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1、13.3.33.3.3 函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数课时作业 A 组 基础巩固1函数f(x)xex，x0,4的最大值是( )A0 B. C. D.1 e4 e42 e2解析：f (x)，(x ex)exxex ex21x ex当x0,1)时，f (x)0，f(x)是增函数；当x(1,2时，f (x)f(2)f(2)，m3，最小值为f(2)37.答案：A3函数f(x)x33x(|x|0，即f(x)在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)223c20，c4.2答案：B5函数f(x)x33x在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )A(1，) B(1,2)11
2、C(1,2 D(1,4)解析：f(x)3x23，令f(x)0，得x1.x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小极大f(x)在 R R 上的极小值f(1)2，极大值f(1)2.令x33x2，即x33x20，(x1)2(x2)0，x1 或x2.f(x)在区间(a212，a)上有最小值，a2121a2，解得1a2.答案：C6函数y的最大值为_ln x x解析：函数的定义域为x0.y，令y0 得xe，当 0xe 时，f(x)0，当xe 时，f(x)1ln x x20，y最大 .ln e e1 e答案：1 e7当x1,1时，函数f(x)的值域是_x2 ex解析：f(x).2xexx2ex
3、 ex22xx2 exx2x ex令f(x)0 得x0 或x2(舍)，又f(0)0，f(1)e，f(1) ，故f(x)在(1x1)的值域为0，e1 e答案：0，e8设函数f(x)ax33x1(xR R)，若对于任意的x(0,1都有f(x)0 成立，则实数a的取值范围为_解析：因为x(0,1，f(x)0 可化为a.3 x21 x3设g(x).3 x21 x33则g(x).312x x4令g(x)0，得x .1 2当 00；1 2当 0，得a .(2 3)2 92 91 9所以当a 时，f(x)在上存在单调递增区间，1 9(2 3，)即f(x)在上存在单调递增区间时，a的取值范围为.(2 3，)(
4、1 9，)(2)令f (x)0，得两根x1，1 18a2x2，1 18a2所以f (x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当 00，f(x)单调递增；当 12 或a1，由Error!得 00 时，求函数f(x)在1,2上的最小值解析：(1)f (x) a(x0)，1 x当a0 时，f (x) a0，1 x即函数f(x)的单调增区间为(0，)当a0 时，令f (x) a0，可得x ，1 x1 a当 00；1 a1ax x当x 时，f (x)0，1 a1ax x故函数f(x)的单调递增区间为，(0，1 a单调递减区间为.(1 a，)(2)当 1，即a1 时，函数f(x)
5、在区间1,2上是减函数，f(x)的最小值是f(2)1 aln 22a.6当 2，即 0a 时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，f(x)的最小值是f(1)1 a1 2a.当 1 2，即 a1 时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)1 a1 21，1 a(1 a，2f(1)ln 2a.当 aln 2 时，最小值是f(1)a；1 2当 ln 2a1 时，最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当 0aln 2 时，函数f(x)的最小值是a；当aln 2 时，函数f(x)的最小值是 ln 22a.6设函数f(x)ax(1a2)x2，其中a0，区间x|f(x)0(1)求I的长度(注：区
6、间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0,1)，当 1ka1k时，求I长度的最小值解：(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10，x2，故f(x)0 的解a 1a2集为x|x1xx2因此区间I(0，)，区间I的长度为.a 1a2a 1a2(2)设d(a)，则d(a)(a0)a 1a21a2 1a22令d(a)0，得a1.由于 0k1，故当 1ka1 时，d(a)0，d(a)单调递增；当 1a1k时，d(a)0，d(a)单调递减所以当 1ka1k时，d(a)的最小值必定在a1k或a1k处取得而1，d1k d1k1k 11k2 1k 11k22k2k3 2k2k3故d(1k)d(1k)因此当 a1k 时，d(a)在区间1k,1k上取得最小值，即 I 长度的最小值为1k22kk2.1k22kk2