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1、无穷级数无穷级数内容回顾一 基本要求1.理解级数收敛理解级数收敛,发散的概念发散的概念.了解级数的基了解级数的基本性质本性质,熟悉级数收敛的必要条件熟悉级数收敛的必要条件.2.掌握正项级数收敛的比较判别法掌握正项级数收敛的比较判别法,熟练掌熟练掌握正项级数收敛的比值、根值判别法握正项级数收敛的比值、根值判别法.3.掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法,理理解绝对收敛和条件收敛的概念解绝对收敛和条件收敛的概念.4.掌握幂级数的收敛半径掌握幂级数的收敛半径,收敛区间和收敛收敛区间和收敛域的求法域的求法.了解幂级数的主要性质了解幂级数的主要性质.5.会求较简单函数的幂级数
2、展开式及和函数会求较简单函数的幂级数展开式及和函数.(一一)常数项级数常数项级数二 要点提示常用来判定级数是发散的常用来判定级数是发散的.切不可用来判定切不可用来判定由此可得由此可得:若若 则级数则级数 必发散必发散.若若 收敛收敛,则则级数是收敛的级数是收敛的,例如调和级数例如调和级数 就是发散的就是发散的.1.级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:2.正项级数的审敛法正项级数的审敛法p-级数级数调和级数调和级数等比级数等比级数使用比较判别法时使用比较判别法时,必须熟记一些敛散性必须熟记一些敛散性已知的正项级数作为已知的正项级数作为“参照参照”级数级数,如如判定一个正项级数的敛散性判定一个正
3、项级数的敛散性,常按下列顺序常按下列顺序:(4)级数收敛的定义级数收敛的定义:(3)用比较判别法（或极限形式）用比较判别法（或极限形式）.(2)用比值或根值判别法用比值或根值判别法,若失效若失效.(1)则发散则发散.同时考虑到级数的基本性质同时考虑到级数的基本性质.部分和数列极限是否存在部分和数列极限是否存在.3.任意项级数任意项级数 莱布尼兹判别法的条件是交错级数收敛莱布尼兹判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件的充分条件而不是必要条件.当不满足条件时当不满足条件时,不能判定级数必发散不能判定级数必发散.2.若用正项级数的比值或根值判别法判定若用正项级数的比值或根值判别法判定 发
4、散发散,绝对收敛的级数必收敛绝对收敛的级数必收敛.注意注意对于任意项级数对于任意项级数 若若 收敛收敛,则称则称 绝对收敛绝对收敛.1.可先考查任意项级数是否绝对收敛；可先考查任意项级数是否绝对收敛；若若 发散而发散而 收敛收敛,则称则称 条件收敛条件收敛.则级数则级数 也发散也发散.1.收敛半径和收敛区间收敛半径和收敛区间(二二)幂级数幂级数收敛域：收敛域：或或或或或或收敛区间为收敛区间为 对于缺项的幂级数对于缺项的幂级数 可按下式可按下式从而得收敛区间为从而得收敛区间为求出求出 的范围的范围2.幂级数的重要性质幂级数的重要性质 (1)在收敛区间在收敛区间 内和函数内和函数 连续连续.(2)
5、可逐项求导可逐项求导.(3)可逐项积分可逐项积分.逐项求导或逐项积分后的幂级数与原幂逐项求导或逐项积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径级数有相同的收敛半径,但在收敛域可能但在收敛域可能改变改变.3.幂级数在其收敛区间内的和函数的求法幂级数在其收敛区间内的和函数的求法 在熟记几个常用的幂级数的和函数的在熟记几个常用的幂级数的和函数的基础上基础上,对照已知级数的特点对照已知级数的特点,可通过可通过恒等恒等变形变形,变量代换变量代换及及逐项求导或积分逐项求导或积分的方法来的方法来求和函数求和函数.4.函数展开成幂级数函数展开成幂级数这通常是较困难的这通常是较困难的.(1)(1)直接展开法直接展开
6、法:展开展开,但必须证明余项的极限但必须证明余项的极限(2)间接展开法：间接展开法：利用已知函数的展开式利用已知函数的展开式,通过通过恒等变形恒等变形,变量代换变量代换,级数的级数的代数运算代数运算及逐项求导或积分及逐项求导或积分,把函数展开成幂级数把函数展开成幂级数.注意两点注意两点:1.熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式.2.根据已知展开式写出所求展开式相应的根据已知展开式写出所求展开式相应的收敛区间收敛区间.逐项求导或积分后逐项求导或积分后,原级数的收敛半径不变原级数的收敛半径不变,但收敛域可能会变但收敛域可能会变.几个常用初等函数的马克劳林展开几个
7、常用初等函数的马克劳林展开1.试判断下列命题是否正确试判断下列命题是否正确?三 思考与分析则则 同敛散同敛散.(2)设设 是正项级数是正项级数,c为大于零的常数为大于零的常数,(1)若若 则则 必定收敛必定收敛.答：均不正确答：均不正确.(2)反例反例,考虑考虑(1)则则 发散发散.正项级数比较判别法的极限形式正项级数比较判别法的极限形式 则则 同敛散同敛散.设设 为正项级数为正项级数,若若有有 证明证明:也收敛也收敛.若若 均收敛均收敛,且对一切自然数且对一切自然数 2.下列运算是否正确下列运算是否正确?证明证明:均收敛均收敛,由比较判别法知由比较判别法知 收敛收敛.答：不正确答：不正确.因
8、为证明中使用了比较判别法因为证明中使用了比较判别法,而比较而比较判别法只适用于正项级数判别法只适用于正项级数,题目中并未指题目中并未指出级数是正项级数出级数是正项级数.正确方法如下正确方法如下:由正项级数的比较判别法由正项级数的比较判别法3.若级数若级数 和和 都收敛都收敛,则则 根据正项级数的比较判别法可知根据正项级数的比较判别法可知由题意知由题意知,和和 收敛收敛,绝对收敛绝对收敛.故故 也收敛也收敛,4.当下列条件当下列条件()成立时成立时,当当(c)成立时成立时,由莱布尼兹定理可得由莱布尼兹定理可得.收敛收敛.当当(d)成立时成立时,绝对收敛绝对收敛,因此必定收敛因此必定收敛.判定下列
9、级数的敛散性判定下列级数的敛散性,若收敛若收敛,是绝对是绝对收敛还是条件收敛收敛还是条件收敛?练习题练习题 解解 级数为级数为由于一般项由于一般项所以发散所以发散.所以级数收敛所以级数收敛.由正项级数的比值判别法由正项级数的比值判别法解解 原级数为原级数为由比值法由比值法所以原级数绝对收敛所以原级数绝对收敛.是收敛的等比级数是收敛的等比级数,解解 原级数可看作原级数可看作由级数的基本性质由级数的基本性质,原级数发散原级数发散.由莱布尼兹定理知，由莱布尼兹定理知，从而条件收敛从而条件收敛.交错级数收敛交错级数收敛,(二二)幂级数幂级数解解 由于由于 求求 的收敛区间的收敛区间.收敛区间为收敛区间
10、为故收敛半径为故收敛半径为1.1.下列运算是否正确下列运算是否正确?上述运算是上述运算是错误错误的的.原级数是仅含奇次幂原级数是仅含奇次幂的级数的级数,即为缺项情形即为缺项情形,应该用比值判别法应该用比值判别法来求收敛半径来求收敛半径.故原级数的收敛区间为故原级数的收敛区间为当当 即即 时时,原级数收敛原级数收敛.正确方法为正确方法为:解解则原级数变为则原级数变为(1)令令2.求求的收敛域的收敛域.故原级数的收敛区间为故原级数的收敛区间为 或或 即即原级数化为原级数化为解解 所给级数不是幂级数所给级数不是幂级数,原级数的收敛域为原级数的收敛域为因此因此,收敛域为收敛域为不难知收敛区间为不难知收
11、敛区间为引入变换引入变换3.求求 的和函数及的和函数及 的和的和.解解 收敛区间为收敛区间为法法1.拆成两个级数之和拆成两个级数之和,再分别求和再分别求和.法法2.记记则级数在收敛区间内可逐项积分则级数在收敛区间内可逐项积分:由由 求求令令则则解解4.4.求幂级数求幂级数的和函数的和函数.的收敛域为的收敛域为的收敛域为的收敛域为的收敛域为的收敛域为设设故故5.求幂级数展开式求幂级数展开式(1)将将 展开成展开成x的幂级数的幂级数(2)将将 展开成展开成x-1的幂级数的幂级数.(3)将将 展开成展开成x的幂级数的幂级数.解解(1)故收敛区间为故收敛区间为其中其中故收敛区间为故收敛区间为由逐项积分
12、的性质可得由逐项积分的性质可得,四四.自测题自测题1.选择题选择题 (1)若若 收敛收敛,则则则该级数则该级数().(a)条件收敛条件收敛 (b)绝对收敛绝对收敛(c)发散发散 (d)可能收敛可能发散可能收敛可能发散(a)1；(b)0；(c)不存在；不存在；(d)不能确定不能确定(2)对任意级数对任意级数 若若 且且(3)若正项级数若正项级数 及及 都收敛都收敛,则则()()收敛收敛.部分和数列有界部分和数列有界(4)当下列条件当下列条件()()成立时成立时,收敛收敛.(5)若若 在在 处收敛处收敛,则在则在 处处().二二.判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性(a)发散发散 (b)条件收
13、敛条件收敛 (c)绝对收敛绝对收敛 (d)不能确定不能确定三三.判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性,若收敛是绝对若收敛是绝对收敛收敛,还是条件收敛还是条件收敛?四四.求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间七七.证明证明:若若 和和 绝对收敛绝对收敛,则则 五五.求求 的和函数的和函数,并求并求 的和的和.2.展开为展开为 的幂级数的幂级数.1.展开为展开为x的幂级数的幂级数.六六.将函数展开为幂级数将函数展开为幂级数也绝对收敛也绝对收敛.一一.1.a;2.d;3.a,b,c;4.a,d;5.c.n自测题参考答案自测题参考答案由正项级数的比较判别法可得由正项级数的比较判别法可得(b)
14、,(c).由正项级数的比较判别法可得由正项级数的比较判别法可得(a).类似地类似地,就是在就是在 内收敛内收敛,故在故在 处收敛处收敛.二二.1.发散发散,2.发散发散(比较比较),3.收敛收敛,4.发散发散(必要条件必要条件)处绝对收敛处绝对收敛,为什么为什么?考虑考虑:5.由幂级数收敛域的特点由幂级数收敛域的特点,在在 处收敛处收敛,由莱布尼兹判别法由莱布尼兹判别法,交错级数收敛交错级数收敛,从而从而原级数条件收敛原级数条件收敛.由比较判别法极限形式知原级数非绝对收敛由比较判别法极限形式知原级数非绝对收敛.三三.1.条件收敛条件收敛,2.绝对收敛绝对收敛,3.条件收敛条件收敛,4.发散发散.提示提示:4.4.由由均收敛均收敛,故收敛故收敛,因此原级数条件收敛因此原级数条件收敛.故原级数非绝对收敛故原级数非绝对收敛.而而3.也可由性质也可由性质,因因 发散发散,收敛收敛,五五.收敛区间为收敛区间为四四.六.七七.收敛收敛,故故 绝对收敛绝对收敛.由正项级数的比较判别法由正项级数的比较判别法,收敛收敛由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知 收敛收敛.