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1、3.5 3.5 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理一、依概率收敛一、依概率收敛定义定义3.12 3.12 则称随机变量序列则称随机变量序列是一列随机变量是一列随机变量,设设恒有恒有如果对任何如果对任何依概率收敛到依概率收敛到X X记作记作或或恒有恒有 对任何对任何恒有恒有 对任何对任何二、二、大数定律大数定律设在设在n n重贝努利试验中，重贝努利试验中，事件事件A A发生的次数为发生的次数为X X则事件则事件A A在在n n次试验中次试验中 发生的频率为发生的频率为X X与与都是随机变量都是随机变量.随着试验次数的增加，随着试验次数的增加，事件事件A A发生的频率发生的频率逐渐稳定在
2、逐渐稳定在即即即即即即 定理定理3.83.8（伯努利大数定律）（伯努利大数定律）常数常数 附近附近.的随机变量序列的随机变量序列,说明说明:概率意义下概率意义下,故大量随机变量的平均值故大量随机变量的平均值几乎不再是几乎不再是同分布同分布辛钦大数定律：辛钦大数定律：设设为独立为独立,存在存在有有 则对任何则对任何即即在定理的条件下在定理的条件下,当当n n充分大时充分大时,的平均值的平均值随机变量随机变量在在其数学期望其数学期望.随机变量随机变量.独立独立、分布的分布的会会充分接近充分接近同同三、三、中心极限定理中心极限定理“大量大量独立独立、随机变量随机变量以正态分布以正态分布为极限为极限的
3、和的和或平均值或平均值分布分布.”同分布的同分布的定理定理3.11 3.11 设随机变量序列设随机变量序列有有(独立同分布独立同分布则对一切则对一切 ,中心极限定理中心极限定理)(2)(2)服从服从同样的分布同样的分布;(3)(3)期望和方差都存在：期望和方差都存在：(1)(1)相相互互独立独立;(4)(4)方差方差满足：满足：由极限由极限当当n n充分大时充分大时,有有当随机变量序列当随机变量序列满足定理满足定理的条件时的条件时,无论无论只要它们只要它们(2)(2)服从服从同样的分布同样的分布;(3)(3)期望和方差都存在期望和方差都存在;则当则当n n充分大时充分大时,的有关概率的有关概率
4、.服从什么分布服从什么分布,都可以利用都可以利用来计算随机来计算随机变量变量(1)(1)相相互互独立独立;(4)(4)方差不等于方差不等于0.0.标准标准正态分布正态分布例例 标准差为标准差为1010克克,一箱内装有一箱内装有200200袋袋大于大于2050020500克的概率克的概率.用机器包装味精用机器包装味精,每袋味精的净重每袋味精的净重期望值为期望值为100100克克,求一箱味精求一箱味精净重净重解解 设箱内第设箱内第 袋味精袋味精的净重为的净重为独立独立,同分布同分布;味精味精,为随机变量为随机变量,克克.解解 设箱内第设箱内第 袋味精袋味精的净重为的净重为 克克独立独立,同分布同分
5、布;用机床加工大小相同的零件用机床加工大小相同的零件,每个零件的重量每个零件的重量求求制造制造12001200个零件个零件,例例 标准重标准重1 1公斤公斤,由于随机由于随机误差误差,在在 均匀分布均匀分布,总重量大于总重量大于12021202解解 设第设第 个零件个零件的重量为的重量为独立独立,同分布同分布;上上公斤公斤的概率的概率.公斤公斤.解解 设第设第 个零件个零件的重量为的重量为 公斤公斤独立独立,同分布同分布;近似近似由由近似近似当当n n充分大时充分大时,近似近似近似近似在定理的条件下，在定理的条件下，综合形成的综合形成的,而其中每个随机因素而其中每个随机因素则这个则这个随机变量
6、随机变量就服从就服从当一个随机变量当一个随机变量相互独立相互独立的的随机因素随机因素是由大量的、是由大量的、都服从同样都服从同样的分布的分布,或近似或近似服从服从正态分布正态分布.用机床加工大小相同的零件用机床加工大小相同的零件,每个零件的重量每个零件的重量求求例例 标准重标准重1 1公斤公斤,由于随机由于随机误差误差,在在 均匀分布均匀分布,上上最多制造多少个零件最多制造多少个零件,可使零件重量可使零件重量的绝对值的绝对值 小于小于2 2公斤的概率公斤的概率不小于不小于0.9?0.9?误差总和误差总和解解 设制造设制造n n个零件个零件,独立独立,同分布同分布;n n个零件的误差总和为个零件
7、的误差总和为为第为第 个零件的个零件的重量误差重量误差.解解 设制造设制造n n个零件个零件,独立独立,同分布同分布;为第为第 个零件的个零件的重量误差重量误差.解解 为第为第 个零件的个零件的重量误差重量误差.取取最多制造最多制造17631763个零件个零件.例例 测量某物体的长度时测量某物体的长度时,由于存在测量误差由于存在测量误差,测量测量,每次测得每次测得的长度值的长度值只能是近似值只能是近似值,现进行多次现进行多次再取这些再取这些测量值的平均值测量值的平均值作为作为实际长度实际长度假定假定n n个个测量值测量值具有共同的期望具有共同的期望和方差和方差精确到精确到随机变量随机变量,(为
8、为即真实长度即真实长度)若要以若要以95%95%的的把握把握 确信其估计值确信其估计值必须测量多少次必须测量多少次?解解 设测量设测量n n次次,独立独立,同分布同分布;用用实际长度为实际长度为的估计值的估计值.是独立同分布的是独立同分布的以内以内,为第为第 次测量的数据次测量的数据.估计估计真实长度真实长度.若要以若要以95%95%的的把握把握确信其估计值精确到确信其估计值精确到必须测量多少次必须测量多少次?解解 独立独立,同分布同分布;实际长度为实际长度为以内以内,为第为第 次测量的数据次测量的数据.设测量设测量n n次次,解解 实际长度为实际长度为为第为第 次测量的数据次测量的数据.取取
9、n=97,n=97,测量测量9797次次,就有就有设测量设测量n n次次,每一次试验每一次试验,设在一次试验中设在一次试验中,只有两个对立的结果只有两个对立的结果:或或重复重复进行进行n n次次独立独立试验试验,A A发生发生的概率都是的概率都是A A不发生的不发生的概率概率用用X X表示表示 n n重贝努里试验中重贝努里试验中事件事件A(A(成功成功)出现的出现的可能取值可能取值:次数次数,都是都是令令第一次第一次A A不发生不发生第一次第一次A A发生发生第二次第二次A A不发生不发生第二次第二次A A发生发生第第i i 次次A A不发生不发生第第i i 次次A A发生发生n n个参数均为
10、个参数均为p p的的0 0-1-1分布分布的和的和是二项是二项分布分布.(棣莫佛棣莫佛 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 )设随机变量设随机变量证证定理定理3.123.12则对一切则对一切有有设随机变量设随机变量相互独立相互独立,都服从都服从0-10-1分布分布,证毕证毕(棣莫佛棣莫佛 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 )设随机变量设随机变量定理定理3.123.12则对一切则对一切有有此时，此时，当当 充分大时充分大时,(棣莫佛棣莫佛 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 )设随机变量设随机变量定理定理3.123.12则对一切则对一切有有此时，此时，当当 充分大时充分大时,近似近似近似近似二项分布二项分布正态分布正态分布
11、例例 某地一家保险公司某地一家保险公司有有2 2万人参加了人寿保险万人参加了人寿保险,每人每人在年初在年初付付保险费保险费8 8元元,若投保人在该年死亡若投保人在该年死亡,则则保险公司保险公司赔付其家属赔付其家属20002000元元,该地区人口的该地区人口的为为万分之五万分之五,求求死亡率死亡率该保险公司一年的利润该保险公司一年的利润不少于不少于1212万元的概率万元的概率例例 某地一保险公司某地一保险公司有有2 2万人参加寿险万人参加寿险,每人年每人年初初付付保费保费8 8元元,若投保人在该年死亡若投保人在该年死亡,则则保险公司保险公司赔付赔付20002000元元,该地区人口的该地区人口的死
12、亡率死亡率为为万分之五万分之五,求求解解 设设2 2万投保人中死亡人数为万投保人中死亡人数为利润利润保险公司一年的利润保险公司一年的利润 不少于不少于1212万元的概率万元的概率例例 第一章第一章P2P2表表1-11-1中，中，记录了记录了皮尔孙掷硬币皮尔孙掷硬币出正面出正面60196019次次,1200012000次，次，若我们现在重复他的若我们现在重复他的求正面出现的频率求正面出现的频率 与其概率的之差的与其概率的之差的绝对值绝对值不大不大于于 当年皮尔孙试验当年皮尔孙试验 所发生的偏差所发生的偏差试验试验,的概率的概率.解解 皮尔孙掷硬币皮尔孙掷硬币1200012000次，次，出正面出正
13、面60196019次次,与出正面的概率与出正面的概率出正面出正面的频率为的频率为的偏差为的偏差为出正面的出正面的频率频率解解 皮尔孙掷硬币皮尔孙掷硬币1200012000次，次，面的概率面的概率现再掷现再掷1200012000次硬币次硬币,的偏差为的偏差为设正面出现了设正面出现了 次次,出正面出正面的频率与出正的频率与出正在第二章中，在第二章中，究竟以哪个分布究竟以哪个分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布二项分布二项分布正态分布正态分布一般说来，一般说来，计算结果计算结果不满足上述不满足上述就只能用正态分布来近似就只能用正态分布来近似.泊松分布也是泊松分布也是二项分布的极限分布二项分布的极限分
14、布,作二项分布的极限分布作二项分布的极限分布更合适？更合适？当当n n充分大，充分大，且且 很小，很小，能满足能满足 时时,用泊松分布用泊松分布代替二项分布代替二项分布,近似近似更准确更准确.当只有当只有n n充分大一个条件充分大一个条件,与与比用正态分布比用正态分布条件时条件时,每袋茶叶的净重是随机每袋茶叶的净重是随机 例例 变量，变量，标准差标准差5 5克，克，每每100100袋茶叶袋茶叶求（求（1 1）一箱茶叶净重一箱茶叶净重不超过不超过99009900克克解解 是第是第 袋的重量袋的重量.设设独立，独立，同分布同分布.期望期望值值为为100100克，克，装为一箱，装为一箱，的概率的概率
15、;用机器包装茶叶，用机器包装茶叶，例例 每袋茶叶的净重是随机变量，期望值每袋茶叶的净重是随机变量，期望值100100标准差标准差5 5克，每克，每100100袋茶叶袋茶叶装为一箱，装为一箱，求（求（1 1）一箱茶叶净重一箱茶叶净重不超过不超过99009900克克的概率的概率;解解 是第是第 袋的重量袋的重量.设设独立，独立，同分布同分布.例例 每袋茶叶的净重是随机变量，期望值每袋茶叶的净重是随机变量，期望值100100标准差标准差5 5克，每克，每100100袋茶叶袋茶叶装为一箱，装为一箱，一箱茶叶净重一箱茶叶净重不超过不超过99009900克克的概率为的概率为求（求（2 2）100100箱茶
16、叶中，箱茶叶中，至少有至少有5 5箱的净重箱的净重不超过不超过99009900克克的概率的概率.解解 设设100100箱中有箱中有X X箱箱净重不超过净重不超过99009900克克.1)1001)100箱箱2)2)每每箱净箱净重重4)4)各各箱净重独立箱净重独立.3)3)每箱净重每箱净重的概率都是的概率都是或者不超过或者不超过99009900克克 或者超过或者超过.不超过不超过99009900克克例例 每袋茶叶的净重是随机变量，期望值每袋茶叶的净重是随机变量，期望值100100标准差标准差5 5克，每克，每100100袋茶叶袋茶叶装为一箱，装为一箱，一箱茶叶净重一箱茶叶净重不超过不超过9900
17、9900克克的概率为的概率为求（求（2 2）100100箱茶叶中，箱茶叶中，至少有至少有5 5箱的净重箱的净重不超过不超过99009900克克的概率的概率.解解 设设100100箱中有箱中有X X箱箱净重不超过净重不超过99009900克克.为简便计算为简便计算,各加数的舍入误差各加数的舍入误差现有现有100100个加数个加数例例 在进行加法运算时在进行加法运算时,对每个加数对每个加数都四舍五都四舍五入入到百分位到百分位,可认为可认为上的均匀分布上的均匀分布,断定其误差所在范围断定其误差所在范围.试以试以 的概率的概率,解解 设第设第 个加数个加数的误差为的误差为 独立独立,同分布同分布;实际
18、值实际值近似值近似值实际和实际和近似和近似和误差误差误差误差服从服从相加相加,为简便计算为简便计算,各加数的舍入误差各加数的舍入误差现有现有100100个加数个加数例例 在进行加法运算时在进行加法运算时,对每个加数对每个加数都四舍五都四舍五入入到百分位到百分位,可认为可认为上的均匀分布上的均匀分布,断定其误差所在范围断定其误差所在范围.试以试以 的概率的概率,解解 设第设第 个加数个加数的误差为的误差为 独立独立,同分布同分布;求求服从服从相加相加,100100个加数的误差：个加数的误差：设所求误差范围为设所求误差范围为解解 设第设第 个加数个加数的误差为的误差为 独立独立,同分布同分布;解解 设第设第 个加数个加数的误差为的误差为 解解 设第设第 个加数个加数的误差为的误差为