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1、第二十二章第二十二章 四边形四边形22.4 22.4 矩形矩形第第2 2课时课时 矩形的判定矩形的判定1课堂讲解u由直角的个数判定矩形由直角的个数判定矩形u由对角线的关系判定矩形由对角线的关系判定矩形2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升知识回顾知识回顾四边形四边形四边形四边形 平行平行平行平行四边形四边形四边形四边形两组对两组对边平行边平行一个角一个角是直角是直角矩形矩形矩形矩形平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形 矩形矩形矩形矩形四边形四边形四边形四边形 木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测
2、量哪些数据，其根据又是是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？什么呢？你现在有方法帮他吗？你现在有方法帮他吗？探究新知探究新知测量测量测量测量？1知识点由直角的个数判定矩形由直角的个数判定矩形分析矩形的定义：分析矩形的定义：有一个角是有一个角是直角直角的的平行四边形平行四边形是矩形。是矩形。由定义识别：由定义识别：ABCD，A=90.ABCD是矩形是矩形.知知1 1导导ABCD根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形如果不通过平行四边形，能根据四边形中直角的形如果不通过平行四边形，能根据四边形中直角的个数，直接由四边形来判定它
3、是矩形吗个数，直接由四边形来判定它是矩形吗?有几个角是有几个角是直角的四边形是矩形呢直角的四边形是矩形呢?性质：性质：矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角四个角是直角的四边形是矩形四个角是直角的四边形是矩形知知1 1导导条件条件结论结论条件条件结论结论李芳同学用李芳同学用“边边直角、边直角、边直角、边直角、边直角、直角、边边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形。猜想她判断的依据？矩形。猜想她判断的依据？猜想：猜想：有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 你能证明上述结论吗？你能证明上述结论吗？已知：如图所示，在四边形已
4、知：如图所示，在四边形ABCD中，中，A=B=C=90.求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形是矩形知知1 1导导BCAD知知1 1导导证明：证明：A=B=C=90，A+B=180，B+C=180.ADBC，ABCD.四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形.A=90，ABCD是矩形是矩形.比较上面两种说法，你认为选择哪种说法作为矩形的比较上面两种说法，你认为选择哪种说法作为矩形的判定定理更为简洁判定定理更为简洁?于是，便得到：有三个角是直角的四边形是矩形于是，便得到：有三个角是直角的四边形是矩形.归归 纳纳知知1 1导导有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 .符号表达
5、式：符号表达式：A=B=C=90，四边形四边形ABCD是矩形是矩形.（来自教材）（来自教材）ABCD知知1 1讲讲例例1 如图，如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于的四个内角的平分线分别相交于 点点E，F，G，H.求证：四边形求证：四边形EFGH是矩形是矩形.要证明四边形要证明四边形EFGH是矩形，是矩形，由于已知由于已知ABCD的四个内角的四个内角的平分线分别相交于点的平分线分别相交于点E，F，G，H，因此可选用，因此可选用“有三个角是直角的四边形是有三个角是直角的四边形是矩形矩形”来证明来证明导引：导引：知知1 1讲讲ABCD，ABCBCD180.BG平分平分ABC，CG平分平分BC
6、D，GBCGCB ABC BCD 18090，BGC90.同理可得同理可得AFBAED90.GFEFEHFGH90.四边形四边形EFGH是矩形是矩形证明：证明：总 结知知1 1讲讲 本题目中的图形是建立在四边形基础上，而本题目中的图形是建立在四边形基础上，而条件中又涉及角的关系，一般采用条件中又涉及角的关系，一般采用“角的方法角的方法”来来判定矩形判定矩形知知1 1练练已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，D为为BC的的中点，四边形中点，四边形AEDB为平行四边形为平行四边形.求证：四边形求证：四边形AECD是矩形是矩形.1（来自（来自教材教材）在在 AEDB中，中，AEBD，
7、AEBD，ABDE，D为为BC的中点，的中点，BDDC，AECD，又又AECD，四边形四边形AECD是平行四边形是平行四边形在在ABC中，中，ABAC，ACDE，四边形四边形AECD是矩形是矩形解：解：知知1 1练练已知矩形的对角线长为已知矩形的对角线长为10 cm，求顺次连接矩形，求顺次连接矩形四边中点所得的四边形的周长四边中点所得的四边形的周长.2（来自（来自教材教材）如图所示在矩形如图所示在矩形ABCD中，中，AC，BD的长都为的长都为10 cm.点点E，H分别是分别是AD，CD的中点，则的中点，则EH AC5 cm.同理：同理：FE，FG，GH的长均为的长均为5 cm.所以所得到的四边
8、形的周长为所以所得到的四边形的周长为555520(cm)解：解：知知1 1练练下列命题中，假命题是下列命题中，假命题是()A有一组对角是直角且一组对边平行的四边形有一组对角是直角且一组对边平行的四边形 是矩形是矩形B有一组对角是直角且一组对边相等的四边形有一组对角是直角且一组对边相等的四边形 是矩形是矩形C有两个内角是直角且一组对边平行的四边形有两个内角是直角且一组对边平行的四边形 是矩形是矩形D有两个内角是直角且一组对边相等的四边形有两个内角是直角且一组对边相等的四边形 是矩形是矩形3C知知1 1练练下列说法：下列说法：三角形的三条高一定都在三角形内；三角形的三条高一定都在三角形内；有一个角
9、是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的四边形是矩形；两边及一角对应相等的两个三角形全等；两边及一角对应相等的两个三角形全等；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形行四边形其中正确的有其中正确的有()A0个个 B1个个 C2个个 D3个个4A知知1 1练练如图，顺次连接四边形如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形各边中点得四边形EFGH，要使四边形，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条为矩形，应添加的条件是件是()AABDC BACBD CACBD DABDC5C知知1 1练练如图，在如图，在RtABC中，中，A90，AB3，AC4，P为边
10、为边BC上一动点，上一动点，PEAB于于E，PFAC于于F，则，则EF的最小值为的最小值为()A2 B2.2 C2.4 D2.56C2知识点由对角线的关系判定矩形由对角线的关系判定矩形知知2 2导导 我们知道，矩形的对角线相等我们知道，矩形的对角线相等.反过反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？工人师傅在做门窗或矩形零件时，不工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？
11、你知道其中的道理吗？思考思考知知2 2导导已知：在已知：在 ABCD，AC=BD.求证：求证：ABCD是矩形是矩形.证明：证明：在在 ABCD中，中，AB=DC，BC=CB，且，且AC=DB.ABC DCB（SSS）.ABC=DCB.AB/CD，ABC+DCB=180.ABC=DCB=90.又又 四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ABCD是矩形是矩形.ABCD归归 纳纳知知2 2导导 可以发现并证明矩形的一个判定定理：可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.警示：警示：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，这个两条对角线相等的四边
12、形不一定是矩形，这个 四边形必须是平行四边形才可以四边形必须是平行四边形才可以.知知2 2讲讲例例2 已知：如图，在矩形已知：如图，在矩形ABCD中，中，E，F，G，H 分别分别 为为OA，OB，OC，OD的中点的中点.求证：四边形求证：四边形EFGH是矩形是矩形.知知2 2讲讲四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，AC=BD.且且 OA=OC，OB=OD.OA=OC=OB=OD.又又E，F，G，H 分别为分别为OA，OB，OC，OD 的的中点，中点，OE=OG=OF=OH.四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形.又又EG=OE+OG=OF+OH=HF，四边形四边形EFGH是矩形是矩形.证
13、明证明：总 结知知2 2讲讲 证明一个平行四边形为矩形的两种方法：证明一个平行四边形为矩形的两种方法：一是证一是证明有一个角是直角，另一个是证明两条对角线相等明有一个角是直角，另一个是证明两条对角线相等知知2 2练练（来自教材）（来自教材）解：解：(1)(2)(3)错误，错误，(4)正确正确指出下列说法是否正确指出下列说法是否正确.(1)有一个角为直角的四边形是矩形有一个角为直角的四边形是矩形.(2)两条对角线相等的四边形是矩形两条对角线相等的四边形是矩形.(3)两条对角线互相垂直的四边形是矩形两条对角线互相垂直的四边形是矩形.(4)四个角皆为直角的四边形是矩形四个角皆为直角的四边形是矩形.1
14、知知2 2练练（来自教材）（来自教材）如图，矩形如图，矩形ABCD的两条对角线的两条对角线AC，BD的夹角的夹角为为60，AC+AB=12.求求AC和和AB的长的长.2因为两条对角线因为两条对角线AC，BD的的夹角为夹角为60，AOBO，所以所以OABOBAAOB60，所以所以AOB为等边三角形，为等边三角形，AC2AB.所以所以ACAB2ABAB3AB12.所以所以AB4，所以，所以AC8.解：解：知知2 2练练（来自教材）（来自教材）小亮想检验一块木板是不是矩形小亮想检验一块木板是不是矩形.现仅有一根足够现仅有一根足够长的细绳，你能想办法帮他进行检验吗？请说长的细绳，你能想办法帮他进行检验
15、吗？请说 明明理由理由.3解：解：略略.知知2 2练练（来自教材）（来自教材）已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，ADBC，垂足为垂足为D，AN是是ABC外角外角CAM的平分线，的平分线，CEAN，垂足为，垂足为E.求证：四边形求证：四边形ADCE是是 矩形矩形.4知知2 2练练由题意易知由题意易知MACBACB，ABAC，BACB.MAC2B，AN是是MAC的平分线，的平分线，MAC2MAE，MAEB，AEBC，ADBC，ADBADC90，CEAN，AEC90，AEBC，DAEADB90，ADCDAEAEC90，四边形四边形ADCE是矩形是矩形（来自教材）（来自教材）证明：
16、证明：知知2 2练练（来自教材）（来自教材）如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AC，BD相交于点相交于点O，AE平分平分BAD，交，交 BC于点于点E，CAE=15.求求BOE的度数的度数.5知知2 2练练在矩形在矩形ABCD中，中，OAOBODOC，AE平分平分BAD，BAE BAD45，又又ABE90，AEB45.ABBE.CAE15，BAO60，AOB是等边三角形是等边三角形OAOBAB，ABO60，BOBE，OBE30，BOE (18030)75.（来自教材）（来自教材）解：解：知知2 2练练【中考中考崇左崇左】如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，ABBC，点，点E、F、G、
17、H分别是边分别是边DA、AB、BC、CD的中点，连接的中点，连接EG、FH，则图中矩形的个数，则图中矩形的个数共有共有()A5个个 B8个个 C9个个 D11个个6C知知2 2练练如图，四边形如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是它变为矩形，需要添加的条件是()AABCD BADBCCABBC DACBD7D知知2 2练练【中考中考攀枝花攀枝花】下列关于矩形的说法中正确的下列关于矩形的说法中正确的是是()A对角线相等的四边形是矩形对角线相等的四边形是矩形B矩形的对角线相等且互相平分矩形的对角线相等且互相平分C对角线互相平分的四边形是矩形对角
18、线互相平分的四边形是矩形D矩形的对角线互相垂直且平分矩形的对角线互相垂直且平分8B知知2 2练练如图，要使如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件成为矩形，需添加的条件是是()AABBC BAOBOC12 DACBD9B知知2 2练练【中考中考黑龙江黑龙江】如图，在如图，在 ABCD中，延长中，延长AD到到点点E，使，使DEAD，连接，连接EB，EC，DB，请你添加，请你添加一个条件一个条件_，使四边形，使四边形DBCE是矩形是矩形10EBDC(答案不唯一答案不唯一)1知识小结矩形的判定方法：矩形的判定方法：方法方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形.方法
19、方法2：有三个角是直角的四边形是矩形：有三个角是直角的四边形是矩形.方法方法3：对角线相等的平行四边形是矩形：对角线相等的平行四边形是矩形.(对角线互相平分且相等的四边形是矩形对角线互相平分且相等的四边形是矩形.)在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形可判定这个四边形是矩形()A另一组对边相等，对角线相等另一组对边相等，对角线相等B另一组对边相等，对角线互相垂直另一组对边相等，对角线互相垂直C另一组对边平行，对角线相等另一组对边平行，对角线相等D另一组对边平行，对角线互相垂直另一组对边平行，对角线互相垂直2易错小结易错小结C易错点：易错点：对矩形的判定方法理解错误导致出错对矩形的判定方法理解错误导致出错