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1、4 4 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 首先，我们介绍一下首先，我们介绍一下首先，我们介绍一下首先，我们介绍一下切比雪夫（切比雪夫（切比雪夫（切比雪夫（ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev）不等式）不等式）不等式）不等式.定理一定理一定理一定理一 （切比雪夫（切比雪夫（切比雪夫（切比雪夫（ChebyshevChebyshev）不等式）不等式）不等式）不等式）设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量 具有数学期望具有数学期望具有数学期望具有数学期望 方差方差方差方差 则对于则对于则对于则对于任意正数任意正数任意正数任意正数 不等式不等式不等式不等
2、式证证：成立成立成立成立.这一不等式称为切比雪夫（这一不等式称为切比雪夫（这一不等式称为切比雪夫（这一不等式称为切比雪夫（ChebyshevChebyshev）不等式不等式不等式不等式.例例1 1 设设试用切比雪夫不等式估计试用切比雪夫不等式估计解解：在第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，在第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，在第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，在第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐
3、稳定于某个常数于某个常数于某个常数于某个常数.在实践中人们还认识到大量测定值的算在实践中人们还认识到大量测定值的算在实践中人们还认识到大量测定值的算在实践中人们还认识到大量测定值的算术平均值也具有稳定性术平均值也具有稳定性术平均值也具有稳定性术平均值也具有稳定性.这种稳定性就是本节所要讨这种稳定性就是本节所要讨这种稳定性就是本节所要讨这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景论的大数定律的客观背景论的大数定律的客观背景论的大数定律的客观背景.定义定义n(1)若对任意的若对任意的 有有,则称随机变量序列则称随机变量序列 依概率收于依概率收于 ,记记 为为n(2)对随机变量序列对随机变量序列,
4、记记 ,若若 则称则称 服从大数定律服从大数定律.定理定理定理定理二（切比雪夫大数定理）二（切比雪夫大数定理）二（切比雪夫大数定理）二（切比雪夫大数定理）设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量两两互不相关，每一两两互不相关，每一两两互不相关，每一两两互不相关，每一随机变量都有有限的方差，并且它们有公共上界随机变量都有有限的方差，并且它们有公共上界随机变量都有有限的方差，并且它们有公共上界随机变量都有有限的方差，并且它们有公共上界 ，则对于任意正数，则对于任意正数，则对于任意正数，则对于任意正数 ，有，有，有，有 证：证：证：证：（4.24.2）定理三（切比雪夫大数定理的特殊情形）定理三（切比
5、雪夫大数定理的特殊情形）定理三（切比雪夫大数定理的特殊情形）定理三（切比雪夫大数定理的特殊情形）设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量 相互独立，且具有相同的相互独立，且具有相同的相互独立，且具有相同的相互独立，且具有相同的数学期望和方差数学期望和方差数学期望和方差数学期望和方差 .作前作前作前作前n n个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均 ,则对于任意则对于任意则对于任意则对于任意正数正数正数正数 ，有，有，有，有证：证：证：证：（4.34.3）12定理二表明定理二表明定理二表明定理二表明:当当当当 很大时，随机变量很大时，随机变量很大时，随机变
6、量很大时，随机变量 的的的的算术平均算术平均算术平均算术平均 接近于数学期望接近于数学期望接近于数学期望接近于数学期望这种接近是在概率意义下的接近这种接近是在概率意义下的接近这种接近是在概率意义下的接近这种接近是在概率意义下的接近.即在定理的条件即在定理的条件即在定理的条件即在定理的条件下，下，下，下，个随机变量的算术平均，当个随机变量的算术平均，当个随机变量的算术平均，当个随机变量的算术平均，当 无限增加时几无限增加时几无限增加时几无限增加时几乎变成一个常数乎变成一个常数乎变成一个常数乎变成一个常数.设设设设 是一个随机变量序列，是一个随机变量序列，是一个随机变量序列，是一个随机变量序列，是
7、一个常数是一个常数是一个常数是一个常数.若对任意正数若对任意正数若对任意正数若对任意正数 ，有，有，有，有则称序列则称序列则称序列则称序列 依概率收敛于依概率收敛于依概率收敛于依概率收敛于 .记为记为记为记为 13依概率收敛的序列还有以下性质依概率收敛的序列还有以下性质依概率收敛的序列还有以下性质依概率收敛的序列还有以下性质设设设设 又设函数又设函数又设函数又设函数 连续，连续，连续，连续，这样，上述定理三又可叙述为这样，上述定理三又可叙述为这样，上述定理三又可叙述为这样，上述定理三又可叙述为设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量 相互独立，且具有相相互独立，且具有相相互独立，且具有相相互独
8、立，且具有相同的数学期望和方差同的数学期望和方差同的数学期望和方差同的数学期望和方差则序列则序列则序列则序列 依概率收敛于依概率收敛于依概率收敛于依概率收敛于则则则则即即即即14定理四定理四定理四定理四 （贝努利大数定理）（贝努利大数定理）（贝努利大数定理）（贝努利大数定理）设设 次重复独立试验中事件次重复独立试验中事件 发生的次数发生的次数.是事件是事件 在每次试验中发生的概率，则对任意在每次试验中发生的概率，则对任意正数正数 ，有，有证：证：或或或或16贝努里大数定理贝努里大数定理贝努里大数定理贝努里大数定理“表明事件发生的频率表明事件发生的频率表明事件发生的频率表明事件发生的频率 依概率
9、依概率依概率依概率收敛于事件发生的概率收敛于事件发生的概率收敛于事件发生的概率收敛于事件发生的概率 ”.这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性.就就就就是说是说是说是说“当当当当 很大时，事件发生的频率与概率有较大偏很大时，事件发生的频率与概率有较大偏很大时，事件发生的频率与概率有较大偏很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小差的可能性很小差的可能性很小差的可能性很小”.在实际应用中，当试验次数很大在实际应用中，当试验次数很大在实际应用中，当试验次数很大在
10、实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.定理三中要求随机变量定理三中要求随机变量定理三中要求随机变量定理三中要求随机变量 的方差存在的方差存在的方差存在的方差存在.但在但在但在但在这些随机变量服从相同分布的场合，并不需要这一要这些随机变量服从相同分布的场合，并不需要这一要这些随机变量服从相同分布的场合，并不需要这一要这些随机变量服从相同分布的场合，并不需要这一要求，我们不加证明地给出如下的辛钦定理求，我们不加证明地给出如下的辛钦定理求，我们
11、不加证明地给出如下的辛钦定理求，我们不加证明地给出如下的辛钦定理.定理五定理五定理五定理五 （辛钦大数定理）（辛钦大数定理）（辛钦大数定理）（辛钦大数定理）设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量 相互独立，服从同一分相互独立，服从同一分相互独立，服从同一分相互独立，服从同一分布，具有数学期望布，具有数学期望布，具有数学期望布，具有数学期望则对于任意正则对于任意正则对于任意正则对于任意正数数数数 ，有，有，有，有例例2 2 设序列设序列 独立同分布于独立同分布于 ,问问 时时 依概率收敛于多少依概率收敛于多少？解解：定理六定理六定理六定理六 （独立同分布的中心极限定理）（独立同分布的中心极限定
12、理）（独立同分布的中心极限定理）（独立同分布的中心极限定理）设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量 相互独立，服从同一分相互独立，服从同一分相互独立，服从同一分相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差布，且具有数学期望和方差布，且具有数学期望和方差布，且具有数学期望和方差则随机变量之和则随机变量之和则随机变量之和则随机变量之和 的标准化变量的标准化变量的标准化变量的标准化变量的分布函数的分布函数的分布函数的分布函数 对于任意对于任意对于任意对于任意 满足满足满足满足定理六也称列维林德贝格定理定理六也称列维林德贝格定理定理六也称列维林德贝格定理定理六也称列维林德贝格定理.这就是说，均值为这
13、就是说，均值为这就是说，均值为这就是说，均值为 ，方差为，方差为，方差为，方差为 的独立同分的独立同分的独立同分的独立同分布的随机变量布的随机变量布的随机变量布的随机变量 之和之和之和之和 的标准化变量，的标准化变量，的标准化变量，的标准化变量，当当当当 很大时，有很大时，有很大时，有很大时，有在一般情况下，在一般情况下，在一般情况下，在一般情况下，很难求出很难求出很难求出很难求出 个随机变量之和个随机变量之和个随机变量之和个随机变量之和 的分布函数，（的分布函数，（的分布函数，（的分布函数，（4.84.8）式表明，当）式表明，当）式表明，当）式表明，当 充分大时，可充分大时，可充分大时，可充
14、分大时，可以通过以通过以通过以通过 给出其近似的分布给出其近似的分布给出其近似的分布给出其近似的分布.这样，就可以利这样，就可以利这样，就可以利这样，就可以利用正态分布对用正态分布对用正态分布对用正态分布对 作理论分析或作实际计算作理论分析或作实际计算作理论分析或作实际计算作理论分析或作实际计算.（近似地服从）（近似地服从）（近似地服从）（近似地服从）（4.84.8）这是独立同分布中心极限定理结果的另一形式这是独立同分布中心极限定理结果的另一形式这是独立同分布中心极限定理结果的另一形式这是独立同分布中心极限定理结果的另一形式.这就是这就是这就是这就是说，均值为说，均值为说，均值为说，均值为 ，
15、方差为，方差为，方差为，方差为 的独立同分布的随机变的独立同分布的随机变的独立同分布的随机变的独立同分布的随机变量量量量 的算术平均的算术平均的算术平均的算术平均 ，当，当，当，当 分大时，分大时，分大时，分大时，近似地服从均值为近似地服从均值为近似地服从均值为近似地服从均值为 ，方差为，方差为，方差为，方差为 的正态分布的正态分布的正态分布的正态分布.将（将（将（将（4.84.8）式左端改写成）式左端改写成）式左端改写成）式左端改写成这样，上这样，上这样，上这样，上述结果可写成述结果可写成述结果可写成述结果可写成这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础
16、这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础.当当当当 充分大时充分大时充分大时充分大时（近似地服从）（近似地服从）（近似地服从）（近似地服从）（4.94.9）或或或或（近似地服从）（近似地服从）（近似地服从）（近似地服从）（4.104.10）例例例例3 3 3 3 设甲、乙两商场销售某商品竞争设甲、乙两商场销售某商品竞争设甲、乙两商场销售某商品竞争设甲、乙两商场销售某商品竞争2000200020002000位顾位顾位顾位顾客客客客,若每位顾客完全随意的选择一个商场若每位顾客完全随意的选择一个商场若每位顾客完全随意的选择一个商场若每位顾客完全随意的选择一个商
17、场,且其选且其选且其选且其选择相互独立择相互独立择相互独立择相互独立,问每个商场应组织多少件货源才能保问每个商场应组织多少件货源才能保问每个商场应组织多少件货源才能保问每个商场应组织多少件货源才能保证因脱销而使顾客离去的概率小于证因脱销而使顾客离去的概率小于证因脱销而使顾客离去的概率小于证因脱销而使顾客离去的概率小于1111？(设每位设每位设每位设每位顾客只购该商品一件顾客只购该商品一件顾客只购该商品一件顾客只购该商品一件).).).).解解：下面介绍另一个中心极限定理，它是定理五的特殊情况下面介绍另一个中心极限定理，它是定理五的特殊情况下面介绍另一个中心极限定理，它是定理五的特殊情况下面介绍
18、另一个中心极限定理，它是定理五的特殊情况.定理七定理七定理七定理七 （棣莫弗（棣莫弗（棣莫弗（棣莫弗拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量服从参数为服从参数为服从参数为服从参数为的二项分布，则对于任意的二项分布，则对于任意的二项分布，则对于任意的二项分布，则对于任意 有有有有证明证明 由第四章由第四章由第四章由第四章2 2 2 2 例例例例7 7 7 7知可以将知可以将知可以将知可以将 分解成分解成分解成分解成 个相个相个相个相互独立、服从同一（互独立、服从同一（互独立、服从同一（互独立、服从同一（0-10-10-10-1）分布的随机变
19、量）分布的随机变量）分布的随机变量）分布的随机变量之和，即有之和，即有之和，即有之和，即有其中其中其中其中 的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为由于由于由于由于由定理五有由定理五有由定理五有由定理五有这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布.当当当当 充分大时，我们可以利用（充分大时，我们可以利用（充分大时，我们可以利用（充分大时，我们可以利用（4.114.11）式来计算二项）式来计算二项）式来计算二项）式来计算二项分布的概率分布的概率分布的概率分布的概率.下面举
20、几个关于中心极限定理应用的例下面举几个关于中心极限定理应用的例下面举几个关于中心极限定理应用的例下面举几个关于中心极限定理应用的例子子子子.例例例例4 4 4 4 某厂有某厂有某厂有某厂有400400400400台同类型的机器台同类型的机器台同类型的机器台同类型的机器,每台机器发生故每台机器发生故每台机器发生故每台机器发生故障的概率都是障的概率都是障的概率都是障的概率都是0.02,0.02,0.02,0.02,假设各台机器是否出故障互不假设各台机器是否出故障互不假设各台机器是否出故障互不假设各台机器是否出故障互不影响影响影响影响.试用三种不同的方法求发生故障的机器的台试用三种不同的方法求发生故
21、障的机器的台试用三种不同的方法求发生故障的机器的台试用三种不同的方法求发生故障的机器的台数不小于数不小于数不小于数不小于2 2 2 2的概率的概率的概率的概率.解解：思考思考n1.1.在离散型随机变量的数学期望定义中，为何在离散型随机变量的数学期望定义中，为何在离散型随机变量的数学期望定义中，为何在离散型随机变量的数学期望定义中，为何要求要求要求要求绝对收敛？绝对收敛？绝对收敛？绝对收敛？n3.3.有人说有人说有人说有人说:“:“与与与与 相互独立的充分必要条件是相互独立的充分必要条件是相互独立的充分必要条件是相互独立的充分必要条件是 .”.”请问对吗？请问对吗？请问对吗？请问对吗？n2.2.
22、有人说，若：有人说，若：有人说，若：有人说，若：“则则则则 ”.请问对吗？请问对吗？请问对吗？请问对吗？4.4.4.4.从废旧物资回收站收购的废铁叫再生铁，在钢的冶炼从废旧物资回收站收购的废铁叫再生铁，在钢的冶炼从废旧物资回收站收购的废铁叫再生铁，在钢的冶炼从废旧物资回收站收购的废铁叫再生铁，在钢的冶炼中，通常加入再生铁一起冶炼，由于再生铁来源于不同中，通常加入再生铁一起冶炼，由于再生铁来源于不同中，通常加入再生铁一起冶炼，由于再生铁来源于不同中，通常加入再生铁一起冶炼，由于再生铁来源于不同的地方，因而，一批再生铁中不同的废铁所含的杂质的地方，因而，一批再生铁中不同的废铁所含的杂质的地方，因而
23、，一批再生铁中不同的废铁所含的杂质的地方，因而，一批再生铁中不同的废铁所含的杂质（通常杂质是指：碳，硅，锰（通常杂质是指：碳，硅，锰（通常杂质是指：碳，硅，锰（通常杂质是指：碳，硅，锰,砱，硫等）也不同，而砱，硫等）也不同，而砱，硫等）也不同，而砱，硫等）也不同，而冶炼前需要知道该批再生铁所含杂质的平均值，以便加冶炼前需要知道该批再生铁所含杂质的平均值，以便加冶炼前需要知道该批再生铁所含杂质的平均值，以便加冶炼前需要知道该批再生铁所含杂质的平均值，以便加入相应的配料入相应的配料入相应的配料入相应的配料.假设每次化验均需假设每次化验均需假设每次化验均需假设每次化验均需3 3 3 3克充分混合的样
24、品，克充分混合的样品，克充分混合的样品，克充分混合的样品，且这且这且这且这3 3 3 3克样品都全部一次化验完；现在一些工厂的做法克样品都全部一次化验完；现在一些工厂的做法克样品都全部一次化验完；现在一些工厂的做法克样品都全部一次化验完；现在一些工厂的做法是是是是:随机地从该批再生铁中取一个样品，然后从中取随机地从该批再生铁中取一个样品，然后从中取随机地从该批再生铁中取一个样品，然后从中取随机地从该批再生铁中取一个样品，然后从中取3 3 3 3克克克克后进行化验，化验所得的杂质百分比即视为整批再生铁后进行化验，化验所得的杂质百分比即视为整批再生铁后进行化验，化验所得的杂质百分比即视为整批再生铁
25、后进行化验，化验所得的杂质百分比即视为整批再生铁的杂质百分比，但这样化验的结果通常与实际值会有较的杂质百分比，但这样化验的结果通常与实际值会有较的杂质百分比，但这样化验的结果通常与实际值会有较的杂质百分比，但这样化验的结果通常与实际值会有较大误差，从而导致配料的加入不适当大误差，从而导致配料的加入不适当大误差，从而导致配料的加入不适当大误差，从而导致配料的加入不适当.事实上，每次样事实上，每次样事实上，每次样事实上，每次样品的提取是极其简单的，样品的提取费用几乎为零，且品的提取是极其简单的，样品的提取费用几乎为零，且品的提取是极其简单的，样品的提取费用几乎为零，且品的提取是极其简单的，样品的提
26、取费用几乎为零，且每次提取样品的最小值可精确到每次提取样品的最小值可精确到每次提取样品的最小值可精确到每次提取样品的最小值可精确到0.050.050.050.05克，而每次的化验克，而每次的化验克，而每次的化验克，而每次的化验费用则较贵，试根据大数定律，设计一个经济合理的样费用则较贵，试根据大数定律，设计一个经济合理的样费用则较贵，试根据大数定律，设计一个经济合理的样费用则较贵，试根据大数定律，设计一个经济合理的样品提取方案，使得化验的杂质百分比与整批再生铁的杂品提取方案，使得化验的杂质百分比与整批再生铁的杂品提取方案，使得化验的杂质百分比与整批再生铁的杂品提取方案，使得化验的杂质百分比与整批
27、再生铁的杂质百分比几乎一致质百分比几乎一致质百分比几乎一致质百分比几乎一致.思考思考n5 5 5 5“股股股股市市市市有有有有风风风风险险险险，投投投投资资资资需需需需谨谨谨谨慎慎慎慎”，现现现现在在在在沪沪沪沪深深深深两两两两地地地地上上上上市的股票已近两千支市的股票已近两千支市的股票已近两千支市的股票已近两千支.记股市首日开市时为零时记股市首日开市时为零时记股市首日开市时为零时记股市首日开市时为零时()，股股股股市市市市首首首首日日日日开开开开市市市市时时时时所所所所有有有有上上上上市市市市的的的的股股股股票票票票综综综综合合合合指指指指数数数数记记记记为为为为100100100100点点
28、点点.设设设设至至至至时时时时刻刻刻刻 已已已已有有有有 家家家家上上上上市市市市公公公公司司司司的的的的股股股股票票票票纳纳纳纳入入入入指指指指数数数数计算计算计算计算,记记记记 为为为为股股股股市市市市开开开开市市市市时时时时刻刻刻刻 第第第第 家家家家上上上上市市市市公公公公司司司司的的的的股股股股票总股数票总股数票总股数票总股数(，时刻到，时刻到，时刻到，时刻到时时时时刻刻刻刻新新新新增增增增加加加加第第第第 家上市公司的家上市公司的家上市公司的家上市公司的 股计入指数；记股计入指数；记股计入指数；记股计入指数；记 为为为为 时时时时刻刻刻刻第第第第 家家家家上上上上市市市市公公公公司
29、司司司的的的的股股股股票票票票单单单单价价价价，时时时时刻刻刻刻股股股股票票票票的的的的权权权权重重重重 是指该上市公司总股价是指该上市公司总股价是指该上市公司总股价是指该上市公司总股价 占占占占全全全全部部部部上上上上市市市市公公公公司司司司股票总股价的份额：股票总股价的份额：股票总股价的份额：股票总股价的份额：思考思考所谓股票指数是将各支股票涨跌的幅度乘以其权所谓股票指数是将各支股票涨跌的幅度乘以其权重作和的值，为股市开市时刻全部上市公司股票重作和的值，为股市开市时刻全部上市公司股票的综合指数，的综合指数，设设 时刻时刻 到到 时刻各家上市公司的总股数不变时刻各家上市公司的总股数不变,即即
30、 ,则证交所则证交所 时刻与时刻与时时刻的综指的递推计算公式为刻的综指的递推计算公式为 例如：单支股价为例如：单支股价为5 5元，而今日收盘时该支股票的单元，而今日收盘时该支股票的单价为价为5.15.1元，这表示一天之后该支股票股价上涨了百元，这表示一天之后该支股票股价上涨了百分之二，上证综指前一日收盘时的指数是分之二，上证综指前一日收盘时的指数是35003500点，而点，而今日收盘时的指数是今日收盘时的指数是36753675点，这表示一天之后，上交点，这表示一天之后，上交所所有股票的平均市值上涨了百分之五；当然，在这所所有股票的平均市值上涨了百分之五；当然，在这一天的交易中，各支股票有涨有跌
31、，即使在股票大涨一天的交易中，各支股票有涨有跌，即使在股票大涨的行情下，股市也仍然是几人欢喜几人愁的行情下，股市也仍然是几人欢喜几人愁.假设某人假设某人现有现有3030万元现金急需投资股市，而现在股市各股的平万元现金急需投资股市，而现在股市各股的平均股价为均股价为5 5元每股，且证交所规定股民购买任何一家元每股，且证交所规定股民购买任何一家上市公司的股票不得少于上市公司的股票不得少于10001000股，现该投资人不想冒股，现该投资人不想冒个股的暴涨或暴跌风险，而只需望自己的投资不论增个股的暴涨或暴跌风险，而只需望自己的投资不论增值或亏损均与大盘的涨跌幅度大致相一致，试根据大值或亏损均与大盘的涨跌幅度大致相一致，试根据大数定律，设计一个适合该投资人的投资方案；若该投数定律，设计一个适合该投资人的投资方案；若该投资人希望自己的投资不论增值或亏损均与大盘蓝筹股资人希望自己的投资不论增值或亏损均与大盘蓝筹股的涨跌幅度大致相一致，试根据大数定律，设计一个的涨跌幅度大致相一致，试根据大数定律，设计一个适合该投资人的投资方案适合该投资人的投资方案.