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1、12.12.1 平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念课时作业A 组 基础巩固1下列各量中是向量的是( )A密度 B电流C面积 D浮力解析：只有浮力既有大小又有方向答案：D2若向量a a与向量b b不相等，则a a与b b一定( )A不共线 B长度不相等C不都是单位向量 D不都是零向量解析：若向量a a与向量b b不相等，则说明向量a a与向量b b的方向或长度至少有一个不同，所以a a与b b有可能共线，有可能长度相等，也可能都是单位向量，故 A，B，C 都错误，但a a与b b一定不都是零向量答案：D3若|且，则四边形ABCD的形状为( )ABADBACDA平行四边形 B
2、矩形C菱形 D等腰梯形解析：由知ABCD且ABCD，即四边形ABCD为平行四边形，又因为|，BACDABAD所以四边形ABCD为菱形答案：C4设O为坐标原点，且|1，则动点M的集合是( )OMA一条线段 B一个圆面C一个圆 D一个圆弧解析：动点M到原点O的距离等于定长 1，故动点M的轨迹是以O为圆心，1 为半径的圆答案：C5如图，D，E，F分别是ABC边AB，BC，CA上的中点，有下列 4 个结论：，；ADFEAFDE；|；DFCBCFDE.FDBE2其中正确的为( )A BC D解析：因为D，E，F分别为ABC边AB，BC，CA的中点，所以EF綊ABAD，AF綊1 2DE，DFCB，DE綊C
3、F，故正确答案：B6.设O是正方形ABCD的中心，则；与共AOOCAOACABCD线；.其中，所有正确的序号为_AOBO解析：正方形的对角线互相平分，则，正确；与的方向AOOCAOAC相同，所以，正确；与的方向相反，所以与共线，AOACABCDABCD正确；尽管|，然而与的方向不相同，所以，不正确AOBOAOBOAOBO答案：7已知A，B，C是不共线的三点，向量m m与向量是平行向量，与是共线向量，则ABBCm m_.解析：A，B，C不共线，与不共线ABBC又m m与，都共线，ABBCm m0.答案：08给出下列命题：|；ABBA若a a与b b方向相反，则a ab b；若、是共线向量，则A、
4、B、C、D四点共线；ABCD有向线段是向量，向量就是有向线段；其中所有真命题的序号是_解析：共线向量指方向相同或相反的向量，向量、是共线向量，也可能有ABCD，故ABCD是假命题，向量可以用有向线段表示，不能说“有向线段是向量，向量就是有向线段” ，比如 0 不能用有向线段表示，另外，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，故是假命题3答案：9如图所示，43 的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与相等的向量共有几个？AB(2)与方向相同且模为 3的向量共有几个？AB2解析：(1)与向量相等的向量共有 5 个(不包括本身
5、)如图 1.ABAB(2)与向量方向相同且模为 3的向量共有 2 个，如图 2.AB210在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标(1)|a a|2，a a的方向与x轴正方向的夹角为 60，与y轴正方向的夹角为 30；(2)|a a|4，a a的方向与x轴正方向的夹角为 30，与y轴正方向的夹角为 120；(3)|a a|4，a a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是 135.2解析：如图所示：B 组 能力提升1如图，在菱形ABCD中，DAB120，则以下说法错误的是( )A与相等的向量只有一个(不含)ABABB与的模相等的向量有 9 个(不含)ABABC.的模恰为模的
6、倍BDDA3D.与不共线CBDA解析：两向量相等要求长度(模)相等，方向相同两向量共线只要求方向相同或相反D4中，所在直线平行，向量方向相同，故共线CBDA答案：D2下列说法中：(1)若a a是单位向量，b b也是单位向量，则a a与b b的方向相同或相反(2)若向量是单位向量，则向量也是单位向量ABBA(3)两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同其中正确的个数为( )A0 B1C2 D3解析：由单位向量的定义知，凡长度为 1 的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故(1)不正确；因为|，所以当是单位向量时，也是单位向量，故(2)正确；ABBAABBA据相等向量的概念知，(3)是正确的答
7、案：C3给出下列四个条件：a ab b；|a|a|b b|；a a与b b方向相反；|a a|0 或|b b|0，其中能使a ab b成立的条件是_解析：因为a a与b b为相等向量，所以abab，即能够使abab成立；由于|a a|b b|并没有确定a a与b b的方向，即不能够使abab成立；因为a a与b b方向相反时，abab，即能够使abab成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a a|0 或|b b|0 时，abab能够成立故使abab成立的条件是.答案：4给出下列命题：向量和向量长度相等；ABBA方向不同的两个向量一定不平行；向量是有向线段；BC向量 00；向量大于向量；ABCD
8、若向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上；ABCD一个向量方向不定当且仅当模为 0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同其中正确的是_(只填序号)解析：利用零向量、单位向量与平行向量的概念逐一判断即可正确不正确因为5平行向量包括方向相同和相反两种情况不正确向量可以用有向线段来表示，但不能把二者等同起来不正确.0 是一个向量，而 0 是一个数量不正确向量不能比较大小，这是向量与数量的本质区别不正确共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求两向量在同一直线上正确零向量的模为零且方向不定不正确共线的向量，若起点不同，终点也可以相同故填.答案：5如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是
9、BC，AD的中点，又且，求ABDCCNMA证：.DNMB证明：因为，ABDC所以|且ABDC，ABDC所以四边形ABCD是平行四边形，所以|且DACB，DACB又因为与的方向相同，DACB所以.CBDA同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以.CMNA因为|，|，CBDACMNA所以|，MBDN又与的方向相同，DNMB所以.DNMB6 “马走日”是中国象棋中的一个规则，即“马”在走动时必须走一个“日”字形的路径如图是中国象棋棋盘的一部分，如果有一“马”在A处，可以跳到E处，也可以跳到F处，分别用向量、表示“马”AEAF走了一步(1)试标出“马”在点B、C、D处走了一步的所有情况；6(2)“马
10、”在D处是否能跳到相邻的B点，试在图中标出，并说明“马”能否从棋盘任一交叉点出发走到棋盘的任何一交叉点处？解析：(1)如图，在点A处的“马”只能有 2 条路线；点B处的“马”有 4 条路线：、 、 、 ；点C处的“马”有 8 条路线：BQBRBSBT、 、 、 、 、 、 、 ；点D处的“马”有 3 条路线：、 、CGCFCPCOCNCMCLCHDUDV，因此在中国象棋中“马”有八面威风之说，那么通过作图我们可以知道，当“马”在DW棋盘上的一个角时，它行走的路线只有两种走法；若记棋盘的一个格子边长为 1，当“马”在边线上且距最近的边线为 1 时， “马”有三种走法；当“马”不在边线上且距最近的边线长为 1 时， “马”有四种或六种走法；当“马”不在边线上，且距最近的边线长不小于 2 时；“马”有八种走法，这时的“马”的威力最大，才八面威风(2)事实上， “马”由点D到点B处，只需沿向量， ，走三步即可(请同学们自己标出)DVVQQB也就是说“马”能从一个交叉点出发，然后回到该交叉点的相邻点由递推关系可得， “马”能从任一交叉点出发，然后又能走到棋盘的任一交叉点所谓“活 用马者，象棋高手也” ，道理即是如此