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1、 3.5 线性卷积与线性相关的线性卷积与线性相关的DFT算法算法3.5.1计算循环卷积和线性卷积计算循环卷积和线性卷积 循环卷积和线性卷积都是两个序列在时域中的循环卷积和线性卷积都是两个序列在时域中的运算。根据时域和频域的对应关系，它们也可以运算。根据时域和频域的对应关系，它们也可以先变换到频域进行相应运算后，再将结果变换到先变换到频域进行相应运算后，再将结果变换到时域。时域。1 循环卷积的快速计算循环卷积的快速计算循环卷积的定义式为循环卷积的定义式为根据循环卷积定理，可以用以下方法计算两根据循环卷积定理，可以用以下方法计算两序列序列x1(n)和和x2(n)的循环卷积：的循环卷积：2线性卷积与
2、循环卷积的关系线性卷积与循环卷积的关系设设x(n)是长为是长为N的序列，的序列，h(n)是长为是长为M的序列，的序列，其线性卷积为其线性卷积为将将x(n)和和h(n)分别补零延长到分别补零延长到L。当。当LN+M-1时时 3线性卷积的快速计算线性卷积的快速计算 实际应用往往利用循环卷积定理来计算线性卷积，实际应用往往利用循环卷积定理来计算线性卷积，其步骤如下：其步骤如下：(1)将原序列补零延拓到长为将原序列补零延拓到长为 得得（2）（3）（4）上述结论适用于两序列长度比较接近或者相上述结论适用于两序列长度比较接近或者相等的情况。如果长度相差较多，例如为某滤波器等的情况。如果长度相差较多，例如为
3、某滤波器的单位冲激响应，长度有限，用它来处理一个很的单位冲激响应，长度有限，用它来处理一个很长的信号长的信号,按上述方法需后补许多零才能再进行计按上述方法需后补许多零才能再进行计算，这时运算时间可能不但不会减少，反而会增算，这时运算时间可能不但不会减少，反而会增加。加。4 重叠相加法重叠相加法 为了保持快速卷积法的优越性，可以将为了保持快速卷积法的优越性，可以将 分为许多小段。每小段长与分为许多小段。每小段长与 接近，将接近，将 每个小段与每个小段与 作卷积，最后取和，这作卷积，最后取和，这种方法叫种方法叫“重叠相加法重叠相加法”。设设 、均为因果序列，均为因果序列，长为长为N，长为长为N1，
4、且，且N1N。将将 分成若干小段，每段为分成若干小段，每段为M，如图所示，如图所示，设设 表示第表示第i段序列段序列n为其他则将将 、补零使其长度为补零使其长度为L=N+M-1。这样这样 值得注意的是，长为N+M-1，而 的有效长度为M，故相邻的 必有N-1长度重叠。因此，=是对重叠部分相加再和不重叠部分共同构成输出。因此，重叠相加法用因此，重叠相加法用DFT计算需要以下五步计算需要以下五步：3.5.2 计算循环相关和线性相关计算循环相关和线性相关 1.循环相关的快速计算循环相关的快速计算 根据循环相关定理根据循环相关定理,若若x1(n)、x2(n)是长为是长为N的实的实序列，则序列，则可用以下方法计算两序列可用以下方法计算两序列x1(n)和和x2(n)的循环相关：的循环相关：2.线性相关的快速计算线性相关的快速计算与用循环卷积计算线性卷积类似，当与用循环卷积计算线性卷积类似，当 、长度分别为长度分别为N、M时，将时，将 、补零延长到补零延长到L，则当，则当LN+M-1时，时，x1(n)、x2(n)的的循环相关等于线性相关，即循环相关等于线性相关，即因此，可用以下方法计算因此，可用以下方法计算x1(n)和和x2(n)的线性相关：的线性相关：