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1、 排列教学设计一、教学目标通过解决实际的计数问题，得到排列的定义，并能利用定义判断排列问题.二、教学重难点1、教学重点：排列的定义2、教学难点：将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到排列的定义.三、教学过程1、知识回顾加法原理：完成一件事有n类不同方案,在第一类方案中有n1种不同的方法，在第二类方案中有n2种不同的方法在第n类方案中有nn种不同的方法，那么完成这件事共有n1+n2+nn种不同的方法。乘法原理：完成一件事情有n个步骤,在第一步中有n1种不同的方法，在第二步中有n2种不同的方法在第n步中有nn种不同的方法，那么完成这件事共有n1n2nn种不同的方法。2、情景分析在上节课的学习中我们
2、发现，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐. 能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢？为此，先来分析两个具体的问题.问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？此时，要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名参加上午的活动，另1名参下午的活动”，可以分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为32=6.这6种不
3、同的选法如图所示.如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是ab，ac，ba，bc，ca，cb，不同的排列方法种数为32=6.设计意图：通过分步乘法计数的具体问题，即检测与本节课内容有关的计数原理的掌握情况，又引出排列问题，为抽象得到排列的概念作准备.问题2 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的
4、三位数.可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为432=24.因而共可得到24个不同的三位数，如图所示.由此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143，213，214，231，2
5、34，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.同样，问题2可以归结为：从4个不同的元素a，b，c，d中任意取出3个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc， cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.不同的排列方法种数为432=24.设计意图：通过分布乘法计数的具体问题，让学生再次经历解决排列问题的全过程，为抽象得到排列的概念作准备.3、概念的形成
6、上述问题1，2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数.一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.例如，在问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列，“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.又如，在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132虽然元素完全相同
7、，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.指出定义中需要注意的信息：（1）元素不能重复.（互异性）（2）“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键.（有序性）（3）两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同.（4）.为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏， 最好采用“树 形图”.设计意图：通过分析、比较两个实例，概括他们的共同特点，从特殊到一般得出排列的概念，并辨析概念.加深对定义的理解：判断下列问题是否为排列问题(1)北京、上海、天津3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设往返的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；
8、(3)选2个小组去种菜；(4)选10个人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员解：(1)中票价只有3种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)，(4)不存在顺序问题，不属于排列问题(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题根据以上的判断，得出”判断一个具体问题是否为排列问题的方法”变换元素的位置结果有无变化有序无序排列问题非排列问题4、例题讲解例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队友在主、客场分别比赛1场，那么
9、每组共进行多少场比赛？分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队. 按分布乘法计数原理，每组进行的比赛场数为65=30.例2 一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？解：可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙. 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为 543=60.变式：学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的
10、选法？解：可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜种选1种，同样有5种选法. 按分步乘法计数原理，不同的选法种数为 555=125.变式：学校食堂的一个窗口共卖5种菜，现有3名同学在这个窗口中选菜，只要求每种菜都能被人选上，共有多少种不同的分菜方法？解：第一种菜可以被3名同学挑选，第二种菜也可以被3名同学挑选，第三种菜也可以被3名同学挑选， 第四种菜也可以被3名同学挑选， 第五种菜也可以被3名同学挑选，根据分步乘法计算原理，不同的分菜种数是33333=35=243例3 有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，
11、每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，则分配方案的个数 。解法1：可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，共有54321120(个)分配方案解法2：理解为每个大学生来挑选单位，即大学生1有5个单位可选，大学生2有4个单位可选，大学生3有3个单位可选，大学生4有2个单位可选。这就是从5个不同的元素中抽取4个元素的排列，所以同样有54321120(个)分配方案例4 学校乒乓团体比赛采用5场3胜制（5场单打），每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1,2位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场1次。（1）从5名运动员中选3名参
12、加比赛，前3场比赛有几种出场情况？（2）甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况。解：（1）依题意可得，是从5个元素中选取3个元素的排列，所以是543=60（2）解：比3场结束，有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲6种情况；比4场结束，有甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，乙丙甲乙，乙丙甲丙，乙甲丙甲，乙甲丙乙，丙甲乙丙，丙甲乙甲，丙乙甲丙，丙乙甲乙12种情况；比5场结束，有甲乙丙甲乙，甲乙丙乙甲，甲丙乙甲丙，甲丙乙丙甲，乙甲丙乙甲，乙甲丙甲乙，乙丙甲乙丙，乙丙甲丙乙，丙甲乙丙甲，丙甲乙甲丙，丙乙甲丙乙，丙乙甲乙丙共12种。注意：在列举结果的时候，按题意分类列举.5、课堂小结（1）如何判断一个计数问题是否是一个排列问题？ 分析问题的背景是否满足“从n个不同的元素中取出m个元素，并按照一定的顺序排成一列”的特征，如果满足，则是排列，如果不满足，则不是排列.（2）如何求一个排列问题的所有排列个数？ 如：从8个不同的元素中取出3个元素，并按照一定的顺序排成一列，不同的选法种数为876=336.5、作业教科书习题6.2第5，9题.学科网（北京）股份有限公司