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1、第一节第一节 特征函数特征函数 一般说来，数字特征不能完全确定随机变量的分布一般说来，数字特征不能完全确定随机变量的分布.本本节将要介绍特征函数，既能完全决定分布函数，又具有良节将要介绍特征函数，既能完全决定分布函数，又具有良好的性质，是研究随机变量的分布的有力的工具好的性质，是研究随机变量的分布的有力的工具.关于复数的回顾关于复数的回顾复数的一般式：复数的一般式：取角取角使得使得则则其中其中为复数为复数z的模长。的模长。复数的三角形式复数的三角形式在三角形式下，令在三角形式下，令我们有我们有 复数的三角形式在复数的乘除法运算中占有相当复数的三角形式在复数的乘除法运算中占有相当大的优势。大的优
2、势。如考虑如考虑欧拉公式：欧拉公式：对于任何实数对于任何实数 ，记，记则复数的乘除法运算变成则复数的乘除法运算变成把指数函数推广到把指数函数推广到复变量的情形复变量的情形一、定义一、定义 定义定义1 设设、为实值随机变量，称为实值随机变量，称=+i为为 复随机变量复随机变量，这里，这里 称称为为的数学期望的数学期望.复随机变量本质上是二维随机变量，相关的很多概念和复随机变量本质上是二维随机变量，相关的很多概念和性质可以从实随机变量直接推广而得到，例如性质可以从实随机变量直接推广而得到，例如 具有与实数具有与实数学期望类似的性质学期望类似的性质.定定义义2 设设为实随机变量，称为实随机变量，称
3、为为的的特征函数特征函数，这里，这里t是任意实数是任意实数.1.若若为离散型，为离散型，则则2.若若为连续型，其密度为为连续型，其密度为p(x)，则，则 它就是函数它就是函数p(x)的傅里叶变换的傅里叶变换.特征函数的计算特征函数的计算二、常见分布的特征函数二、常见分布的特征函数例例1 退化退化(单点单点)分布分布P(=c)=1的特征函数的特征函数 f(t)=例例2 二项分布二项分布B(n,p)的特征函数的特征函数例例3 泊松分布泊松分布P()的特征函数的特征函数 例例4 均匀分布均匀分布U a,b 的特征函数的特征函数 特别地特别地 n=1时时,01分布的特征函数为分布的特征函数为例例5 正
4、态分布正态分布 的特征函数的特征函数 例例6 指数分布指数分布 的特征函数的特征函数 特别地特别地,标准正态分布的特征函数为标准正态分布的特征函数为三、性质三、性质性质性质1性质性质2性质性质3 设设=a+b,a,b是任意常数，则是任意常数，则 性质性质4 若若 相互独立相互独立,，的特征函数为的特征函数为，则，则这一性质对独立随机变量和的研究起着很大作用这一性质对独立随机变量和的研究起着很大作用.性质性质5 若若存在，存在，则则f(t)是是n次可微的，且当次可微的，且当kn时时 利用特征函数的性质利用特征函数的性质,我们很容易求得伽玛分布我们很容易求得伽玛分布 和和的特征函数的特征函数.伽玛
5、分布伽玛分布分布分布性质性质6(一致连续性定理一致连续性定理)任何特征函数任何特征函数f(t)在在(,)上均一致连续上均一致连续.性质性质7 f(t)是非负定的：是非负定的：对任意正整数对任意正整数n及任意实数及任意实数，复数复数，有，有 0这个性质是特征函数的最本质属性之一这个性质是特征函数的最本质属性之一.事实上，我们有如下的事实上，我们有如下的 波赫纳尔波赫纳尔辛钦辛钦(Bochner-Khinchine)定理定理 函数函数f(t)为为特征函数的充要条件是特征函数的充要条件是f(t)非负定，连续且非负定，连续且f(0)=1.四、逆转公式与唯一性定理四、逆转公式与唯一性定理 定理定理1（逆
6、转公式）设分布函数设分布函数F(x)的特征函数为的特征函数为f(t)，又，又 是是F(x)的两个连续点，则的两个连续点，则分布函数可由特征函数唯一确定分布函数可由特征函数唯一确定 定理定理2(唯一性定理)定理定理3(逆傅里叶变换)设设f(t)是特征函数，且是特征函数，且 则分布函数则分布函数F(x)的导数存在且连续，此时的导数存在且连续，此时 对应的随机变量对应的随机变量必为连续型必为连续型例例7 求证求证f(t)=cost是某随机变量的特征函数是某随机变量的特征函数.并求出它的并求出它的.分布函数分布函数 f(t)=cost解解=这是分布列为这是分布列为 的随机变量的特征函数的随机变量的特征
7、函数.=一般，若能把一般，若能把f(t)写成写成 的形式，其中的形式，其中 则则f(t)是特征函数，它的分布列为是特征函数，它的分布列为 关于分布函数的可加性关于分布函数的可加性 特征函数有很多重要的应用特征函数有很多重要的应用.比如比如,用它来讨论分布函数用它来讨论分布函数的可加性将非常方便的可加性将非常方便.回忆回忆:所谓所谓可加性可加性，是指若，是指若与与相互独立，服从同一相互独立，服从同一类型分布，则其和类型分布，则其和+也服从该类分布，且其分布中也服从该类分布，且其分布中的参数是的参数是与与的相应参数之和的相应参数之和.可加性可加性也称也称再生性再生性.例例8 设设X和和Y分别服从参数为分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布,且二者独立且二者独立试证试证X+Y服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.X+Y服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.大家试着利用特征函数来说明一下表大家试着利用特征函数来说明一下表4.1.1中还有那些分布具中还有那些分布具有可加性有可加性?证明证明:由泊松分布的特征函数知由泊松分布的特征函数知又又X与与Y相互独立相互独立,由性质由性质4知知将结果与泊松分布的特征函数比较并结合唯一性定理即知将结果与泊松分布的特征函数比较并结合唯一性定理即知,参数为参数为 的泊的泊松分布的特征函数松分布的特征函数