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1、第六节：数学的全面繁荣第六节：数学的全面繁荣一、解析几何的创立一、解析几何的创立二、微积分的诞生二、微积分的诞生三、概率论的建立三、概率论的建立四、非欧几何学的出现四、非欧几何学的出现本节教学目的和要求本节教学目的和要求1.1.了解近代资本主义大工业的建立对近代数学的了解近代资本主义大工业的建立对近代数学的了解近代资本主义大工业的建立对近代数学的了解近代资本主义大工业的建立对近代数学的推动作用；推动作用；推动作用；推动作用；2.2.了解解析几何的创立在数学史上的划时代意义；了解解析几何的创立在数学史上的划时代意义；了解解析几何的创立在数学史上的划时代意义；了解解析几何的创立在数学史上的划时代意
2、义；3.3.全面认识微积分的发展线索，重点了解牛顿和全面认识微积分的发展线索，重点了解牛顿和全面认识微积分的发展线索，重点了解牛顿和全面认识微积分的发展线索，重点了解牛顿和莱布尼兹各自建立微积分的过程和特点；莱布尼兹各自建立微积分的过程和特点；莱布尼兹各自建立微积分的过程和特点；莱布尼兹各自建立微积分的过程和特点；4.4.深入把握非欧几何学的创立过程，着重理解科深入把握非欧几何学的创立过程，着重理解科深入把握非欧几何学的创立过程，着重理解科深入把握非欧几何学的创立过程，着重理解科学发展的内在逻辑。学发展的内在逻辑。学发展的内在逻辑。学发展的内在逻辑。近代变量数学发展线索近代变量数学发展线索 解
3、析几何解析几何 非欧几何非欧几何-拓扑学拓扑学 微积分（牛顿、莱布尼兹）微积分（牛顿、莱布尼兹）-分析类分析类的分支的分支 概率统计概率统计变量数学的兴起变量数学的兴起 数学中的转折点是笛卡儿的变数数学中的转折点是笛卡儿的变数数学中的转折点是笛卡儿的变数数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，有了变数，有了变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的学有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的学有了变数，微分和积分也就立刻成为必
4、要的学有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了了了了 在一切理论成就中，未必再有什么像在一切理论成就中，未必再有什么像在一切理论成就中，未必再有什么像在一切理论成就中，未必再有什么像1717世纪世纪世纪世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。的
5、纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。恩格斯恩格斯恩格斯恩格斯一、解析几何的创立一、解析几何的创立 在在在在1717世纪，数学科学发生了根本性的转折，这种世纪，数学科学发生了根本性的转折，这种世纪，数学科学发生了根本性的转折，这种世纪，数学科学发生了根本性的转折，这种转折实质上是由社会生产力的急速发展所引起的。数转折实质上是由社会生产力的急速发展所引起的。数转折实质上是由社会生产力的急速发展所引起的。数转折实质上是由社会生产力的急速发展所引起的。数学根本性的转折之一是解析几何的诞生。学根本性的转折之一是解析几何的诞生。学根本性的转折之一是解析几何的诞生。学根本性
6、的转折之一是解析几何的诞生。解析几何的创始人是笛卡儿和费马解析几何的创始人是笛卡儿和费马解析几何的创始人是笛卡儿和费马解析几何的创始人是笛卡儿和费马.他们都对欧氏他们都对欧氏他们都对欧氏他们都对欧氏几何的局限性表示不满几何的局限性表示不满几何的局限性表示不满几何的局限性表示不满:古代的几何过于抽象古代的几何过于抽象古代的几何过于抽象古代的几何过于抽象,过多地过多地过多地过多地依赖于图形依赖于图形依赖于图形依赖于图形.他们代数也批评代数过于受法则和公式的他们代数也批评代数过于受法则和公式的他们代数也批评代数过于受法则和公式的他们代数也批评代数过于受法则和公式的约束约束约束约束,缺乏直观缺乏直观缺
7、乏直观缺乏直观.同时同时同时同时,他们都认识到几何学提供了有关他们都认识到几何学提供了有关他们都认识到几何学提供了有关他们都认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理真实世界的知识和真理真实世界的知识和真理真实世界的知识和真理,而代数学能用来对抽象的未知而代数学能用来对抽象的未知而代数学能用来对抽象的未知而代数学能用来对抽象的未知量进行推理量进行推理量进行推理量进行推理,代数学是一门潜在的方法科学代数学是一门潜在的方法科学代数学是一门潜在的方法科学代数学是一门潜在的方法科学.因此因此因此因此,把代把代把代把代数学和几何学中一切精华的东西结合起来数学和几何学中一切精华的东西结合起来数学和几何学中
8、一切精华的东西结合起来数学和几何学中一切精华的东西结合起来,可以取长补可以取长补可以取长补可以取长补短短短短.这样一来这样一来这样一来这样一来,一门新的科学诞生了。一门新的科学诞生了。一门新的科学诞生了。一门新的科学诞生了。一、解析几何的创立一、解析几何的创立解析几何学是由法国的费马（解析几何学是由法国的费马（解析几何学是由法国的费马（解析几何学是由法国的费马（1601160116651665）和笛）和笛）和笛）和笛卡尔（卡尔（卡尔（卡尔（1596165015961650）各自独立创立的。）各自独立创立的。）各自独立创立的。）各自独立创立的。费马把代数学运用于几何学，采用在一个坐标系费马把代数
9、学运用于几何学，采用在一个坐标系费马把代数学运用于几何学，采用在一个坐标系费马把代数学运用于几何学，采用在一个坐标系中以一系列的数字表示一条曲线轨迹的方法。费中以一系列的数字表示一条曲线轨迹的方法。费中以一系列的数字表示一条曲线轨迹的方法。费中以一系列的数字表示一条曲线轨迹的方法。费马的成就在其去世后才发表。马的成就在其去世后才发表。马的成就在其去世后才发表。马的成就在其去世后才发表。费马费马费马费马笛卡尔笛卡尔笛卡尔笛卡尔笛卡儿的理论笛卡儿的理论笛卡儿的解析几何学成就体现在其笛卡儿的解析几何学成就体现在其笛卡儿的解析几何学成就体现在其笛卡儿的解析几何学成就体现在其16371637年发表的年发
10、表的年发表的年发表的方法论方法论方法论方法论中，以两个思想为基础中，以两个思想为基础中，以两个思想为基础中，以两个思想为基础:一个是坐标思想；一个是坐标思想；一个是坐标思想；一个是坐标思想；另一个是方程与曲线的思想，即两个未知数表示的另一个是方程与曲线的思想，即两个未知数表示的另一个是方程与曲线的思想，即两个未知数表示的另一个是方程与曲线的思想，即两个未知数表示的某个代数方程可以看成平面上的一条曲线；反之，某个代数方程可以看成平面上的一条曲线；反之，某个代数方程可以看成平面上的一条曲线；反之，某个代数方程可以看成平面上的一条曲线；反之，一条曲线可以用曲线上任意点（一条曲线可以用曲线上任意点（一
11、条曲线可以用曲线上任意点（一条曲线可以用曲线上任意点（x,yx,y）坐标之间的）坐标之间的）坐标之间的）坐标之间的方程关系来表示。方程关系来表示。方程关系来表示。方程关系来表示。笛卡儿对几何问题应用了代数方法笛卡儿对几何问题应用了代数方法笛卡儿对几何问题应用了代数方法笛卡儿对几何问题应用了代数方法:研究几何轨迹研究几何轨迹研究几何轨迹研究几何轨迹问题，提出在由两条直线构成的平面坐标系里的几问题，提出在由两条直线构成的平面坐标系里的几问题，提出在由两条直线构成的平面坐标系里的几问题，提出在由两条直线构成的平面坐标系里的几何图形都可以转化成一个二元方程，这样平面几何何图形都可以转化成一个二元方程，
12、这样平面几何何图形都可以转化成一个二元方程，这样平面几何何图形都可以转化成一个二元方程，这样平面几何学的问题就都可以用代数学的方法加以处理。学的问题就都可以用代数学的方法加以处理。学的问题就都可以用代数学的方法加以处理。学的问题就都可以用代数学的方法加以处理。解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表示解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表示解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表示解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表示,同时又用代数的研究方法来研究几何。同时又用代数的研究方法来研究几何。同时又用代数的研究方法来研究几何。同时又用代数的研究方法来研究几何。殊途同归殊途同归费马从代数
13、方程出发来寻找其轨迹，笛卡尔则从费马从代数方程出发来寻找其轨迹，笛卡尔则从费马从代数方程出发来寻找其轨迹，笛卡尔则从费马从代数方程出发来寻找其轨迹，笛卡尔则从轨迹出发来寻找其代数方程，是数学发展的殊途轨迹出发来寻找其代数方程，是数学发展的殊途轨迹出发来寻找其代数方程，是数学发展的殊途轨迹出发来寻找其代数方程，是数学发展的殊途同归。同归。同归。同归。过去的数学只能描写一些确定的、不变化的量，过去的数学只能描写一些确定的、不变化的量，过去的数学只能描写一些确定的、不变化的量，过去的数学只能描写一些确定的、不变化的量，解析几何学使得变量的描述成为可能，解析几何学使得变量的描述成为可能，解析几何学使得
14、变量的描述成为可能，解析几何学使得变量的描述成为可能，这是数学这是数学这是数学这是数学发展史上的一次质的飞跃。发展史上的一次质的飞跃。发展史上的一次质的飞跃。发展史上的一次质的飞跃。解析几何出现后不久，微积分也被发现解析几何出现后不久，微积分也被发现了。可以说，微积分不仅是数学的伟大发现，了。可以说，微积分不仅是数学的伟大发现，也为近代科学开辟了光明的道路；微积分不也为近代科学开辟了光明的道路；微积分不仅是仅是17世纪的伟大发现，而且是世界人类文世纪的伟大发现，而且是世界人类文明史上最为光辉灿烂的发现。明史上最为光辉灿烂的发现。二、微积分的诞生二、微积分的诞生 十六、十七世纪科学和生产中面临十
15、六、十七世纪科学和生产中面临的大量重要问题，促进了微积分的诞生的大量重要问题，促进了微积分的诞生与发展。与发展。微积分的来源是科学发展对数微积分的来源是科学发展对数学要求的必然：学要求的必然：速度、距离、重心速度、距离、重心；切切线、长度、面积、体积线、长度、面积、体积；极值问题极值问题等等。等等。二、微积分的诞生二、微积分的诞生微积分发展的历史足迹微积分发展的历史足迹 古希腊时代伟大的数学家、力学家阿基米古希腊时代伟大的数学家、力学家阿基米古希腊时代伟大的数学家、力学家阿基米古希腊时代伟大的数学家、力学家阿基米德，我国古代著名数学家刘徽，祖冲之、祖暅德，我国古代著名数学家刘徽，祖冲之、祖暅德
16、，我国古代著名数学家刘徽，祖冲之、祖暅德，我国古代著名数学家刘徽，祖冲之、祖暅父子等为积分思想的形成和发展做出了重要的父子等为积分思想的形成和发展做出了重要的父子等为积分思想的形成和发展做出了重要的父子等为积分思想的形成和发展做出了重要的贡献，他们的工作领先了欧洲数学家的工作一贡献，他们的工作领先了欧洲数学家的工作一贡献，他们的工作领先了欧洲数学家的工作一贡献，他们的工作领先了欧洲数学家的工作一千多年。千多年。千多年。千多年。16161616，17171717世纪是微积分思想发展最为活跃的世纪是微积分思想发展最为活跃的世纪是微积分思想发展最为活跃的世纪是微积分思想发展最为活跃的时期，其杰出的代
17、表有伽利略、开普勒、卡瓦时期，其杰出的代表有伽利略、开普勒、卡瓦时期，其杰出的代表有伽利略、开普勒、卡瓦时期，其杰出的代表有伽利略、开普勒、卡瓦列里、费马、巴罗，等。他们的工作为牛顿、列里、费马、巴罗，等。他们的工作为牛顿、列里、费马、巴罗，等。他们的工作为牛顿、列里、费马、巴罗，等。他们的工作为牛顿、莱布尼兹莱布尼兹莱布尼兹莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-(Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-(Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-(Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716
18、171617161716，)创立微积分理论奠定了基础。创立微积分理论奠定了基础。创立微积分理论奠定了基础。创立微积分理论奠定了基础。牛顿的微积分牛顿的微积分 牛顿在牛顿在牛顿在牛顿在17171717世纪世纪世纪世纪60606060年代创立了微积分，年代创立了微积分，年代创立了微积分，年代创立了微积分，他称之为他称之为他称之为他称之为流数术流数术流数术流数术，其基本原理是把数，其基本原理是把数，其基本原理是把数，其基本原理是把数学中的量看作是由连续轨迹运动产生的，学中的量看作是由连续轨迹运动产生的，学中的量看作是由连续轨迹运动产生的，学中的量看作是由连续轨迹运动产生的，不再看作是由无穷小元素构成
19、的。牛顿使不再看作是由无穷小元素构成的。牛顿使不再看作是由无穷小元素构成的。牛顿使不再看作是由无穷小元素构成的。牛顿使用了无穷小增量，但对这个概念没有给出用了无穷小增量，但对这个概念没有给出用了无穷小增量，但对这个概念没有给出用了无穷小增量，但对这个概念没有给出明确的规定和严格的数学的证明。明确的规定和严格的数学的证明。明确的规定和严格的数学的证明。明确的规定和严格的数学的证明。微分与积分微分与积分:无穷级数的形式无穷级数的形式 微积分的应用微积分的应用 牛顿求积分牛顿求积分:二项式定理二项式定理牛顿的微积分牛顿的微积分莱布尼兹莱布尼兹的微积分的微积分 莱布尼兹于莱布尼兹于莱布尼兹于莱布尼兹于
20、1684168416841684年发表了微积分成果，年发表了微积分成果，年发表了微积分成果，年发表了微积分成果，他称之为求差的方法和求和的方法。他称之为求差的方法和求和的方法。他称之为求差的方法和求和的方法。他称之为求差的方法和求和的方法。其基本思想是把一条曲线下面的面积其基本思想是把一条曲线下面的面积其基本思想是把一条曲线下面的面积其基本思想是把一条曲线下面的面积分割成许多小矩形，矩形与曲线之间分割成许多小矩形，矩形与曲线之间分割成许多小矩形，矩形与曲线之间分割成许多小矩形，矩形与曲线之间微小的直角三角形的两边分别是曲线微小的直角三角形的两边分别是曲线微小的直角三角形的两边分别是曲线微小的直
21、角三角形的两边分别是曲线的相邻两点的纵坐标和横坐标之差，的相邻两点的纵坐标和横坐标之差，的相邻两点的纵坐标和横坐标之差，的相邻两点的纵坐标和横坐标之差，当这两个差无限减小时，曲线上相邻当这两个差无限减小时，曲线上相邻当这两个差无限减小时，曲线上相邻当这两个差无限减小时，曲线上相邻两点便无限接近。连接这样的两点就两点便无限接近。连接这样的两点就两点便无限接近。连接这样的两点就两点便无限接近。连接这样的两点就得出曲线在该点的切线，就是求差的得出曲线在该点的切线，就是求差的得出曲线在该点的切线，就是求差的得出曲线在该点的切线，就是求差的方法。求差的反面就是求和。方法。求差的反面就是求和。方法。求差的
22、反面就是求和。方法。求差的反面就是求和。莱布尼兹莱布尼兹的微积分的微积分微积分发明权之争微积分发明权之争 牛顿和莱布尼兹关于微积分牛顿和莱布尼兹关于微积分牛顿和莱布尼兹关于微积分牛顿和莱布尼兹关于微积分发明权之争导致英国数学家与大发明权之争导致英国数学家与大发明权之争导致英国数学家与大发明权之争导致英国数学家与大陆数学家之间的对峙，学术上形陆数学家之间的对峙，学术上形陆数学家之间的对峙，学术上形陆数学家之间的对峙，学术上形成门户之见，严重地妨碍了科学成门户之见，严重地妨碍了科学成门户之见，严重地妨碍了科学成门户之见，严重地妨碍了科学的进步，应引以为鉴。的进步，应引以为鉴。的进步，应引以为鉴。的
23、进步，应引以为鉴。牛顿和莱布尼兹的方法都是牛顿和莱布尼兹的方法都是牛顿和莱布尼兹的方法都是牛顿和莱布尼兹的方法都是建立在一个未加严格定义的无穷建立在一个未加严格定义的无穷建立在一个未加严格定义的无穷建立在一个未加严格定义的无穷小增量的基础之上，小增量的基础之上，小增量的基础之上，小增量的基础之上，尽管该方法尽管该方法尽管该方法尽管该方法在应用中非常有效，但其数学基在应用中非常有效，但其数学基在应用中非常有效，但其数学基在应用中非常有效，但其数学基础并不牢固，直到础并不牢固，直到础并不牢固，直到础并不牢固，直到19191919世纪法国柯世纪法国柯世纪法国柯世纪法国柯西（西（西（西（1789178
24、9178917891857185718571857）和德国维尔斯）和德国维尔斯）和德国维尔斯）和德国维尔斯特拉斯（特拉斯（特拉斯（特拉斯（18151815181518151897189718971897）等人给出）等人给出）等人给出）等人给出 “极限极限极限极限”概念，才为微积分奠定概念，才为微积分奠定概念，才为微积分奠定概念，才为微积分奠定了严格的基础。了严格的基础。了严格的基础。了严格的基础。柯西柯西维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯微积分的伟大意义微积分的伟大意义1 1 1 1、微积分改变了数学的研究对象、方式和方法，、微积分改变了数学的研究对象、方式和方法，、微积分改变了数学的研究对象、方式和方
25、法，、微积分改变了数学的研究对象、方式和方法，带来了数学空前和持久的繁荣昌盛！显示了数带来了数学空前和持久的繁荣昌盛！显示了数带来了数学空前和持久的繁荣昌盛！显示了数带来了数学空前和持久的繁荣昌盛！显示了数学内部的辨证统一的深刻哲理。学内部的辨证统一的深刻哲理。学内部的辨证统一的深刻哲理。学内部的辨证统一的深刻哲理。2 2 2 2、推动了科学技术的发展。有了微积分，它就、推动了科学技术的发展。有了微积分，它就、推动了科学技术的发展。有了微积分，它就、推动了科学技术的发展。有了微积分，它就成为了物理学的基本语言。其他如力学、天文成为了物理学的基本语言。其他如力学、天文成为了物理学的基本语言。其他
26、如力学、天文成为了物理学的基本语言。其他如力学、天文学、化学等学科都得到了无限的推动力。学、化学等学科都得到了无限的推动力。学、化学等学科都得到了无限的推动力。学、化学等学科都得到了无限的推动力。3 3 3 3、对人类物质文明作出了巨大贡献。数学方法、对人类物质文明作出了巨大贡献。数学方法、对人类物质文明作出了巨大贡献。数学方法、对人类物质文明作出了巨大贡献。数学方法的应用和更新，通过其他学科对人类的进步产的应用和更新，通过其他学科对人类的进步产的应用和更新，通过其他学科对人类的进步产的应用和更新，通过其他学科对人类的进步产生了前所未有的作用。生了前所未有的作用。生了前所未有的作用。生了前所未
27、有的作用。三、概率论的建立三、概率论的建立 概率论的建立首先是费马和他同时代的帕斯概率论的建立首先是费马和他同时代的帕斯卡的功绩，他们通过对游戏和赌博中掷骰卡的功绩，他们通过对游戏和赌博中掷骰子的考察，从大量的偶然性事件中寻求其子的考察，从大量的偶然性事件中寻求其统计上的必然性，从而创立了概率论。统计上的必然性，从而创立了概率论。四、非欧几何学的出现四、非欧几何学的出现 为为了了消消除除欧欧氏氏几几何何学学第第五五公公设设的的“疵疵点点”，英英国国高高斯斯、俄俄国国人人罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基、匈匈牙牙利利人人波波耶耶、德德国国人人黎黎曼曼分分别别创创立立了了非非欧欧几几何何学学，打打破破了了
28、欧欧氏氏几几何何的的一一统统天天下下，拓拓宽宽和深化了人们对空间的认识。和深化了人们对空间的认识。公理体系公理体系 一组公理体系应当具有以下三个性质：一组公理体系应当具有以下三个性质：（1 1）完完备备性性：就就是是说说使使整整个个学学说说中中要要用用的的一一切切事事物物都都完完全全可可归归结结到到公公理理，使使之之不不存在任何默许的其他假定。存在任何默许的其他假定。（2 2）相相容容性性：从从公公理理不不能能推推出出两两个个互互相相矛矛盾的定理。盾的定理。（3 3）独独立立性性：任任何何一一个个公公理理都都不不是是另另一一个个公理的推论。公理的推论。欧氏几何的公理体系出现在欧几里德的欧氏几何
29、的公理体系出现在欧几里德的欧氏几何的公理体系出现在欧几里德的欧氏几何的公理体系出现在欧几里德的集合原本集合原本集合原本集合原本中，在中，在中，在中，在2200220022002200年之后，希尔伯特在年之后，希尔伯特在年之后，希尔伯特在年之后，希尔伯特在几何基础几何基础几何基础几何基础加加加加以完善。其间，许多数学家作了许多公理体系的完以完善。其间，许多数学家作了许多公理体系的完以完善。其间，许多数学家作了许多公理体系的完以完善。其间，许多数学家作了许多公理体系的完备性工作。备性工作。备性工作。备性工作。然而，令人放心不下的是该公理体系中的第五公理，然而，令人放心不下的是该公理体系中的第五公理
30、，然而，令人放心不下的是该公理体系中的第五公理，然而，令人放心不下的是该公理体系中的第五公理，即平行公理的独立性问题。因为人们发现即使欧几即平行公理的独立性问题。因为人们发现即使欧几即平行公理的独立性问题。因为人们发现即使欧几即平行公理的独立性问题。因为人们发现即使欧几里德本人也尽量避免使用它。所以人们开始从三个里德本人也尽量避免使用它。所以人们开始从三个里德本人也尽量避免使用它。所以人们开始从三个里德本人也尽量避免使用它。所以人们开始从三个方面研究平行公理。方面研究平行公理。方面研究平行公理。方面研究平行公理。（1 1 1 1）试图给出新的平行线定义以绕开这个困难；）试图给出新的平行线定义以
31、绕开这个困难；）试图给出新的平行线定义以绕开这个困难；）试图给出新的平行线定义以绕开这个困难；（2 2 2 2）试图用比平行公理缺点更少的其他公理取代）试图用比平行公理缺点更少的其他公理取代）试图用比平行公理缺点更少的其他公理取代）试图用比平行公理缺点更少的其他公理取代它；（等价或包含）它；（等价或包含）它；（等价或包含）它；（等价或包含）（3 3 3 3）试图用其他公里推出它。）试图用其他公里推出它。）试图用其他公里推出它。）试图用其他公里推出它。第三个问题得到的最多的研究，但是毫无结果。第三个问题得到的最多的研究，但是毫无结果。第三个问题得到的最多的研究，但是毫无结果。第三个问题得到的最多
32、的研究，但是毫无结果。第五公设的证明：非欧几何的萌芽第五公设的证明：非欧几何的萌芽在公设、公理基础上建立起来的在公设、公理基础上建立起来的在公设、公理基础上建立起来的在公设、公理基础上建立起来的欧几里德欧几里德欧几里德欧几里德几何几何几何几何学被公认为是数学严格性的典范。学被公认为是数学严格性的典范。学被公认为是数学严格性的典范。学被公认为是数学严格性的典范。但是数学家们同时也感到欧氏几何中存在着某但是数学家们同时也感到欧氏几何中存在着某但是数学家们同时也感到欧氏几何中存在着某但是数学家们同时也感到欧氏几何中存在着某种瑕疵。其中最让数学家们感到不大舒服的是种瑕疵。其中最让数学家们感到不大舒服的
33、是种瑕疵。其中最让数学家们感到不大舒服的是种瑕疵。其中最让数学家们感到不大舒服的是第五公设。第五公设。第五公设。第五公设。第五公设所说明的事实不象其他几条那样显而第五公设所说明的事实不象其他几条那样显而第五公设所说明的事实不象其他几条那样显而第五公设所说明的事实不象其他几条那样显而易见，缺少作为一条公设所必须有的自明性。易见，缺少作为一条公设所必须有的自明性。易见，缺少作为一条公设所必须有的自明性。易见，缺少作为一条公设所必须有的自明性。人们不怀疑其真实性，但怀疑其作为公设的资人们不怀疑其真实性，但怀疑其作为公设的资人们不怀疑其真实性，但怀疑其作为公设的资人们不怀疑其真实性，但怀疑其作为公设的
34、资格。因此许多人试图来证明第五公设。格。因此许多人试图来证明第五公设。格。因此许多人试图来证明第五公设。格。因此许多人试图来证明第五公设。非欧几何的创立非欧几何的创立17921792年高斯（年高斯（Carl Carl Friedrich Gauss Friedrich Gauss 1777-18551777-1855）十五岁时）十五岁时就开始考虑第五公设就开始考虑第五公设问题。问题。18161816年左右他已获得年左右他已获得了非欧几何的基本思了非欧几何的基本思想，确信存在一种与想，确信存在一种与欧氏几何不同的几何欧氏几何不同的几何学。学。创始人？创始人？但是高斯有一个习惯，在任何情况下，他都
35、把但是高斯有一个习惯，在任何情况下，他都把但是高斯有一个习惯，在任何情况下，他都把但是高斯有一个习惯，在任何情况下，他都把他的结果保密一段时间。他的结果保密一段时间。他的结果保密一段时间。他的结果保密一段时间。所以数学史上认为首先确立非欧几何的是另外所以数学史上认为首先确立非欧几何的是另外所以数学史上认为首先确立非欧几何的是另外所以数学史上认为首先确立非欧几何的是另外两位数学家罗巴切夫斯基和波耶。两位数学家罗巴切夫斯基和波耶。两位数学家罗巴切夫斯基和波耶。两位数学家罗巴切夫斯基和波耶。高斯这样做或许还出于别的考虑，主要是为了高斯这样做或许还出于别的考虑，主要是为了高斯这样做或许还出于别的考虑，
36、主要是为了高斯这样做或许还出于别的考虑，主要是为了少招徕愚蠢的偏见。因为他说过，少招徕愚蠢的偏见。因为他说过，少招徕愚蠢的偏见。因为他说过，少招徕愚蠢的偏见。因为他说过，“它的公开它的公开它的公开它的公开将引起愚人的叫喊将引起愚人的叫喊将引起愚人的叫喊将引起愚人的叫喊”。第一个公开发表非欧几何论文的罗巴切夫斯基第一个公开发表非欧几何论文的罗巴切夫斯基第一个公开发表非欧几何论文的罗巴切夫斯基第一个公开发表非欧几何论文的罗巴切夫斯基的确付出了相当大的代价。的确付出了相当大的代价。的确付出了相当大的代价。的确付出了相当大的代价。罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基 Nikolai Nik
37、olai IvanovichIvanovich LobachevskiiLobachevskii（1793-1793-18561856）大约在大约在18151815年开始研究年开始研究第五公设问题。第五公设问题。罗巴切夫斯基以深刻的罗巴切夫斯基以深刻的洞察力提出了导致几何洞察力提出了导致几何学革命的新思想。他大学革命的新思想。他大胆预言，由第五公设的胆预言，由第五公设的否命题出发而得到的结否命题出发而得到的结果代表着一种新的几何果代表着一种新的几何学。学。非欧几何的诞生及其阻力非欧几何的诞生及其阻力 1826182618261826年年年年2 2 2 2月月月月11111111日罗巴切夫斯基在
38、喀山大学物理日罗巴切夫斯基在喀山大学物理日罗巴切夫斯基在喀山大学物理日罗巴切夫斯基在喀山大学物理数学系会议上宣读了题为数学系会议上宣读了题为数学系会议上宣读了题为数学系会议上宣读了题为几何学原理简述及平行几何学原理简述及平行几何学原理简述及平行几何学原理简述及平行线定律的严格证明线定律的严格证明线定律的严格证明线定律的严格证明的论文。的论文。的论文。的论文。在否定第五公理的同在否定第五公理的同在否定第五公理的同在否定第五公理的同时，假设其反面之一：时，假设其反面之一：时，假设其反面之一：时，假设其反面之一：“过已知直线外一点，可作过已知直线外一点，可作过已知直线外一点，可作过已知直线外一点，可
39、作多于一条的直线与已知直线平行多于一条的直线与已知直线平行多于一条的直线与已知直线平行多于一条的直线与已知直线平行”，建立了一门新，建立了一门新，建立了一门新，建立了一门新的几何学。这是过去的几何学。这是过去的几何学。这是过去的几何学。这是过去2000200020002000年以来的重大突破。年以来的重大突破。年以来的重大突破。年以来的重大突破。但是在一般人心目中，甚至数学家的心目中，但是在一般人心目中，甚至数学家的心目中，但是在一般人心目中，甚至数学家的心目中，但是在一般人心目中，甚至数学家的心目中，欧几里德堡垒是如此坚固。罗巴切夫斯基的工作欧几里德堡垒是如此坚固。罗巴切夫斯基的工作欧几里德
40、堡垒是如此坚固。罗巴切夫斯基的工作欧几里德堡垒是如此坚固。罗巴切夫斯基的工作得得得得到的是许多数学大家的嘲笑、讽刺到的是许多数学大家的嘲笑、讽刺到的是许多数学大家的嘲笑、讽刺到的是许多数学大家的嘲笑、讽刺。波耶（波耶（1802-18601802-1860，J J nosnos BolyaiBolyai）非欧几何的另一位创始人非欧几何的另一位创始人非欧几何的另一位创始人非欧几何的另一位创始人是匈牙利数学家波耶。是匈牙利数学家波耶。是匈牙利数学家波耶。是匈牙利数学家波耶。就读于维也纳工学院的波就读于维也纳工学院的波就读于维也纳工学院的波就读于维也纳工学院的波耶醉心于第五公设问题。耶醉心于第五公设问
41、题。耶醉心于第五公设问题。耶醉心于第五公设问题。在在在在1820182018201820年左右他相信建立年左右他相信建立年左右他相信建立年左右他相信建立一套新几何学是完全可能一套新几何学是完全可能一套新几何学是完全可能一套新几何学是完全可能的。的。的。的。波耶和罗巴切夫斯基所描波耶和罗巴切夫斯基所描波耶和罗巴切夫斯基所描波耶和罗巴切夫斯基所描述的非欧几何习惯上称为述的非欧几何习惯上称为述的非欧几何习惯上称为述的非欧几何习惯上称为罗巴切夫斯基几何或双曲罗巴切夫斯基几何或双曲罗巴切夫斯基几何或双曲罗巴切夫斯基几何或双曲几何。几何。几何。几何。罗巴切夫斯基几何的基本特征罗巴切夫斯基几何的基本特征（1
42、 1 1 1）承认空间是弯曲的，任何直线都是曲线，任何）承认空间是弯曲的，任何直线都是曲线，任何）承认空间是弯曲的，任何直线都是曲线，任何）承认空间是弯曲的，任何直线都是曲线，任何平面都是曲面；平面都是曲面；平面都是曲面；平面都是曲面；（2 2 2 2）其所描述的空间曲率处处等于一个非零常数；）其所描述的空间曲率处处等于一个非零常数；）其所描述的空间曲率处处等于一个非零常数；）其所描述的空间曲率处处等于一个非零常数；就是说空间处处一样弯，并且是均匀的；就是说空间处处一样弯，并且是均匀的；就是说空间处处一样弯，并且是均匀的；就是说空间处处一样弯，并且是均匀的；（3 3 3 3）认为平面上过一点可
43、以作无数条直线和一已知）认为平面上过一点可以作无数条直线和一已知）认为平面上过一点可以作无数条直线和一已知）认为平面上过一点可以作无数条直线和一已知直线不相交，它们和已知直线都不能保持同一距直线不相交，它们和已知直线都不能保持同一距直线不相交，它们和已知直线都不能保持同一距直线不相交，它们和已知直线都不能保持同一距离；离；离；离；（4 4 4 4）三角形三内角之和小于）三角形三内角之和小于）三角形三内角之和小于）三角形三内角之和小于180180180180度；度；度；度；（5 5 5 5）圆的周长与半径不成比例，而是比半径增长得）圆的周长与半径不成比例，而是比半径增长得）圆的周长与半径不成比例
44、，而是比半径增长得）圆的周长与半径不成比例，而是比半径增长得快。快。快。快。黎曼黎曼Bernhard Bernhard RiemannRiemann1826-18661826-1866 非欧几何在创立后三、非欧几何在创立后三、非欧几何在创立后三、非欧几何在创立后三、四十年间完全被学术四十年间完全被学术四十年间完全被学术四十年间完全被学术界忽视，直到十九世界忽视，直到十九世界忽视，直到十九世界忽视，直到十九世纪中期，黎曼的工作纪中期，黎曼的工作纪中期，黎曼的工作纪中期，黎曼的工作导致了突破。导致了突破。导致了突破。导致了突破。黎曼空间黎曼空间黎曼在高斯的指导下进行研究。黎曼在高斯的指导下进行研究
45、。黎曼认为，非欧几何不仅仅只有一种。他黎曼认为，非欧几何不仅仅只有一种。他推广了曲面的高斯曲率，建立起黎曼空间推广了曲面的高斯曲率，建立起黎曼空间的曲率概念。的曲率概念。在一般黎曼空间中，空间每一点的曲率是在一般黎曼空间中，空间每一点的曲率是不同的，也就是说黎曼空间本质上是不均不同的，也就是说黎曼空间本质上是不均匀的。匀的。黎曼曲率为常数黎曼曲率为常数在黎曼曲率为常数的特殊情况下，空间在黎曼曲率为常数的特殊情况下，空间分为三种类型：分为三种类型：（1 1）零曲率空间，即欧氏几何空间；）零曲率空间，即欧氏几何空间；（2 2）负曲率空间，即罗氏几何空间；）负曲率空间，即罗氏几何空间；（3 3）正曲
46、率空间，即狭义的黎曼几何空）正曲率空间，即狭义的黎曼几何空间或称椭圆几何空间。间或称椭圆几何空间。欧氏几何和罗氏几何成了更为一般的黎欧氏几何和罗氏几何成了更为一般的黎曼几何的特例。曼几何的特例。黎曼几何的特征黎曼几何的特征在黎曼几何中欧几里德的第五公设被替在黎曼几何中欧几里德的第五公设被替换为：通过已知直线外一点，不能画一换为：通过已知直线外一点，不能画一条直线与已知直线平行。条直线与已知直线平行。作为推论，在黎曼空间中，通过两点可作为推论，在黎曼空间中，通过两点可以画无穷多条直线；以画无穷多条直线；不存在无限长直线的概念；不存在无限长直线的概念；三角形三内角之和总大于三角形三内角之和总大于1
47、80180度。度。只有一位听众懂只有一位听众懂18541854年黎曼做了题为年黎曼做了题为关于作为几何学基关于作为几何学基础的假设础的假设的就职讲演，在这个讲演中正的就职讲演，在这个讲演中正式提出和建立了黎曼几何。讲演题目是高式提出和建立了黎曼几何。讲演题目是高斯指定的。斯指定的。他的听众中除了年迈的高斯之外没有一个他的听众中除了年迈的高斯之外没有一个人听得懂他在说些什么。人听得懂他在说些什么。黎曼的讲演在他死后两年即黎曼的讲演在他死后两年即18681868年出版。年出版。非欧几何地位的确立非欧几何地位的确立同一年同一年(1868)(1868)意大利数学家贝尔特拉米意大利数学家贝尔特拉米（Be
48、ltramiBeltrami，1835-18991835-1899）给出了罗氏几何）给出了罗氏几何的一个欧几里德解释；的一个欧几里德解释；克莱因（克莱因（KleinKlein，1849-19251849-1925）在）在18701870年给出年给出了另一个更直观的模型，使得原来似乎复杂了另一个更直观的模型，使得原来似乎复杂和难以接受的思想变得易于理解了。和难以接受的思想变得易于理解了。以贝尔特拉米和克莱因的工作为契机，非欧以贝尔特拉米和克莱因的工作为契机，非欧几何在数学领域的地位才牢固地确立起来。几何在数学领域的地位才牢固地确立起来。1 1、解决了平行公理的独立性问题。推动了一般公、解决了平行
49、公理的独立性问题。推动了一般公、解决了平行公理的独立性问题。推动了一般公、解决了平行公理的独立性问题。推动了一般公理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究，促理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究，促理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究，促理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究，促进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发展。展。展。展。2 2、证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发、证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发、证明了对公理方法本身的研究
50、能推动数学的发、证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发展，理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求，推动展，理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求，推动展，理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求，推动展，理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求，推动了科学的进步。在数学内部，各分支纷纷建立了自了科学的进步。在数学内部，各分支纷纷建立了自了科学的进步。在数学内部，各分支纷纷建立了自了科学的进步。在数学内部，各分支纷纷建立了自己的公理体系，包括被公认为最困难的概率论也在己的公理体系，包括被公认为最困难的概率论也在己的公理体系，包括被公认为最困难的概率论也在己的公理体系，包括被公认为最困难的概率论也在2020世纪世纪