《刚体力学基础 》PPT课件.ppt

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1、山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩5.3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理一、一、定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能z O的动能为的动能为P1山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半。动惯量与其角速度平方乘积的一半。刚体的总动能刚体的总动能2山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩二、

2、二、力矩的功力矩的功 O 根据功的定义根据功的定义（力矩做功的微分形式）（力矩做功的微分形式）对一有限过程对一有限过程若若 M=C力的累积过程力的累积过程 力矩的空间累积效应。力矩的空间累积效应。.P3山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩(2)力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。(3)内力矩作功之和为零。内力矩作功之和为零。(1)合力矩的功合力矩的功讨论讨论(4)力矩的功率力矩的功率力矩的功率可以写成力矩与角速度的乘积。力矩的功率可以写成力矩与角速度的乘积。4山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基

3、础刚体力学基础 动量矩动量矩三、绕定轴刚体的动能定理三、绕定轴刚体的动能定理（合力矩功的效果）（合力矩功的效果）元功元功 5山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩对于一有限过程对于一有限过程 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量,等于在该过程中作用在刚体上所有外力矩所等于在该过程中作用在刚体上所有外力矩所作功的总和。绕定轴转动刚体的作功的总和。绕定轴转动刚体的动能定理动能定理。即即6山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩讨论讨论(3)刚体动

4、能的增量，等于外力的功。刚体动能的增量，等于外力的功。(2)刚体的内力做功之和为零；刚体的内力做功之和为零；(1)质点系动能变化取决于所有外力做功质点系动能变化取决于所有外力做功及内力做功；及内力做功；7山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩刚体重力势能刚体重力势能定轴转动刚体的机械能定轴转动刚体的机械能质心的势能质心的势能 对于包括刚体的系统，功能原理和机械对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。能守恒定律仍成立。四、四、刚体的机械能刚体的机械能8山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚

5、体力学基础 动量矩动量矩例例1 长为长为 l,质量为质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,初始时它在水平位置。初始时它在水平位置。解解:由动能定理由动能定理求求:它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 。Olm Cx9山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩此题也可用机械能守恒定律方便求解。此题也可用机械能守恒定律方便求解。而而 Olm Cx10山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩h例例2 一个质量为一个质量为M,半径为半径为

6、 R 的定的定滑轮滑轮(当作均匀圆盘当作均匀圆盘)上面绕有细上面绕有细绳绳,绳的一端固定在滑轮边上，另绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为一端挂一质量为m的物体而下垂。的物体而下垂。忽略轴处摩擦。忽略轴处摩擦。O RmM求求:物体物体 m 由静止下落高度由静止下落高度 h 时的速度。时的速度。圆盘对中心轴的转动惯量圆盘对中心轴的转动惯量 11山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩绳与圆盘间无相对滑动绳与圆盘间无相对滑动 v=R 利用刚体的动能定理利用刚体的动能定理,得得 圆盘受力矩圆盘受力矩 FTR 作用作用解：解：hO RmM由

7、质点的动能定理：由质点的动能定理：12山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩解法解法2.根据机械能守恒定律根据机械能守恒定律hO RmM13山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例3 如图所示如图所示,一质量为一质量为 m 的子弹以水平的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的速度射入一静止悬于顶端长棒的 a 处处,使使棒偏转棒偏转 30o,已知棒长为已知棒长为 l,质量为质量为 M。解解:将子弹和棒看作一个系将子弹和棒看作一个系统统,在极短时间内系统角动在极短时间内系统角动

8、量守恒。量守恒。求求:子弹的初速度子弹的初速度 v 0。v0mMla14山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 子弹射入棒后子弹射入棒后,以子弹、棒、地球为一以子弹、棒、地球为一系统系统,机械能守恒。机械能守恒。初速度初速度15山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例4 将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点点,杆的质量杆的质量 m 与单摆的摆锤相等。与单摆的摆锤相等。开始时开始时直杆自然下垂直杆自然下垂,将摆锤拉到高度将摆锤拉到高度 h 0

9、,令它令它自静止状态下落自静止状态下落,于铅垂位置和直杆作弹性于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。碰撞。求求:碰撞后直杆碰撞后直杆下端达下端达 到的高到的高度度 h。mlholchchh16山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩解解:碰撞前单摆摆锤的速度为碰撞前单摆摆锤的速度为碰撞后直杆的角速度为碰撞后直杆的角速度为 ,摆锤的速度为摆锤的速度为v。由角动量守恒由角动量守恒 在弹性碰撞过程中机械能守恒在弹性碰撞过程中机械能守恒17山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩联立二式联立二式,

10、得：得：按机械能守恒按机械能守恒,碰撞后碰撞后摆锤达到的高度为摆锤达到的高度为杆的质心达到的高度满足杆的质心达到的高度满足得得18山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 5.4 动量矩和动量矩守恒定律动量矩和动量矩守恒定律 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 力的时间累积效应力的时间累积效应冲量、动量、动量定理。冲量、动量、动量定理。冲量矩、动量矩、动量矩定理。冲量矩、动量矩、动量矩定理。19山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩动量矩的引入：动量矩的引入：但是但是 在质点

11、的匀速圆周运动中在质点的匀速圆周运动中,动量动量 不守恒。不守恒。20山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例子例子:开普勒行星运动定律的面积定律开普勒行星运动定律的面积定律:实例都说明实例都说明 是一个独立的物理量。是一个独立的物理量。再考虑到行星的质量再考虑到行星的质量m为恒量，为恒量，行星在相等的时间内扫过相等的面积。行星在相等的时间内扫过相等的面积。21山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩开普勒第二定律开普勒第二定律(面积定律面积定律):行星在相等的时间内扫过相等的

12、面积。行星在相等的时间内扫过相等的面积。22山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 在描述行星的轨道运动在描述行星的轨道运动,自转自转运动运动,卫星的轨道运动及微观粒子的运动中卫星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。都具有独特作用。因此因此,必须引入一个新必须引入一个新的物理量的物理量 动量矩动量矩 L,来描述这一现象。来描述这一现象。卫星卫星地球地球+23山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩一、动量矩一、动量矩1.质点的动量矩质点的动量矩(对对O点点)质量为质量为

13、 的质点以的质点以速度速度 在空间运动在空间运动,某时某时刻相对原点刻相对原点O的位矢为的位矢为 ,质点相对于原点的动量矩质点相对于原点的动量矩大小：大小：方向方向:符合右手螺旋法则。符合右手螺旋法则。24山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩讨论讨论 (1)质点的动量矩与质点的动量及位矢质点的动量矩与质点的动量及位矢有关有关(取决于固定点的选择取决于固定点的选择)。(2)在直角坐标系中的分量式在直角坐标系中的分量式 25山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 (3)当质点作

14、圆周运当质点作圆周运动时：动时：质点以角速度质点以角速度 作半径为作半径为r 的圆运动，相的圆运动，相对圆心的动量矩的大小对圆心的动量矩的大小kgm2/s(5)单位单位:(4)动量矩的定义并没有限定质点只能作曲动量矩的定义并没有限定质点只能作曲线运动而不能作直线运动。线运动而不能作直线运动。26山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩2.刚体绕定轴转动的动量矩刚体绕定轴转动的动量矩 O质点对质点对 z 轴的动量矩轴的动量矩 刚体上任一质量元对刚体上任一质量元对 z 轴轴的动量矩为的动量矩为 Oz27山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院

15、数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 刚体上任一质量元对刚体上任一质量元对 z 轴的轴的动量矩具有相同的方向。动量矩具有相同的方向。(所有质元对所有质元对 z 轴的角动量之和轴的角动量之和)O Oz说明说明 动量矩与质点动量动量矩与质点动量 对比对比:Jz m，v。28山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩二、二、质点的质点的动量矩动量矩定理和动量矩守恒定律定理和动量矩守恒定律已知已知 1.质点的动量矩定理质点的动量矩定理29山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础

16、动量矩动量矩 质点动量矩定理的微分形式。质点动量矩定理的微分形式。作用在质点上的力矩等于质点动量矩对时间的作用在质点上的力矩等于质点动量矩对时间的变化率。此即质点对固定点的动量矩定理。变化率。此即质点对固定点的动量矩定理。质点动量矩定理的积分形式。质点动量矩定理的积分形式。积分，得积分，得 冲量矩冲量矩30山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩质点所受合力矩的冲量质点所受合力矩的冲量矩矩等于质点的角动等于质点的角动量的增量。量的增量。(2)质点角动量的变化是力矩对时间的积质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果。累结果。说明说明 (1)

17、冲量矩是力矩的时间积累冲量矩是力矩的时间积累,是质点角是质点角动量变化的原因。动量变化的原因。31山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩2.质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律质点动量矩定理质点动量矩定理 质点动量矩守恒定律。质点动量矩守恒定律。(1)守恒条件守恒条件讨论讨论32山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩(3)自然界普遍适用的一条基本规律。自然界普遍适用的一条基本规律。(2)向心力的角动量守恒。向心力的角动量守恒。(4)质点对轴的角动量守恒定律质点对轴的角动量守恒

18、定律:若若 Mz=0,则则Lz=常数。即若力矩在某轴上的分量常数。即若力矩在某轴上的分量为零为零(或力对某轴的力矩为零或力对某轴的力矩为零)，则质点对该，则质点对该轴的角动量守恒。轴的角动量守恒。33山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩求求:此时质点对三个参考点的动量矩的大小。此时质点对三个参考点的动量矩的大小。md1d2 d3ABC解解:例例1一质点一质点m,速度为速度为 ,如图所示如图所示,A、B、C 分别为三个参考点分别为三个参考点,此时此时m 相对三个点的距相对三个点的距离分别为离分别为d1、d2、d3。34山东轻工业学院山

19、东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例2半径为半径为R 的光滑圆环上的光滑圆环上A点有一质量为点有一质量为m 的的小球小球,从静止开始下滑从静止开始下滑,若不计摩擦力。若不计摩擦力。解解:小球受重力矩作用小球受重力矩作用,由动量矩定理：由动量矩定理：求求:小球到达小球到达B点时对点时对O的动量矩和角速度。的动量矩和角速度。ABRO35山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩即即积分积分ABRO36山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动

20、量矩 求求:发射角发射角及着陆滑行时的速度及着陆滑行时的速度v 多大？多大？例例3 发射一宇宙飞船去考察一发射一宇宙飞船去考察一 质量为质量为 M,半半径为径为 R 的行星的行星.当飞船静止于空间距行星中心当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度时，以速度v 0发射一质量为发射一质量为 m 的仪器。的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面。要使该仪器恰好掠过行星表面。37山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩解解:引力场（有心力）引力场（有心力）质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒系统的机械能守恒系统的机械能守恒38山东轻工业学院山东轻工

21、业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩三、三、刚体绕定轴转动下的刚体绕定轴转动下的动量矩动量矩定理和定理和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律质点的动量矩定理质点的动量矩定理刚体内任一质量元所受力矩刚体内任一质量元所受力矩刚体内所有质量元所受力矩刚体内所有质量元所受力矩1.动量矩定理动量矩定理39山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩对定轴转动的刚体对定轴转动的刚体,Jz 为常量为常量,刚体定轴转动的动量矩定理微分形式。刚体定轴转动的动量矩定理微分形式。而而 或或 40山东轻工业学院山东轻工业学院 数理

22、学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩刚体定轴转动中刚体定轴转动中,动量矩定理与转动定律的关系动量矩定理与转动定律的关系 刚体定轴转动的转动定律实质是动量矩刚体定轴转动的转动定律实质是动量矩定理沿固定轴方向分量式的一种特殊形式。定理沿固定轴方向分量式的一种特殊形式。41山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量。动量矩的增量。刚体定轴转动刚体定轴转动动量矩定理积分形式动量矩定理积分形式:J 不变时不变时J 改变时改变时讨论讨论

23、 42山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩2.刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律刚体绕定轴转动的动量矩守恒定律对对定轴转动刚体定轴转动刚体若若 动量矩动量矩L不变的含义不变的含义:刚体刚体:J 不变不变,则则 不变。不变。非刚体非刚体:因因 J 可变可变,则则 J 乘积不变。乘积不变。变形体绕某轴转动时变形体绕某轴转动时,若若mk则变形体对该轴的角动量则变形体对该轴的角动量43山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩角动量守恒举例角动量守恒举例花样滑冰、花样滑冰、跳水跳水、芭蕾舞

24、等、芭蕾舞等.L守守恒恒2L守守恒恒144山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例1 一均质棒一均质棒,长度为长度为 L,质量为质量为M,现有一子弹现有一子弹在距轴为在距轴为 y 处水平射入细棒处水平射入细棒,子弹的质量为子弹的质量为 m,速度为速度为 v0。求求:子弹细棒共同的角速度子弹细棒共同的角速度 。解解:其中其中m子弹、细棒系统的动量矩守恒子弹、细棒系统的动量矩守恒 45山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例2 由一长为由一长为L的均匀细杆的均匀细杆,可绕通过

25、其中心可绕通过其中心点的轴在竖直平面内转动点的轴在竖直平面内转动,当杆静止在水平当杆静止在水平位置时位置时,有一只小虫以速率有一只小虫以速率v0垂直落在距点垂直落在距点O为为L/4处处,并背离转轴爬向端点。并背离转轴爬向端点。设小虫和细杆的质设小虫和细杆的质量均为量均为 m。问问:要使细要使细杆以恒定的角速度转动杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大的速率小虫应以多大的速率爬向端点？爬向端点？v0mpL/4Or46山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩解解:小虫落在细杆上为完全非弹性碰撞小虫落在细杆上为完全非弹性碰撞,且时且时间极短重力矩

26、作用可以忽略间极短重力矩作用可以忽略,碰撞前后系统碰撞前后系统动量矩守恒动量矩守恒,故有：故有：得杆的角速度为：得杆的角速度为：v0mpL/4Or47山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 作用在杆上的外力矩为小虫的重力矩，由作用在杆上的外力矩为小虫的重力矩，由角动量定理知角动量定理知因为细杆和小虫绕轴的转动惯量为：因为细杆和小虫绕轴的转动惯量为：v0mpL/4Or48山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩联立以上各式得到：联立以上各式得到：小虫的速率小虫的速率 49山东轻工

27、业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例3 如图所示如图所示,一质量为一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速穿出后速度损失度损失3/4,已知棒长为已知棒长为 l,质量为质量为M。mM解解:选取子弹和棒为系统选取子弹和棒为系统,其动量矩守恒其动量矩守恒因为因为求求:子弹穿出后棒的角速度子弹穿出后棒的角速度 。l所以所以 50山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩例例4 质量分别为质量分别为 M1、M2,半径分别为半

28、径分别为R1、R2的的两均匀圆柱两均匀圆柱,可分别绕它们本身的轴转动可分别绕它们本身的轴转动,二轴二轴平行。原来它们沿同一转向分别以平行。原来它们沿同一转向分别以 10,20 的角的角速度匀速转动速度匀速转动,然后平移二轴使它们的边缘相接然后平移二轴使它们的边缘相接触触,如图所示。如图所示。求求:最后在接触处无相对滑动时最后在接触处无相对滑动时,每个圆柱的角速度每个圆柱的角速度 1 和和 2。R1M1R2M2R1M1R2M251山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩二圆柱系统角动量守恒：二圆柱系统角动量守恒：对上述问题有以下的解对上述

29、问题有以下的解法法:在接触处无相对滑动在接触处无相对滑动时时,二圆柱边缘的线速度二圆柱边缘的线速度一样一样,故有：故有：由以上二式就可解出由以上二式就可解出 1，2。其中其中 这种解法对吗这种解法对吗?R1M1R2M252山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 原解认为系统的总动量矩为二圆柱各自对自原解认为系统的总动量矩为二圆柱各自对自己的轴的角动量之和是错误的己的轴的角动量之和是错误的,因为系统的总因为系统的总动量矩只能对某一个轴进行计算。当两柱体边动量矩只能对某一个轴进行计算。当两柱体边缘没有相对滑动时缘没有相对滑动时 1，2方向相反方向相反,所以应为所以应为(1)应对两圆柱分别使用动量矩应对两圆柱分别使用动量矩定理定理,由于两柱由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反接触时摩擦力大小相等、方向相反,力矩和冲力矩和冲量矩的大小正比于半径量矩的大小正比于半径,方向相同方向相同:53山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院第五章第五章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩(2)解解(1)(2)式式,得得:54