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1、calculus第十章第十章 无穷级数无穷级数10.1 无穷级数的基本概念无穷级数的基本概念10.2 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质10.3 常数项级数的收敛性判别法常数项级数的收敛性判别法10.4 函数项级数与幂级数函数项级数与幂级数10.5 函数的幂级数展开函数的幂级数展开calculus一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念1、无穷级数的概念、无穷级数的概念定义定义1设给定一个数列：设给定一个数列：称称（1）为为无穷级数无穷级数，简称，简称级数级数.一般项一般项为为无穷级数无穷级数，简称，简称级数级数.为为数时数时，称为数项，称为数项级数级数.为为x的函的函数时数时，称为，称为函数项
2、级数函数项级数.calculus前前 项和项和称为称为(1)的的部分和部分和.构成一个新的数列构成一个新的数列:2、级数的收敛与发散、级数的收敛与发散称为部分和数列称为部分和数列calculus记记若若不存在不存在,则称级数则称级数(1)发散发散.若若称称 为级数为级数(1)的余项的余项若若则称级数则称级数(1)收敛收敛,且收敛和为且收敛和为定义定义23 3、数项级数的敛散性的概念、数项级数的敛散性的概念若若则称级数则称级数(1)收敛收敛,且收敛和为且收敛和为calculus所以所以,级数发散级数发散.例例1.判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解calculus例例2.判别级数判别级数的敛散
3、性的敛散性.解解所以所以,原级数收敛原级数收敛,且收敛和为且收敛和为1.calculus例例4.判别级数的敛散性判别级数的敛散性.解解:(1).级数收敛级数收敛.calculus例例5.讨论讨论等比级数等比级数(几何级数几何级数)的敛散性的敛散性 （q 称为级数的公比，称为级数的公比，a 0）解解:1).当当时时,发散发散;calculus3).当当时时,当当时时,收敛收敛;2).当当时时,发散发散;calculus当当时时,发散发散.当当时时,收敛于收敛于当当时时,发散发散.calculus发散发散例如例如calculus例例4.证明调和级数证明调和级数发散发散.证明证明反证法反证法calc
4、ulus与假设矛盾，所以与假设矛盾，所以,原级数必发散原级数必发散于是于是calculus二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质性质性质1证证calculus若若则则证证收敛级数的线性组合仍收敛收敛级数的线性组合仍收敛.性质性质2calculus性质性质3证证加括号后得加括号后得(2)(2)的前的前m项和相当于项和相当于(1)的前的前n 项和项和.收敛级数加括号后所得新级数仍收敛收敛级数加括号后所得新级数仍收敛,且收敛和不变且收敛和不变显然，显然，Wm是是Sn的一个子数列的一个子数列设设(1)calculus(1).收敛级数去掉括号后所得级数未必收敛收敛级数去掉括号后所得级数未必收敛.反
5、例反例:收敛收敛,(2).若加括号后所得级数收敛若加括号后所得级数收敛,则原级数未必收敛则原级数未必收敛.注意注意(3).若加括号后所得级数发散若加括号后所得级数发散,则原级数发散则原级数发散.calculus性质性质4增加、去掉或改变级数的前有限项，增加、去掉或改变级数的前有限项，级数敛散性不变级数敛散性不变.证证级数级数(1)去掉前去掉前项得级数项得级数(2)为常数为常数,故当故当时时,与与的极限同时存在或不存在的极限同时存在或不存在.所以级数所以级数(1)与与(2)具有相同的敛散性具有相同的敛散性.其它情况类似可证其它情况类似可证.级数级数(2)的前的前n项和为项和为calculus例如
6、例如,与与具有相同的敛散性具有相同的敛散性,均收敛均收敛.但收敛和不同但收敛和不同级数的敛散性与前有限项无关级数的敛散性与前有限项无关.calculus性质性质5证证（1).条件必要而不充分条件必要而不充分,即逆命题不成立即逆命题不成立.由由,不能断定不能断定收敛收敛.收敛，收敛，（级数收敛的必要条件）若（级数收敛的必要条件）若则则注意注意calculus例如例如,调和级数调和级数但该级数发散但该级数发散(2).逆否命题成立逆否命题成立.若若则则一定发散一定发散.例如例如,因因发散发散calculus例例4.判别级数的敛散性判别级数的敛散性.解解:(1).级数收敛级数收敛.calculus1、
7、正项级数及其敛散性判别、正项级数及其敛散性判别正项级数：正项级数：部分和数列部分和数列单增：单增：正项级数正项级数收敛收敛 的的充要条件充要条件是部分和数列有界是部分和数列有界.定理定理1三、常数项级数收敛性判别法三、常数项级数收敛性判别法2、正项级数敛散性的判别、正项级数敛散性的判别calculus(比较判别法比较判别法)设设1).若若收敛收敛,则则收敛收敛;2).若若发散发散,则则发散发散.证证.定理定理2calculuscalculus推论推论设设都是正项级数都是正项级数,2）若）若 发散，则发散，则 发散。发散。1）若）若 收敛，则收敛，则 收敛。收敛。calculus级数级数,当当时
8、收敛时收敛;当当时发散时发散.结论结论比较判别法比较判别法:将要判定的级数与已知收敛或将要判定的级数与已知收敛或发散的级数作比较发散的级数作比较解解发散发散.则则当当时时,有有calculus当当时时;calculuscalculus例如例如,发散发散;收敛收敛.calculus例例1.判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:解解发散发散,故原级数发散故原级数发散calculus故原级数收敛故原级数收敛.收敛收敛,例例2解解calculuscalculus定理定理3设设为正项级数为正项级数,(1)若若则则敛散性相同敛散性相同.(比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式)calculus(2)
9、若若则则calculus(2)若若则则calculus例例1.判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:解解发散发散,故原级数发散故原级数发散calculus收敛收敛,故原级数收敛故原级数收敛calculus发散发散,故原级数发散故原级数发散calculus例例2.判别级数的敛散性判别级数的敛散性:解解取取因因发散发散,故原级数发散故原级数发散.例例3.判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解 取取收敛收敛,故原级数收敛故原级数收敛.calculus例例4.判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解 而级数而级数收敛收敛,故原级数收敛故原级数收敛.取取calculus定理定理4设正项级数设正项级数当
10、当时时,级数收敛级数收敛;当当发散发散;当当时时,敛散性不定敛散性不定.(比值判别法比值判别法)calculus解解:级数收敛级数收敛.级数发散级数发散.例例5.判别级数的敛散性判别级数的敛散性:calculus级数收敛级数收敛.calculus解解.级数收敛级数收敛.例例6.判别级数的敛散性判别级数的敛散性:calculus收敛收敛,故原级数收敛故原级数收敛.calculus收敛收敛,故原级数收敛故原级数收敛.而而calculus定理定理5设正项级数设正项级数当当时时,级数收敛级数收敛;当当发散发散;当当时时,敛散性不定敛散性不定.(柯西柯西根值判别法根值判别法)calculus例例7.判别
11、级数的敛散性判别级数的敛散性:解解.级数收敛级数收敛.calculus级数收敛级数收敛.原级数收敛原级数收敛.calculus2、交错级数及其判别法、交错级数及其判别法交错级数交错级数：或或即，正负项相间的级数为交错级数。即，正负项相间的级数为交错级数。定理定理若满足若满足:则级数收敛则级数收敛,其余项其余项(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)且且calculus证证.单增且有上界单增且有上界,证毕证毕故故calculus例例1.判定级数的敛散性判定级数的敛散性:解解.所以级数收敛所以级数收敛.所以级数收敛所以级数收敛.calculus例例3.判定级数的敛散性判定级数的敛散性,解解原级数原级数发散发散
12、.calculus解解原级数收敛原级数收敛.calculus（1）任意项级数：）任意项级数：为任意实数为任意实数.3、任意项级数的绝对收敛和条件收敛、任意项级数的绝对收敛和条件收敛正项级数正项级数,交错级数是任意项级数的特殊情况交错级数是任意项级数的特殊情况calculus必定收敛必定收敛.证证设设收敛收敛,令令由正项级数比较判别法知由正项级数比较判别法知收敛收敛.收敛收敛,若级数若级数则级数则级数定理定理7 calculus1).逆命题不成立逆命题不成立.注意注意由性质知由性质知,收敛收敛.证毕证毕.calculus发散发散收敛收敛.例如例如 calculus解解故由定理知原级数收敛故由定理
13、知原级数收敛.对应的正项级数为对应的正项级数为calculus1).若若收敛收敛,则称则称为为绝对收敛绝对收敛.2).若若收敛收敛,但但发散发散,则称则称为为条件收敛条件收敛.（2）绝对收敛、条件收敛）绝对收敛、条件收敛.正项级数收敛时一定是绝对收敛正项级数收敛时一定是绝对收敛注意注意calculus解解故由定理知原级数收敛故由定理知原级数收敛.对应的正项级数为对应的正项级数为calculus例例2.判定级数的敛散性判定级数的敛散性,若收敛若收敛,指出是绝对收指出是绝对收敛还是条件收敛敛还是条件收敛?解解故原级数故原级数绝对收敛绝对收敛.calculus例例3.判定级数的敛散性判定级数的敛散性
14、,若收敛若收敛,指出是绝对收指出是绝对收敛还是条件收敛敛还是条件收敛?解解对应的正项级数为对应的正项级数为calculus因为因为所以所以发散发散calculus所以有所以有故原级数故原级数收敛，收敛，且为条件收敛。且为条件收敛。calculus定理定理8设任意项级数设任意项级数当当时时,级数绝对收敛级数绝对收敛;当当发散发散;当当时时,敛散性不定敛散性不定.calculus发散发散.若由若由比值审敛法或根值审敛法比值审敛法或根值审敛法判定判定发散发散,则可以断定则可以断定注意注意calculus例例4.判定级数的敛散性判定级数的敛散性,解解可见可见，calculus总之总之，级数当，级数当|
15、x|1或或 x=-1时，发散时，发散.发散发散.收敛收敛当当 x=1时，时，级数级数当当 x=1时，时，级数级数calculus1、函数项级数的概念、函数项级数的概念函数项级数：函数项级数：（1）对确定的点对确定的点若若收敛，收敛，称称为级数为级数(1)的一个的一个收敛点收敛点若若发散，发散，称称为级数为级数(1)的一个的一个发散点发散点级数级数(1)收敛点的全体称为它的收敛点的全体称为它的收敛域收敛域.四、四、函数项级数与函数项级数与 幂级数幂级数calculus对收敛域内每一点对收敛域内每一点和函数和函数:记记则称称为为余项余项.例如例如,calculus2、幂级数及其收敛性、幂级数及其收
16、敛性形如：形如：特别地特别地（1）（2）(1)是关于是关于的幂级数，的幂级数，(2)是关于是关于的幂级数的幂级数.例如例如,幂级数幂级数当当时时,它收敛于它收敛于当当时发散时发散.的收敛域为的收敛域为:calculus(1).如果如果 l|x|1,发散发散(3).如果如果 l|x|=1,可能收敛可能发散可能收敛可能发散2.如果如果 l=0,对任何对任何 x 都绝对收敛都绝对收敛.3.如果如果 l=,对对 x=0 收敛，对非零收敛，对非零 x 都发散都发散.1.如果如果 l 0calculus综上综上 若幂级数若幂级数不是仅在不是仅在一点收敛一点收敛,也不是在整个数轴也不是在整个数轴上都收敛上都
17、收敛,则必有一个确定的正数则必有一个确定的正数 R存在存在,使得使得当当时时,幂级数绝对收敛幂级数绝对收敛;当当时时,幂级数发散幂级数发散;当当时时,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散;正数正数 R称为幂级数称为幂级数的的收敛半径收敛半径.收敛区间收敛区间为为:其中之一其中之一.例如例如,存在数存在数R=1,当当时时当当时时发散发散.所以所以的收敛半径为的收敛半径为收敛区间为收敛区间为R=1,calculus定理定理2.(幂级数收敛半径的求法幂级数收敛半径的求法)设设对于幂级数对于幂级数(2)其中其中是是(2)中相邻两项的系数中相邻两项的系数.则其则其收敛半径收敛半径为为:例例1
18、.求幂级数求幂级数的收敛半径与收敛区间的收敛半径与收敛区间.解解所以所以当当时时,发散发散;当当时时,收敛收敛收敛区间为收敛区间为:calculus例例2.求幂级数求幂级数的收敛区间的收敛区间.解解当当时时,收敛收敛;当当时时,收敛收敛.收敛区间为收敛区间为:例例3.求幂级数的收敛半径及收敛区间求幂级数的收敛半径及收敛区间:收敛区间为收敛区间为:级数只在级数只在 x=0 处收敛处收敛.calculus例例4.求幂级数求幂级数的收敛区间的收敛区间.解解 令令则幂级数变为则幂级数变为:收敛半径收敛半径当当时时,收敛收敛;当当时时,发散发散.收敛区间为收敛区间为:即即即即所以所以,原级数的收敛区间为
19、原级数的收敛区间为:calculus例例5.求幂级数求幂级数的收敛半径的收敛半径.解解(利用正项级数的比值收敛法利用正项级数的比值收敛法)当当即即时时,级数收敛级数收敛;当当即即时时,级数发散级数发散所以所以,收敛半径为收敛半径为另解另解 令令则级数变为则级数变为:所以所以,原级数的收敛半径为原级数的收敛半径为:calculus1、幂级数的运算、幂级数的运算设幂级数设幂级数的收敛半径分别为的收敛半径分别为则则且且1).2).其中其中性质性质1.（1）四则运算）四则运算calculus（1）分析运算）分析运算幂级数幂级数在收敛区域在收敛区域内内,和函数和函数满足满足:性质性质2在在内内连续连续;
20、(2).在在内内可导可导,且可逐项求导且可逐项求导;(3).在在内内可积可积,且可逐项求积且可逐项求积;逐项逐项求导求导或逐项或逐项求积求积后所得幂级数具有与原级数后所得幂级数具有与原级数相同的收敛相同的收敛半径半径,但收敛区域可能改变但收敛区域可能改变,主要体现在主要体现在端点处端点处.说明说明(1)calculus例例1.求幂级数求幂级数在收敛区间在收敛区间(-1,1)内的和函数内的和函数.解解 设设两边求导得两边求导得两边积分得两边积分得因因所以所以calculus例例2.求幂级数求幂级数内的和函数内的和函数.解解:设设两边积分得两边积分得两边求导得两边求导得另解另解calculus例例
21、3.求幂级数求幂级数的和函数的和函数.解解 幂级数幂级数的收敛区间为的收敛区间为设设两边求导两边求导,两边积分两边积分,当当时时,易见易见,所以所以calculus五五、函数的幂级数展开、函数的幂级数展开1、泰勒级数、泰勒级数2、函数展开成幂级数、函数展开成幂级数直接展开直接展开间接展开间接展开calculus1、泰勒级数、泰勒级数泰勒公式泰勒公式若函数若函数在在某邻域内有直到某邻域内有直到阶的导数，阶的导数，则则拉格郎日型余项拉格郎日型余项(1)为为的的泰勒级数泰勒级数.若若在在某邻域内有任意阶导数，某邻域内有任意阶导数，称称(2)calculus为为的的泰勒级数泰勒级数.(2)在在(2)中
22、中,特别地特别地(3)称为函数称为函数的的马克劳林级数马克劳林级数.若若能展成能展成的幂级数的话的幂级数的话,则则展开式唯一展开式唯一,就是它的就是它的马克劳林级数马克劳林级数calculus2、函数展开成幂级数、函数展开成幂级数.1o.直接展开法直接展开法(1).求出求出的各阶导数的各阶导数:(2).求函数及各阶导数在求函数及各阶导数在处的函数值处的函数值:(3).写出幂级数写出幂级数:并求出收敛半径并求出收敛半径R.(4).考察当考察当时时,是否为零是否为零?若若则则按以下步骤进行按以下步骤进行:calculus例例1.将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.解解的麦克劳林级数为的麦克劳
23、林级数为:考察级数考察级数级数级数收敛收敛,所以所以calculus例例2.将函数将函数展成展成的幂级数的幂级数.解解的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为:calculus例例3.将函数将函数展成展成的幂级数的幂级数.其中其中m为任意常数为任意常数.解解所以所以得级数得级数可以证明，该级数收敛于函数可以证明，该级数收敛于函数calculus二项展开式二项展开式特别地特别地,calculus2o.间接展开法间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算法则利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算法则(四则法则四则法则,逐逐项求导逐项求积项求导逐项求积),),将所给函数展成幂级数将所给函数展成幂级数.
24、常用的函数展开式有常用的函数展开式有:calculus例例4.将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.解解由由知知例例5.将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.解解 由由两边求导得两边求导得calculus例例6.将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.解解知知即即若若内的展式已得到内的展式已得到,而级数而级数处仍收敛处仍收敛,且且处连续处连续,则展式则展式处也成立处也成立.由由说明说明尤其是经过求导或求积后得到的展式尤其是经过求导或求积后得到的展式,必须考虑在端点的情况必须考虑在端点的情况.calculus解解两边积分得两边积分得因因所以所以当当时时,收敛收敛,当当时时,收敛收敛,所
25、以所以例例7.将函数将函数 展开成幂级数展开成幂级数calculus例例8.将函数将函数 展开成展开成 的幂级数的幂级数.解解两边积分得两边积分得当当时时,当当时时,发散发散,收敛收敛.calculus例例9.将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.解解由由得得例例10.将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.解解calculus例例11.将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.解解由由得得calculus例例12.将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.解解由由且且得得calculus利用函数的幂级数展开式进行近似计算利用函数的幂级数展开式进行近似计算 例例1计算计算要求误差不超过要
26、求误差不超过 0.0001.解解 由二项展开式由二项展开式4、幂级数的应用举例、幂级数的应用举例取取calculus若取若取前两项前两项和作为其近似值和作为其近似值,其其误差误差(截断误差截断误差)为为:为了使为了使“四舍五入四舍五入”引起的误差引起的误差(舍入误差舍入误差)与截断误差之和与截断误差之和不超过不超过 0.0001,0.0001,计算时应取五位小数计算时应取五位小数,然后再四舍五入然后再四舍五入.说明说明calculus例例2.计算计算的近似值的近似值,要求误差不超过要求误差不超过 0.0001.解解计算量太大计算量太大,不可取不可取.令令得得calculus例例3.计算计算的近似值的近似值,误差不超过误差不超过 0.0001.解解calculus例例4 计算积分计算积分的近似值，要求误差不超过的近似值，要求误差不超过0.0001解解 因因所给积分不是广义积分，所给积分不是广义积分，定义定义则它在积分区间则它在积分区间0，1上连续上连续.由由知知因因所以取前三项和作为积分的近似值所以取前三项和作为积分的近似值.