC）的概念，随后编织码）的概念，随后编织码（Woven code）便发展起来了。它是一种组合码，其系统结构）便发展起来了。它是一种组合码，其系统结构可完全包容传统分组码、卷级码以及各类可完全包容传统分组码、卷级码以及各类Turbo码，开创了编码码，开创了编码领域的一个新天地。领域的一个新天地。 编织码的结构综合了并

26、行级联卷级码（编织码的结构综合了并行级联卷级码（Turbo码）和串行级联卷码）和串行级联卷级码的结构特点，当外编码器个数足够多时，该码型完全拥有了级码的结构特点，当外编码器个数足够多时，该码型完全拥有了Shannon编码定理中随机长码的特性，因此，其纠错性能理论编码定理中随机长码的特性，因此，其纠错性能理论上比上比Turbo码要优异。码要优异。 但编织码的编码结构复杂性较高，编码效率也不高，目前研究最但编织码的编码结构复杂性较高，编码效率也不高，目前研究最多的是多的是1/3的编织卷级码，译码采用的编织卷级码，译码采用BCJR算法的迭代译码。算法的迭代译码。发展概括 1948年，年，Shanno

27、n发表开创性文章发表开创性文章“通信的数学理论通信的数学理论”； 1950年，年，Hamming发明了汉明码；发明了汉明码； 1955年，年，Elias引入了卷级码；引入了卷级码； 1957年，年，Prange提出了循环码；提出了循环码； 1960年，年，Bose/Chaudhuri/ Hocquenghem发明了发明了BCH码；码；Reed和和Solomon提提出了出了RS码；码； 1962年，年，Gallager提出了提出了LDPC码；码； 1967年，年，Berlekamp引入了引入了BCH/RS码的快速译码算法；码的快速译码算法； 1968年，年，Gallager著书著书Informa

28、tion theory and reliable communication； 1971年，年，Viterbi引入卷级码的最大似然译码；引入卷级码的最大似然译码； 1972年，年，BCJR算法的提出；算法的提出； 1981年，年，Tanner提出了用于理解信道编码理论的提出了用于理解信道编码理论的Tanner图；图； 1982年，年，Ungerboeck引入编码调制；引入编码调制； 1993年，年，Berrou/Glaveieux/Thitimajshima提出了提出了Turbo码；码； 1995年，年，MacKay重新发现了重新发现了LDPC码；码； 1997年，年， Host/Johann

29、esson/Ablov提出了编织卷级码。提出了编织卷级码。 2000年，年，Aji与与McEliece总结了应用消息传递思想进行译码的码型；总结了应用消息传递思想进行译码的码型； 2003年，年，Koetter与与Vardy提出了提出了RS码的代数软判决译码；码的代数软判决译码；高效纠错编码的研究现状 20世纪世纪90年代以后，以迭代译码为基础的高效纠错码成为主要研究对象年代以后，以迭代译码为基础的高效纠错码成为主要研究对象，不再将精力放在以代数为基础的代数码上，而是寻找新的纠错码的认识，不再将精力放在以代数为基础的代数码上，而是寻找新的纠错码的认识方式，其中有以方式，其中有以Tanner图为

30、基础发展起来的编译码的可视化方法，如因图为基础发展起来的编译码的可视化方法，如因子图，以及基于图中双边上信息传递的和积算法，还有用于评估码字性能子图，以及基于图中双边上信息传递的和积算法，还有用于评估码字性能限的数值化方法密度进化、典型集合界理论等。限的数值化方法密度进化、典型集合界理论等。 由于最大似然译码性能最好，但复杂度随码长指数增加（物理上不可实现由于最大似然译码性能最好，但复杂度随码长指数增加（物理上不可实现），因此必须研究新的编译码方案，期望在性能和复杂度之间取得平衡。），因此必须研究新的编译码方案，期望在性能和复杂度之间取得平衡。如串行级联码、乘积码等编码方案的目标都是为了构造出

31、具有较大等效分如串行级联码、乘积码等编码方案的目标都是为了构造出具有较大等效分组长度的纠错码，并且允许将最大似然译码分为几个较简单的译码步骤（组长度的纠错码，并且允许将最大似然译码分为几个较简单的译码步骤（一种次优但可实现的译码策略）；另一种次优方法是迭代译码（一种次优但可实现的译码策略）；另一种次优方法是迭代译码（Gallager的贡献），的贡献），1993年年Berrou提出的提出的Turbo码采用软输出迭代译码，性能与码采用软输出迭代译码，性能与Shannon限仅差限仅差0.7dB，1996年，年，MacKay与与Neal仿真的仿真的LDPC码性能与码性能与Shannon限仅差限仅差0.

32、0045dB，这表明，迭代译码方法已成为靠近，这表明，迭代译码方法已成为靠近Shannon限的高效纠错码的基本特征。限的高效纠错码的基本特征。 总之，为实现高效纠错，不是采用级联方式构造随机长码，就是采用迭代总之，为实现高效纠错，不是采用级联方式构造随机长码，就是采用迭代译码，或两者均采用，以逼近译码，或两者均采用，以逼近Shannon限。限。端到端的通信系统模型 从图中可知，数字通信的主要技术问题包括：信源编译码、从图中可知，数字通信的主要技术问题包括：信源编译码、信道编译码、数字调制解调、基带传输、信道与噪声、接信道编译码、数字调制解调、基带传输、信道与噪声、接收时必须要解决的同步问题、为

33、了使通信过程保密，要进收时必须要解决的同步问题、为了使通信过程保密，要进行保密编译码的处理等。行保密编译码的处理等。 信源信源编码信道收信者噪声干扰信道编码调制信源译码信道译码解调信息和编码理论信息和编码理论调制和检测理论调制和检测理论同步同步无线信道无线信道比有线信道要恶劣的多！比有线信道要恶劣的多！1.2 简单的编码方式回顾 在设计数字通信系统时，首先应从合理地选择调制解调方法在设计数字通信系统时，首先应从合理地选择调制解调方法、合适的发射功率等方面考虑，若仍不能满足系统误码率要、合适的发射功率等方面考虑，若仍不能满足系统误码率要求，则要考虑采用本章所讲的差错控制编码措施。求，则要考虑采用

34、本章所讲的差错控制编码措施。 纠错码纠错码，是当消息经过有噪信道传输或要恢复存储的数据时，是当消息经过有噪信道传输或要恢复存储的数据时用来纠错的。用来传输消息的物理介质叫做用来纠错的。用来传输消息的物理介质叫做信道信道（如电话线（如电话线、卫星连接、用于移动通信的无线信道等）。因为纠错码试、卫星连接、用于移动通信的无线信道等）。因为纠错码试图克服信道中噪声造成的损害，因此其编码过程又称为图克服信道中噪声造成的损害，因此其编码过程又称为信道信道编码编码，它是提高数字信号传输可靠性的有效方法之一。，它是提高数字信号传输可靠性的有效方法之一。数字通信系统框图信源信宿信道编码器信道译码器调制器解调器信

35、道噪声差错控制编码差错控制编码编码调制编码调制常用的差错控制方式有三种：常用的差错控制方式有三种： u检错重发方式，又称为自动重发请求（检错重发方式，又称为自动重发请求（ARQ），发送端发），发送端发送能够发现错误的码，由接收端判断接收中有无错误发生送能够发现错误的码，由接收端判断接收中有无错误发生。如果发现错误，则通过反向信道把这一判决结果反馈给。如果发现错误，则通过反向信道把这一判决结果反馈给发送端，然后发送端再把错误的信息重发一次。发送端，然后发送端再把错误的信息重发一次。 发送端接收端能够发现错误的码应答信号u前向纠错方式（前向纠错方式（FEC）：发送端发送能够纠正错误的码，接）：发送

36、端发送能够纠正错误的码，接收端收到后自动纠正传输中的错误，特点是单向传输。收端收到后自动纠正传输中的错误，特点是单向传输。 u混合混合纠错方式（纠错方式（HEC）：发送端发送既能自动纠错，又能检）：发送端发送既能自动纠错，又能检测的码。接收端收到码流后，检查差错情况，如果错误在纠错测的码。接收端收到码流后，检查差错情况，如果错误在纠错能力范围以内，则自动纠错，如果超过了纠错能力，但能检测能力范围以内，则自动纠错，如果超过了纠错能力，但能检测出来，则经过反馈信道请求发送端重发。出来，则经过反馈信道请求发送端重发。 发送端接收端可以纠正错误的码发送端接收端能够发现和纠正错误的码应答信号差错控制编码

37、的基本原理 在信息码元序列中附加一些监督码元，在两者之间在信息码元序列中附加一些监督码元，在两者之间建立某种校验关系，当这种校验关系因传输错误而建立某种校验关系，当这种校验关系因传输错误而受到破坏时，可以被发现和纠正。不同的编码方法受到破坏时，可以被发现和纠正。不同的编码方法，有不同的检错和纠错能力。一般来说，付出的代，有不同的检错和纠错能力。一般来说，付出的代价越大，检（纠）错的能力就越强。这里所说的代价越大，检（纠）错的能力就越强。这里所说的代价，指增加的监督码元的多少。例如，若编码序列价，指增加的监督码元的多少。例如，若编码序列中，平均每两个信息码元就有一个监督码元，则这中，平均每两个信

38、息码元就有一个监督码元，则这种编码的多余度为种编码的多余度为1/3，或者说，这种编码的编码速，或者说，这种编码的编码速率为率为2/3，可见，差错控制编码是以降低信息传输速，可见，差错控制编码是以降低信息传输速率来换取信息传递的可靠性提高。率来换取信息传递的可靠性提高。 差错控制编码的分类 根据根据 的函数关系，可分为线性码的函数关系，可分为线性码和非线性码。和非线性码。根据信息码元和监督码元之间的约束方式，可分为根据信息码元和监督码元之间的约束方式，可分为分组码和卷积码。在分组码中，监督码元仅与本码分组码和卷积码。在分组码中，监督码元仅与本码组的信息码元有关，而在卷积码中，监督码元不仅组的信息

39、码元有关，而在卷积码中，监督码元不仅与本组的信息码元有关，还与前面若干组的信息码与本组的信息码元有关，还与前面若干组的信息码元有关。元有关。 信息码元监督码元误差控制编码的目标用可以纠正的错误个数来衡量用可以纠正的错误个数来衡量纠错能力；纠错能力；快速有效地对消息进行编码；快速有效地对消息进行编码；快速有效地对消息进行解码；快速有效地对消息进行解码；单位时间内所能传输的信息单位时间内所能传输的信息bit数尽量大（即尽量减少冗数尽量大（即尽量减少冗余度）。余度）。矛盾！折衷！矛盾！折衷！使用纠错编码的原因权衡权衡1：差错性：差错性能和带宽；能和带宽；权衡权衡2：功率与：功率与带宽；带宽；权衡权衡

40、3：数据速：数据速率与带宽；率与带宽；权衡权衡4：容量与：容量与带宽；带宽；几种常用的简单检错码 奇偶监督码奇偶监督码 就是在原信息码元后面附加一个监督码元，使得码组就是在原信息码元后面附加一个监督码元，使得码组中的中的“1”的个数为奇数或偶数。接收端译码时，对各的个数为奇数或偶数。接收端译码时，对各码元进行模码元进行模2加运算，其结果为加运算，其结果为0或或1，如果传输过程，如果传输过程中任何一位发生错误，就会使校验条件不满足，但当中任何一位发生错误，就会使校验条件不满足，但当有偶数个错误发生时，这种编码就无能为力了。有偶数个错误发生时，这种编码就无能为力了。 行列监督码（水平奇偶监督码）行

41、列监督码（水平奇偶监督码） 对行和列都实施奇偶监督。对行和列都实施奇偶监督。 恒比码恒比码 ：即码字中即码字中“1”和和“0”的数目保持恒定比例的数目保持恒定比例的码。的码。 1.2.1 线性分组码基本名词定义 在信道编码中，非零码元的数目称为在信道编码中，非零码元的数目称为汉明重量汉明重量（Hamming Weight)，也称为，也称为码重码重。记为。记为w(c)。 两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码组的两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码组的汉明距离汉明距离（Hamming Distance），简称），简称码距码距。记为。记为d(c1,c2),可得可得d(c1,c

42、2)=w(c1-c2)。 例例:考虑有两个码字考虑有两个码字0100,1111的码的码C，则，则w(0100)=1, w(1111)=4,这两个码字间的汉明距离为这两个码字间的汉明距离为3。通过观察，有。通过观察，有 w(0100-1111)=w(1011)=3 =d(0100,1111)码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为最小最小码距码距（dmin），它关系着这种编码的检错和纠错能），它关系着这种编码的检错和纠错能力。力。 u为检测出为检测出e个错码，个错码， u为纠正为纠正t个错码，个错码， u为检测出为检测出e个错码个错码,同时纠正同时纠正t个

43、错码，个错码， 且且1min ed12min td1mintedte线性码具有下述性质两个属于该码的码字的和仍是一个属于该码的码字两个属于该码的码字的和仍是一个属于该码的码字；全零字总是一个码字；全零字总是一个码字；一个线性码的两个码字之间的最小距离等于任何非一个线性码的两个码字之间的最小距离等于任何非零码字的最小汉明重量。零码字的最小汉明重量。 例：码例：码C0000,1010,0101,1111是一个分是一个分组长度为组长度为4的线性分组码。的线性分组码。以分组码为例，一般以（以分组码为例，一般以（n，k）表示，）表示，k是信息码是信息码元数目，元数目，n是码组总码元数，又称为码长，因此，

44、是码组总码元数，又称为码长，因此，nkr就是监督码元的数目。就是监督码元的数目。信道编码可表示为由信道编码可表示为由编码前的信息码元空间编码前的信息码元空间Uk到编码后的码字空间到编码后的码字空间Cn的的一个映射一个映射f，即：，即： f：UkCn, 编码速率为编码速率为R=k/n。 在二进制情况下，共有在二进制情况下，共有2k个不同的信息组，相应地个不同的信息组，相应地有有2k个不同的码字，称为许用码组，其余个不同的码字，称为许用码组，其余2n2k个个就称为禁用码组。就称为禁用码组。 （7，4）线性分组码举例基本基本概念概念 u分组码：将信息码分组，为每组信码附加若干监督码的编分组码：将信息

45、码分组，为每组信码附加若干监督码的编码，称为分组码。码，称为分组码。 u线性分组码：每个监督码元都是码组中某些信息码元的线线性分组码：每个监督码元都是码组中某些信息码元的线性相加得到的。性相加得到的。 下面以（下面以（7，4）分组码进行说明。）分组码进行说明。 其码字其码字 |0123456aaaaaaaA 信息码元监督码元据此，可得到据此，可得到16个码字，个码字，dmin3，能检测出，能检测出2个错误，纠正个错误，纠正1个错误。个错误。 346035614562aaaaaaaaaaaa监督矩阵H和生成矩阵G 将上面的方程重写为：将上面的方程重写为： 01001101001010110001

46、0111012345601234560123456aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa0001001101010101100101110123456Taaaaaaa这就是监督矩阵！这就是监督矩阵！H矩阵是一个矩阵是一个rn的矩阵，它的每行之间是线性无关的矩阵，它的每行之间是线性无关的。的。 将将H矩阵分为两部分：矩阵分为两部分： 所以，所以，P矩阵是一个矩阵是一个rk阶的矩阵，阶的矩阵，Ir是是r阶的单位阵阶的单位阵。可写为可写为HP Ir形式的矩阵称为典型监督矩阵。如形式的矩阵称为典型监督矩阵。如果监督矩阵果监督矩阵H不是一个典型矩阵，可以对它进行初等不是一个典型矩阵，可以对它进行初等

47、变换，化为典型监督矩阵。变换，化为典型监督矩阵。 100110101010110010111rIPH这个式子说明这个式子说明H矩阵与码字的转置乘积为零，据此矩阵与码字的转置乘积为零，据此可作为接收码字可作为接收码字A是否出错的依据。是否出错的依据。若把监督方程补充为下列方程：若把监督方程补充为下列方程： TTHA034603561456233445566aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa345601234561101101101111000010000100001aaaaaaaaaaa定义：定义： 则有：则有： 因此，由信息码元和生成矩阵因此，由信息码元和生成矩阵G G就可产生全部码字。

48、就可产生全部码字。 1101000101010001100101110001GGaaaaAaaaaGATT34563456观察观察G，可得，可得 其中：其中： 因此，可写为上式形式的因此，可写为上式形式的G G矩阵就称为典型生成矩阵矩阵就称为典型生成矩阵。 QIGkTPQ110101011111(7,4)线性分组码编码器 例：已知例：已知（6，3）码的生成矩阵为）码的生成矩阵为试试求：求：（1 1）编码）编码码组和各个码组的码重码组和各个码组的码重；（2 2）最小）最小码距码距d dminmin和该码的差错控制和该码的差错控制能力；能力； 011100110010101001G 解：解： （1

49、 1）由）由3 3位码组成的信息码组矩阵为：位码组成的信息码组矩阵为： 111011101001110010100000D因此，因此， 686338000111011011110101101001101110110010011100000000011100110010101001111011101001110010100000GDA34434330码重 （2）最小码距）最小码距dmin3，该码能检错，该码能检错2位，或纠错位，或纠错1位，或位，或纠错纠错1位同时检错位同时检错1位的能力。位的能力。 011100110010101001G(6,3)线性分组码编码器线性分组码编码器伴随式（校正子）

50、S 码组在传输中可能由于干扰而出错，例如发送码组码组在传输中可能由于干扰而出错，例如发送码组为为A，接收到的码组却是，接收到的码组却是B，它们都是，它们都是n位码的行矢位码的行矢量，我们就定义量，我们就定义EBA为错码矩阵。为错码矩阵。 其中其中BAE定义定义 为伴随式为伴随式 0121eeeeEnniiiiiababe10THBS有：有： 因此，如果传输无错，因此，如果传输无错，S矩阵为零矩阵；如果有错误矩阵为零矩阵；如果有错误，S就是一个非零矢量，就能从伴随式确定错误图样就是一个非零矢量，就能从伴随式确定错误图样，然后从接收到的码字中减去错误图样，即，然后从接收到的码字中减去错误图样，即A