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1、13 3 三个正数的算术三个正数的算术- -几何平均不等式几何平均不等式课时作业A 组 基础巩固1设x，y，z0 且xyz6，则 lg xlg ylg z的取值范围是( )A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析：lg xlg ylg zlg(xyz)，而xyz323，(xyz 3)lg xlg ylg zlg 233lg 2，当且仅当xyz2 时，取等号答案：B2函数yx2(15x)(0x )的最大值为( )1 5A. B.4 6752 657C. D.4 6452 675解析：0x ，15x0，1 5yx2(15x)xx(15x)4 255 25 23.4 25
2、5 2x5 2x15x 34 675当且仅当x15x，5 2即x时取“” ，故选 A.2 15答案：A3已知圆柱的轴截面周长为 6，体积为V，则下列不等式正确的是( )AV BVCV DV 1 81 8解析：如图，设圆柱半径为R，高为h，则 4R2h6，即 2Rh3.VShR2hRRh3，当且仅当RRh1(RRh 3)时取等号2答案：B4设a，b，cR，且abc1，若M，则必有( )(1 a1) (1 b1) (1 c1)A0M0，y2x 2(x )224，当且仅当x ，即x1 时取等号1 x1 x1 x答案：C6若x0，则函数y4x2 的最小值是_1 x解析：x0，y4x2 4x21 x1
3、2x1 2x3 3.34x21 2x1 2x当且仅当 4x2(x0)，1 2x3即x 时，取“” ，1 2当x 时，1 2y4x2 (x0)的最小值为 3.1 x答案：37若a2，b3，则ab的最小值为_1 a2b3解析：a2，b3，a20，b30，ab1 a2b3(a2)(b3)51 a2b33 53a2b31 a2b3358(当且仅当a3，b4 时等号成立)答案：88设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为_解析：设底面边长为x，高为h，则x2hV，34所以h，4 3V3x2又S表2x23xh34x23xx2324 3V3x2324 3Vx32(x28V x)3
4、2(x24V x4Vx)33，32316V2332V2当且仅当x2，即x时，S表最小4V x34V答案：34V9已知x，y均为正数，且xy，求证：2x2y3.1 x22xyy24证明：因为x0，y0，xy0，2x2y1 x22xyy22(xy)1 xy2(xy)(xy)1 xy233，3xy21 xy2所以 2x2y3.1 x22xyy210如图(1)所示，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值解析：设正六棱柱容器底面边长为x(x0)，高为h，由图可有 2hx，33h(1x)，32VS
5、底h6x2h34x2(1x)3 32322 (1x)33 32x 2x 293 .(x 2x 21x 3)1 3当且仅当 1x，x 2x 2即x 时，等号成立2 35所以当底面边长为 时，正六棱柱容器的容积最大，为 .2 31 3B 组 能力提升1已知a，b，cR，x，y，z ，则( )abc 33abca2b2c2 3Axyz ByxzCyzx Dzyx解析：a，b，cR，abc 33abcxy，又x2，z2，a2b2c22ab2bc2ac 93a23b23c2 9a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，三式相加得：a2b2c2abbcca.3a23b23c2(abc)2，z2x2，
6、zx，即yxz.答案：B2若实数x，y满足xy0，且x2y2，则xyx2的最小值是( )A1 B2C3 D4解析：xyx2xyxyx21 21 23 3 33.31 2xy1 2xyx231 4x2y234 4答案：C3设x，则函数y4sin2xcos x的最大值为_(0， 2)解析：y216sin2xsin2xcos2x8(sin2xsin2x2cos2x)8()38，sin2xsin2x2cos2x 38 2764 27y2，当且仅当 sin2x2cos2x，64 27即 tan x时，等号成立ymax.28 39答案：8 394设正数a，b，c满足abc1，则的最小值为_1 3a21 3
7、b21 3c2解析：a，b，c均为正数，且abc1，6(3a2)(3b2)(3c2)9.()(3a2)(3b2)(3c2)1 3a21 3b21 3c2339.31 3a23b23c233a23b23c2当且仅当abc 时等号成立1 3即1.1 3a21 3b21 3c2故的最小值为 1.1 3a21 3b21 3c2答案：15设a，b，c为正实数，求证：abc2.1 a31 b31 c33证明：因为a，b，c为正实数，由算术几何平均不等式可得3 ，1 a31 b31 c331 a31 b31 c3即(当且仅当abc时，等号成立)1 a31 b31 c33 abc所以abcabc.1 a31
8、b31 c33 abc而abc2 2(当且仅当a2b2c23 时，等号成立)，3 abc3 abcabc3所以abc2(当且仅当abc时，等号成立)1 a31 b31 c33636已知某轮船速度为每小时 10 千米，燃料费为每小时 30 元，其余费用(不随速度变化)为每小时 480 元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小解析：设船速为V千米/小时，燃料费为A元/小时，则依题意有AkV3，且有30k103，k.3 100AV3.3 100设每千米的航行费用为R，需时间为 小时，1 VR (V3480)V21 V3 1003 100480 VV23 100240 V240 V73 36.33 100V2240 V240V当且仅当V2，即V20 时取最小值3 100240 V答：轮船航行速度为 20 千米/小时时，每千米航行费用总和最小