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1、今日奋发拼搏，明日独占鳌头，舍我其谁！中考总复习数学三角形1在ABC中，ACB90，D为ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CEDC（1）如图1，延长BC到点F，使得CFBC，连接AF，EF若AFEF，求证：BDAF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2若AB2AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明2已知，（1）如图1，平分，求证：四边形是菱形；（2）如图2，将（1）中的绕点逆时针旋转（旋转角小于，的延长线相交于点，用等式表示与之间的数量关系，并证明；（3）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转（旋转角小于，若，求的度数3如图1，在中，点
2、在边上由点向点运动（不与点、重合），过点作，交射线于点（1）分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由；点在线段的延长线上且；点在线段上且（2）若当时，求的长；直接写出运动过程中线段长度的最小值4综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在ABC中，D是AB上一点，ADCACB求证ACDABC独立思考：（1）请解答王老师提出的问题实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答“如图2，延长CA至点E，使CEBD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF、BC上，BGCD，BGHBCF在图中找出与BH相等的线段，
3、并证明”问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当BAC90时，若给出ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求该小组提出下面的问题，请你解答“如图3，在（2）的条件下，若BAC90，AB4，AC2，求BH的长”5【特例感知】（1）如图1，AOB和COD是等腰直角三角形，AOBCOD90，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是 ；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的COD绕着点O顺时针旋转（090），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由【方法运用】（3）如图3，若AB8
4、，点C是线段AB外一动点，AC3，连接BC若将CB绕点C逆时针旋转90得到CD，连接AD，则AD的最大值是 ；若以BC为斜边作RtBCD（B，C，D三点按顺时针排列），CDB90，连接AD，当CBDDAB30时，直接写出AD的值6两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形（1）问题发现：如图1，若ABC和ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边求证：BDCE；（2）解决问题：如图2，若ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E在同一条直线上，CM为DCE中DE边上
5、的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由7如图，AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DMAD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF（1）填空：若AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 ；（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m求m值最大时点D的坐标；是否存在这样的m值，使BEBF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由8如图，在RtABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，将ABC绕点A
6、按逆时针方向旋转90得到ADE，连接CD点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/sPQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0t5）解答下列问题：（1）当EQAD时，求t的值；（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使PQCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由9如图1，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，C90，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F设CMa，CNb，若ab8（1）判断由线段AE，EF，BF
7、组成的三角形的形状，并说明理由；（2）当ab时，求ECF的度数；当ab时，中的结论是否成立？并说明理由10【问题呈现】如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD，CE求证：BDCE【类比探究】如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABCADE90连接BD，CE请直接写出的值【拓展提升】如图3，ABC和ADE都是直角三角形，ABCADE90，且连接BD，CE（1）求的值；（2）延长CE交BD于点F，交AB于点G求sinBFC的值11将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上（点不与点，重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第
8、一象限设（）如图，当时，求的大小和点的坐标；（）如图，若折叠后重合部分为四边形，分别与边相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围；（）若折叠后重合部分的面积为，则的值可以是 .（请直接写出两个不同的值即可）12【基础巩固】（1）如图1，在中，分别为，上的点，交于点，求证：【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结，若，求的值【拓展提高】（3）如图3，在中，与交于点，为上一点，交于点，交于点若，平分，求的长13如图，在锐角中，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点（1）如图1，若，且，求的度数；（2）如图2，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，
9、连接在点，运动过程中，猜想线段，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点是的中点，点是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接在点，运动过程中，当线段取得最小值，且时，请直接写出的值冠市联合学校2022-2023学年中考总复习数学三角形参考答案1【解答】（1）证明：在BCD和FCE中，BCDFCE（SAS），DBCEFC，BDEF，AFEF，BDAF；（2）解：由题意补全图形如下：CDCH证明：延长BC到F，使CFBC，连接AF，EF，ACBF，BCCF，ABAF，由（1）可知BDEF，BDEF，AB2AE2+BD2，AF2AE2+EF2，AEF
10、90，AEEF，BDAE，DHE90，又CDCE，CHCDCE2【解答】（1）证明：，平分，四边形为平行四边形，平行四边形为菱形；（2）解：，理由如下：，；（3）解：如图3，在上取点，使，连接，在和中，设，则，即3【解答】解：（1），理由如下：，；，理由如下：如图：，；（2）过作于，如图：，即，设，则，在中，即，即，；作的中点，连接，如图：，是斜边上的中线，当最小时，最小，此时，此时，答：线段长度的最小值为4，法过做于，过做于，如图：，即，答：线段长度的最小值为4，4【解答】（1）证明：如图1中，ADCACB，B+DCBDCB+ACD，ACDB；（2）解：结论：BHEF理由：如图2中，在CB上
11、取一点T，使得GHCT在BGH和DCT中，BGHDCT（SAS），BHDT，GBHCDT，CDT+FDT180，GBH+FDT180，BFD+BTD180，CFE+BFD180，CFEBTD，在CEF和BDT中，CEFBDT（AAS），EFDT，EFBH；（3）解：如图3中，过点E作EMBC于点M，过点D作DNBC于点N，过点F作FQBC于点QCADBAC，ACDABC，ACDABC，AC2，AB4，AD1，BDCE3，AE1，BE，CAB90，BC2，SCEBCEBAEMCBEM，CM，BMBCCM2，SBCD+SADCSACB，2DN+1224，DN，BN，CNCBBN2，设BFk，FQE
12、M，BQk，FQk，DNFQ，CQk，BQ+CQ2，k+k2，k，EFBEBF，BHEF5【解答】解：（1）ADBC理由如下：如图1，AOB和COD是等腰直角三角形，AOBCOD90，OAOB，ODOC，在AOD和BOC中，AODBOC（SAS），ADBC，故答案为：ADBC；（2）ADBC仍然成立.证明：如图2，AOBCOD90，AOB+AOCAOC+COD90+，即BOCAOD，在AOD和BOC中，AODBOC（SAS），ADBC；（3）过点A作ATAB，使ATAB，连接BT，AD，DT，BD，ABT和CBD都是等腰直角三角形，BTAB，BDBC，ABTCBD45，ABCTBD，ABCTB
13、D，DTAC33，ATAB8，DT3，点D的运动轨迹是以T为圆心，3为半径的圆，当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+3，故答案为：8+3；如图4，在AB上方作ABT30，过点A作ATBT于点T，连接AD、BD、DT，过点T作THAD于点H，cos30，ABCTBD30+TBC，BACBTD，DTAC3，在RtABT中，ATABsinABT8sin304，BAT903060，TAHBATDAB603030，THAD，THATsinTAH4sin302，AHATcosTAH4cos302，在RtDTH中，DH，ADAH+DH2+6【解答】（1）证明：ABC和ADE是顶角相等的等腰三角
14、形，ABAC，ADAE，BACDAE，BACDACDAEDAC，即BADCAE，ABDACE（SAS），BDCE；（2）解：AEB90，AEBE+2CM，理由如下：如图：ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBC，DCEC，ACB90DCE，ACDBCE，ACDBCE（SAS），ADBE，ADCBEC，CDE是等腰直角三角形，CDECED45，ADC180CDE135，BECADC135，AEBBECCED1354590，CDCE，CMDE，DMME，DCE90，DMMECM，DE2CM，AEAD+DEBE+2CM7【解答】解：（1）AOB是等边三角形，AOB60，当点P在线段AB上时，ADO
15、D，DAOAODBOCAOB30，ACy轴，CAOAOB60，CADACODAO603030，在RtAOC中，ACOCtanAOC1，OA2AC2，在RtACD中，AD，DO，D（0，），当点P在BA的延长线上时，ODOA2，D（0，2），故答案为：（0，）或（0，2）；（2）设ODx，则CDx，ACDDOM90，CAD+ADC90，DMAD，ADM90，ADC+ODM90，CADODM，ACDDOM，mx（）（x）2+，当x时，m最大，当m最大时，D（0，）；如图，假设存在m，使BEBF，作BGOA于G，作AQDP于Q，作HFOD于H，BEBF，GEGF，ABC是等边三角形，ABOB，AGO
16、G，AGGEOGGF，即：AEOF，由知：mx，ACDCDQAQD90du3，四边形ACDQ是矩形，AQCDx，在RtAEQ中，AE，OFAE，在RtOFH中，HF，OHOFx，DHODOHx（x），HFOM，DHFDOM，x，m28【解答】解：（1）如图：在RtABC中，AC4，将ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到ADE，ADAB5，DEBC3，AEAC4，AEDACB90，EQAD，AQEAED90，EAQDAE，AQEAED，即，AQ，t；答：t的值为；（2）过P作PNBC于N，过C作CMAD于M，如图：将ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到ADE，BAD90，即BAC+CAM90，B
17、+BAC90，BCAM，ACB90AMC，ABCCAM，即，CM，SACDADCM58，S四边形ABCDSABC+SACD34+814，PBNABC，PNB90ACB，PBNABC，即，PNt，SBCPBCPN3tt，SS四边形ABCDSBCPSAPQ14t（5t）tt2t+14；答：S与t之间的函数关系式是St2t+14；（3）存在某一时刻t，使PQCD，理由如下：过C作CMAD于M，如图：由（2）知CM，AM，DMADAM5，PQCD，AQPMDC，PAQCMD90，APQMCD，即，解得t，答：存在时刻t，使PQCD9【解答】解：（1）线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：A
18、MACCM4a，BN4b，AE，BE，AE2+BF22（4a）2+2（4b）22（a2+b28a8b+32），4，EFABAEBF4（4a）（4b），ab8，EF22（a+b4）22（a2+b28a8b+16+2ab）2（a2+b28a8b+32），AE2+BF2EF2，线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；（2）如图1，连接PC交EF于G，ab，MEAMBNNF，四边形CNPM是矩形，矩形CNPM是正方形，PC平分ACB，CGAB，PEG90，CMCNPMPN，PEPF，AEM，BNF，PEF是等腰直角三角形，EF2AE2+BF2，EF2PE2+PF2，PEAEPFBF，MEEGFGFN，
19、MCEGCE，NCFGCF，ACB90，ECG+FCG；如图2，仍然成立，理由如下：将BCF逆时针旋转90至ACD，连接DE，DACB45，ADBF，DAEDAC+CAB90，DE2AD2+AE2BF2+AE2EF2BF2+AE2，DEEF，CDCF，CECE，DCFFCE（SSS），ECFDCF10【解答】【问题呈现】证明：ABC和ADE都是等边三角形，ADAE，ABAC，DAEBAC60，DAEBAEBACBAE，BADCAE，BADCAE（SAS），BDCE；【类比探究】解：ABC和ADE都是等腰直角三角形，DAEBAC45，DAEBAEBACBAE，BADCAE，BADCAE，；【拓展
20、提升】解：（1），ABCADE90，ABCADE，BACDAE，CAEBAD，CAEBAD，；（2）由（1）得：CAEBAD，ACEABD，AGCBGF，BFCBAC，sinBFC11【解答】解：（）如图中，过点作于点在中，由翻折的性质可知，；（）如图中，；（）如图中，当点与重合时，重叠部分是，过点作于点在中，观察图象可知当时，重叠部分的面积是定值，满足条件的的值可以为3或（答案不唯一）故答案为：3或12【解答】（1）证明：，；（2）解：，；（3）解：延长交于，连接，过点作于，四边形为平行四边形，在中，平分，13【解答】解：（1）如图1中，在射线上取一点，使得，在和中，；（2）结论：理由：如图2中，是等边三角形，如图中，延长到，使得，连接，延长到，使得，则是等边三角形，是等边三角形，（3）由（2）可知，点的运动轨迹为红色圆弧（如图中），三点共线时，的值最小，此时，如图中，过点作于点，设交题意点，设，第 28 页/共 28 页学科网（北京）股份有限公司