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1、第四节第四节 透镜的傅里叶变换性质和成像性质透镜的傅里叶变换性质和成像性质一、透镜的傅里叶变换性质一、透镜的傅里叶变换性质透镜之所以能够用于透镜之所以能够用于FT，再与它具有能对入射波前施加位相调制，再与它具有能对入射波前施加位相调制作用的能力，即透镜的二次位相因子在起作用。下面就最常用的作用的能力，即透镜的二次位相因子在起作用。下面就最常用的单色平面波照明下的单色平面波照明下的FT光路作出分析。观察平面都选在透镜的后光路作出分析。观察平面都选在透镜的后焦面。衍射屏或衍射物体（指透射型的平面物体，凡能改变透射焦面。衍射屏或衍射物体（指透射型的平面物体，凡能改变透射光波的振幅和位相分布的物体）相
2、对于会聚透镜的二种位置是：光波的振幅和位相分布的物体）相对于会聚透镜的二种位置是：紧靠透镜放置、在透镜前方相距紧靠透镜放置、在透镜前方相距d0处放置。暂不考虑透镜孔径的处放置。暂不考虑透镜孔径的有限大小。有限大小。1、衍射物体紧靠透镜放置、衍射物体紧靠透镜放置考察三个特定平面上的场分布：考察三个特定平面上的场分布：1）物体与透镜之间的平面上的）物体与透镜之间的平面上的复振幅分布复振幅分布2）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布3）后焦面上的复振幅分布）后焦面上的复振幅分布物体的复振幅透过率为物体的复振幅透过率为 ，则物体与透镜之间的平面上的，则物体与透镜之间的平面
3、上的复振幅分布为复振幅分布为由于不考虑透镜的有限孔径大小，则透镜的复振幅透过率为由于不考虑透镜的有限孔径大小，则透镜的复振幅透过率为则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为光波从透镜传播光波从透镜传播f距离到达后焦面上所产生的场分布，可根据距离到达后焦面上所产生的场分布，可根据菲涅耳衍射公式的菲涅耳衍射公式的FT 表示式来计算表示式来计算即即将将 代入上式得到代入上式得到 表明：透镜后焦面上的光场分布正比于表明：透镜后焦面上的光场分布正比于衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。但是这种但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相
4、因子关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子 ，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布不，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布不一样，但他对观察平面上的强度分布没有影响，其光强为一样，但他对观察平面上的强度分布没有影响，其光强为2、物体放置在透镜前方、物体放置在透镜前方设物体的复振幅透过率为设物体的复振幅透过率为 ，它与透镜之间的距离为，它与透镜之间的距离为 ，前，前面已导出紧靠透镜之前的平面上场分布面已导出紧靠透镜之前的平面上场分布 与透镜后焦面上与透镜后焦面上场分布场分布 之间的关系，所以这里只需要计算如下三个特定之间的关系，所以这里只需要计算如下三个特定平面上的复振幅分布：紧靠物体之后
5、的平面上的复振幅分布平面上的复振幅分布：紧靠物体之后的平面上的复振幅分布 、紧靠透镜之前的平面上的复振幅分布、紧靠透镜之前的平面上的复振幅分布 和后焦和后焦面上的复振幅分布面上的复振幅分布 。用振幅为用振幅为A的单色平面波垂直照明物体，物体的复振幅透过率为的单色平面波垂直照明物体，物体的复振幅透过率为 ，则紧靠物体之后的平面上的复振幅分布为，则紧靠物体之后的平面上的复振幅分布为根据频谱理论计算光波传播到紧靠透镜之前的平面上的场分布为根据频谱理论计算光波传播到紧靠透镜之前的平面上的场分布为是描述菲涅耳衍射在频是描述菲涅耳衍射在频域效应的传递函数。域效应的传递函数。根据教材根据教材P375公式公式
6、(13-118)知观察面上菲知观察面上菲涅耳衍射光场的频谱是经历了一个相移后涅耳衍射光场的频谱是经历了一个相移后的物频谱，即的物频谱，即其中的相移因子就是这个传递函数其中的相移因子就是这个传递函数而而将将 和和 代入代入 中得到中得到不考虑透镜的有限孔径，利用透镜后焦面上的光场分布正比于物不考虑透镜的有限孔径，利用透镜后焦面上的光场分布正比于物体的傅里叶变换。有体的傅里叶变换。有所以所以可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换，到可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换，到有一个位相弯曲。当有一个位相弯曲。当 时，物体紧靠透镜结论与前面一致，时，物体紧靠透镜结论与前面一致，
7、当当 时，式子变为时，式子变为上面的讨论没有考虑透镜的有限孔径，它是基于透镜孔径无限上面的讨论没有考虑透镜的有限孔径，它是基于透镜孔径无限大的假设做出的。事实上，由于透镜的孔径有限，它将限制物大的假设做出的。事实上，由于透镜的孔径有限，它将限制物体的较高频率成分（对应于与体的较高频率成分（对应于与z轴夹角较大的平面波）的传播，轴夹角较大的平面波）的传播，这就是渐晕效应。显然，物体越靠近透镜或透镜孔径越大，渐这就是渐晕效应。显然，物体越靠近透镜或透镜孔径越大，渐晕效应越小。渐晕效应的存在，将使后焦面上得不到完全的物晕效应越小。渐晕效应的存在，将使后焦面上得不到完全的物体频谱。体频谱。二、透镜的成
8、像性质二、透镜的成像性质在此只考虑点物成像问题：在此只考虑点物成像问题：1、点物距透镜无穷远、点物距透镜无穷远F如图，在紧靠透镜前平面上的如图，在紧靠透镜前平面上的光场分布为一常数，设为光场分布为一常数，设为1，则，则光波透过透镜后，若不考虑透光波透过透镜后，若不考虑透镜的有限孔径，在紧靠透镜后镜的有限孔径，在紧靠透镜后平面上的光场分布为平面上的光场分布为会聚球面波会聚球面波所以，透镜的成像本领是透镜对入射光波的位相产生调制作用的所以，透镜的成像本领是透镜对入射光波的位相产生调制作用的结果，正式透镜的二次位相因子改变了入射波的位相分布，使得结果，正式透镜的二次位相因子改变了入射波的位相分布，使
9、得入射平面波变为会聚球面波，所以在透镜用于入射平面波变为会聚球面波，所以在透镜用于FT时，使得物体平时，使得物体平面场分布的各个频率分量会聚于透镜的后焦面，从而在后焦面上面场分布的各个频率分量会聚于透镜的后焦面，从而在后焦面上得到物体（或物体平面场分布）的频谱。得到物体（或物体平面场分布）的频谱。2、点物在距透镜有限远的光轴上、点物在距透镜有限远的光轴上设点物设点物S位于距透镜为位于距透镜为 的光轴上，的光轴上，则投射到透镜上的光波就是从则投射到透镜上的光波就是从S点点发出的发散球面波。在傍轴近似下，发出的发散球面波。在傍轴近似下，它在透镜前平面上的场分布为它在透镜前平面上的场分布为通过透镜后
10、场分布变为通过透镜后场分布变为上式表示一个会聚球面波，其会聚中心是在距离透镜上式表示一个会聚球面波，其会聚中心是在距离透镜 的的 点，点，这就是这就是S成像的像点。成像的像点。3、点物在距透镜有限远的光轴外、点物在距透镜有限远的光轴外如图，如图，S发出的发散球面波在透镜发出的发散球面波在透镜前平面上的场分布，取傍轴近似，有前平面上的场分布，取傍轴近似，有这样的球面波通过透镜后，场分布变为这样的球面波通过透镜后，场分布变为且对于距透镜且对于距透镜 的的xy平面上的点，若它满足条件平面上的点，若它满足条件则上式简化为则上式简化为4、考虑透镜有限孔径时的成像、考虑透镜有限孔径时的成像此时，透射光波不
11、再是会聚球面波，所成的像是一个衍射像斑。讨此时，透射光波不再是会聚球面波，所成的像是一个衍射像斑。讨论点物在距透镜有限远的光轴上时，衍射像斑的光场分布表示式。论点物在距透镜有限远的光轴上时，衍射像斑的光场分布表示式。考虑透镜的有限孔径，透镜的透射函数为考虑透镜的有限孔径，透镜的透射函数为当点物在距透镜有限远的光轴上时，入射球面波通过透镜后其场分当点物在距透镜有限远的光轴上时，入射球面波通过透镜后其场分布为布为 通过距离通过距离 的传播在的传播在xy面（像面）上的场分布由菲涅耳面（像面）上的场分布由菲涅耳衍射公式得到衍射公式得到表明：当考虑透镜的有限孔径时，在像面上的场分布有透镜孔表明：当考虑透
12、镜的有限孔径时，在像面上的场分布有透镜孔径的夫琅禾费衍射图样给出，其中心点在几何像点。且说明在径的夫琅禾费衍射图样给出，其中心点在几何像点。且说明在采用球面波照明时，透镜仍然起采用球面波照明时，透镜仍然起FT作用，只是这时频谱面不作用，只是这时频谱面不再后焦面，而位于点光源的像面。再后焦面，而位于点光源的像面。这里的讨论也适用于其它复杂的透镜系统。这里的讨论也适用于其它复杂的透镜系统。例题例题1 一块透明片的振幅透射函数为一块透明片的振幅透射函数为 （高斯分布），（高斯分布），r1为径向坐标。将透明片置于透镜前并紧靠透镜，透镜镜框半径为为径向坐标。将透明片置于透镜前并紧靠透镜，透镜镜框半径为a
13、，一单位振幅的单色光垂直照明，求透镜后焦面上的衍射复振幅，一单位振幅的单色光垂直照明，求透镜后焦面上的衍射复振幅分布。分布。解：平面波通过透明片和透镜镜框后，解：平面波通过透明片和透镜镜框后，在透镜前平面的光场分布为在透镜前平面的光场分布为根据前面得到的结论知：透镜后焦面上的复振幅分布正比于衍射根据前面得到的结论知：透镜后焦面上的复振幅分布正比于衍射物体上的复振幅分布的物体上的复振幅分布的FT，即公式，即公式是透镜后焦面是透镜后焦面上的空间频率上的空间频率所以所以当透镜及其镜框很大时，有当透镜及其镜框很大时，有于是透镜后焦面上的复振幅分布为于是透镜后焦面上的复振幅分布为或者或者例题例题2 半径
14、为半径为a的小圆屏置于透镜前焦面（中心在光轴上），的小圆屏置于透镜前焦面（中心在光轴上），以单位振幅的单色光垂直照明，求透镜后焦面上夫琅禾费衍射以单位振幅的单色光垂直照明，求透镜后焦面上夫琅禾费衍射图样的复振幅分布和光强分布（不考虑透镜有限孔径引起的渐图样的复振幅分布和光强分布（不考虑透镜有限孔径引起的渐晕效应）。晕效应）。解：这是衍射物体置于透镜前一定距离的情况，由公式：解：这是衍射物体置于透镜前一定距离的情况，由公式：所以此时透镜后焦面上的复振幅分布是小圆屏平面复振幅分布所以此时透镜后焦面上的复振幅分布是小圆屏平面复振幅分布的的FT，而小圆屏平面的复振幅分布为，而小圆屏平面的复振幅分布为所以此时透镜后焦面上的复振幅分布为所以此时透镜后焦面上的复振幅分布为