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1、188 最小二乘估计最小二乘估计 课后篇巩固提升巩固提升 A A 组 1 1.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心是(4,5),则线性回归方程是( )A.y=4+1.23x B.y=5+1.23x C.y=0.08+1.23x D.y=1.23+0.08x 解析由已知得b=1.23,=4,=5,于是a= -b =5-1.234=0.08,因此线性回归方程为y=1.23x+0.08.答案 C 2 2.在 2017 年春节期间,某市场物价部门对本市五个商场销售的某商品一天销售量及其价格进行调 查,五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示:价格 x99. 51 010.
2、 51 1 销售 量y1 1108 65通过分析,发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系,则销售量y对商品的价格x的线性回 归方程为( ) A.y=3.2x-24 B.y=-3.2x+40 C.y=3x-22 D.y=3x+38 答案 B 3 3.某地区调查了 29 岁的儿童的身高,由此建立的身高y(单位:cm)与年龄x(单位:岁)的回归模型 为y=8.25x+60.13,下列叙述正确的是( ) A.该地区一个 10 岁儿童的身高为 142.63 cm B.该地区 29 岁的儿童每年身高约增加 8.25 cm C.该地区 9 岁儿童的平均身高是 134.38 cm D.利用这个模型可以准确
3、地预算该地区每个 29 岁儿童的身高 解析由y=8.25x+60.13 知斜率的估计值为 8.25,说明每增加一个单位年龄,约增加 8.25 个单位身高,故 选 B. 答案 B 4 4.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:广告费用 x/万元4 2 3 5销售额y/ 万元4 92 63 95 4根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时的销售额为( ) A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元解析=3.5,=42, =4 + 2 + 3 + 5 4 =49 + 26 + 39 + 54 4 且y=bx+a必
4、过(),42=3.59.4+a,2a=9.1. 线性回归方程为y=9.4x+9.1. 当x=6 时,y=9.46+9.1=65.5(万元). 答案 B 5 5.已知x与y之间的几组数据如下表:x123456 y021334假设根据上表数据所得线性回归方程为y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求 得的直线方程为y=bx+a,则以下结论正确的是( ) A.bb,aaB.bb,aaD.ba.故选 C.58 - 6 3.5 13 691 - 6 3.52=5 713 65 7 答案 C 6 6.已知一个线性回归方程为y=1.5x+45,x1,7,5,13,19,则= .
5、解析因为(1+7+5+13+19)=9,且=1.5+45,所以=1.59+45=58.5. =1 5 答案 58.5 7 7.下表是某厂 1 到 4 月用水量情况(单位:百吨)的一组数据:月份 x1 234用水 量y4. 5432.5用水量y与月份x之间具有线性相关关系,其线性回归方程为y=-0.7x+a,则a的值为 . 解析由已知得=2.5,=3.5,因此 3.5=-0.72.5+a,解得a=5.25.答案 5.25 8 8.(2018 山东潍坊高一同步检测)2018 年,我国政府加强了对高耗能企业的监管,采取多种方式促进 企业向节能型企业转变,某工厂经过技术改造后,降低了能源消耗,经统计该
6、厂某种产品的产量x(吨)与 相应的生产能耗y(吨汽油)有如下几组样本数据:x3 456y2 . 5344 . 5根据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线的斜率为 0.7, 已知该工厂在 2018 年能耗计划中汽油不超过 8.75 吨,则该工厂 2018 年的计划产量最大约为 吨. 3解析=4.5,=3.5,故样本点的中心为A(4.5,3.5),由题意, =3 + 4 + 5 + 6 4 =2.5 + 3 + 4 + 4.5 4设回归直线方程是=0.7x+,代入A点坐标得 3.5=0.74.5+,求得=0.35,故回归直线方程为 =0.7x+0.35.由题意得
7、=0.7x+0.358.75,解得x12.所以该工厂 2018 年的计划产量最大约为 12 吨. 答案 12 9 9.导学号 36424030 假设关于某设备使用年限x年和所支出的维修费用y(单位:万元), 有如下的统计资料:x2 3 4 5 6y2 . 23 . 85 . 56 . 57 . 0请画出上表数据的散点图,判断它们是否具有相关关系,若相关,求出y关于x的线性回归方程. 解散点图如下:由散点图可知,两变量之间具有相关关系,且为线性相关.列表,计算i1 2345 xi2 3456yi2 . 23. 85. 56. 57. 0xi yi4 . 411 .422 .032 .542 .0
8、24 916 25 36 =4, =5;=90,xiyi=5 = 12 5 = 1 112.3设所求回归方程为y=bx+a,则由上表可得b=1.23,112.3 - 5 4 590 - 5 42=12.3 10a= -b =5-1.234=0.08. 所以回归方程为y=1.23x+0.08. 1010.导学号 36424031 某连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额和利润额如下表:商店名称A BCD E 销售额x/千 万元3 567 9利润额y/百2 334 54万元(1)画出散点图,观察散点图,说明两个变量是否线性相关; (2)用最小二乘法计算利润额y对销售额x的线性回归方程; (3)
9、当销售额为 4 千万元时,估计利润额的大小. 解(1)散点图如图所示.由散点图可以看出变量x,y线性相关. (2)设线性回归方程是y=bx+a.因为=3.4,=6,xiyi=112,=200,5 = 15 = 12 所以b=0.5,5 = 1- 5 5 = 12 - 52a= -b =3.4-60.5=0.4, 即利润额y对销售额x的线性回归方程为y=0.5x+0.4. (3)当销售额为 4 千万元时,利润额为y=0.54+0.4=2.4(百万元). B B 组 1 1.下列叙述中: 变量间关系有函数关系,又有相关关系; 回归函数即用函数关系近似地描述相关关系;线性回归方程y=bx+a中,b=
10、,a= -b; = 1(- )(- ) = 1(- )2 线性回归方程一定可以近似地表示相关关系.其中正确的有( )A.B. C.D. 解析线性回归方程只能近似地表示线性相关关系. 答案 A 2 2.对具有线性相关关系的变量x,y有一组预测数据(xi,yi)(i=1,2,8),其回归直线方程是y=x+a,且x1+x2+x8=2(y1+y2+y8)=6,则实数a的值是( )1 3A.B.1 16C.D.解析由题意易知,代入线性回归方程得a=. =3 4, =3 8 答案 B53 3.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号 每天打篮球时间x(单
11、位:时)与当天投篮命中率y之间的关系:时间 x1 2 3 4 5命中 率y0. 40. 50. 60. 60. 4小李这 5 天的平均投篮命中率为 ;用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打 6 时篮球 的投篮命中率为 . 答案 0.5 0.53 4 4.2018 年 6 月 22 日,某市物价部门对本市的 5 家商场的一天销售量及其价格进行调查,5 家商场的 售价和销售量之间的一组数据如下表所示:价格x/ 元99. 5m10. 51 1 销售量 y/件1 1n8 65由数据对应的散点图可知,销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系,其线性回归方程是y=- 3.2x+40,且m+n=20,
12、则其中的n= . 解析(9+9.5+m+10.5+11)=8+(11+n+8+6+5)=6+,线性回归方程一定经过样本中心(), =1 5 5, =1 5,所以 6+=-3.2+40,即 3.2m+n=42,由解得故n=10.(8 + 5)3.2 + = 42, + = 20,? = 10, = 10,?答案 10 5 5.以下关于线性回归的判断,正确的有 个. 若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线; 散点图中的绝大多数点都线性相关,个别特殊点不影响线性回归,如图中的点A,B,C; 已知线性回归方程为y=0.50x-0.81,则当x=25 时,y的估计值为 11.69; 线性
13、回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势. 解析能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而根据回归直线的定义知,只有按最小二乘法求 得回归系数a,b得到的直线y=a+bx才是回归直线,故不正确;正确;将x=25 代入y=0.50x-0.81,解 得y=11.69,故正确;正确. 答案 3 6 6.导学号 36424032 某企业上半年产品产量与单位成本资料如下:月 份产量/ 千件单位成本 /元1273 2372 3471 4373 5469 65686且已知产量x与单位成本y具有线性相关关系. (1)求出线性回归方程. (2)指出产量每增加 1 000 件时,单位成本平均变动多少? (3)假
14、定产量为 6 000 件时,单位成本为多少元? 解(1)n=6,=3.5,=71,=79,xiyi=1 481,6 = 12 6 = 1b=-1.82,1 481 - 6 3.5 7179 - 6 3.52a= -b71+1.823.5=77.37, 则线性回归方程为y=bx+a=-1.82x+77.37. (2)因为单位成本平均变动b=-1.820,且产量x的计量单位是千件,所以根据回归系数b的意 义有产量每增加一个单位即 1 000 件时,单位成本平均减少 1.82 元. (3)当产量为 6 000 件,即x=6 时,代入线性回归方程,得y=77.37-1.826=66.45(元). 即当
15、产量为 6 000 件时,单位成本大约为 66.45 元. 7 7.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下 数据:单价 x(元)88. 28. 48. 68. 89销量 y(件)9 0848380756 8(1)求回归直线方程x+,其中=-20,; = = (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是 4 元/件,为使工厂 获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)解(1)由于(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5, =1 6(90+84+83+80+75+68)=80. =1 6所以=80+208.5=250, = 从而回归直线方程为=-20x+250. (2)设工厂获得的利润为L元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250) =-20x2+330x-1 000=-20+361.25.( -33 4)2当且仅当x=8.25 时,L取得最大值. 故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润.