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1、数值分析数值分析数值分析数值分析 第四章第四章 代数特征值问题代数特征值问题 工程实践中有多种振动问题，如桥梁工程实践中有多种振动问题，如桥梁 或建筑物或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及 一些稳定一些稳定性分析和相关分析可转性分析和相关分析可转 化为求矩阵特征值与特征向化为求矩阵特征值与特征向量的问题。量的问题。但高次多项式求根精度低但高次多项式求根精度低,一般不作为求解方一般不作为求解方法法.目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法有效方法.数值分析数值分析数值分析数值分析 第四章第四章 代数特征值
2、问题代数特征值问题第一节第一节 特征值的估计和数值稳定性特征值的估计和数值稳定性第二节第二节 幂法和反幂法幂法和反幂法第三节第三节 求实对称矩阵特征值的雅可比求实对称矩阵特征值的雅可比 （JacobiJacobi）方法）方法第四节第四节 求矩阵全部特征值的求矩阵全部特征值的QR方法方法数值分析数值分析数值分析数值分析第一节第一节 特征值的估计和数值稳定性特征值的估计和数值稳定性一、格希格林圆盘一、格希格林圆盘(GerschgorinGerschgorin)数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值
3、分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析二、特征值问题的稳定性二、特征值问题的稳定性数值分析数值分析数值分析数值分析 第二节第二节 幂法和反幂法幂法和反幂法一、幂法一、幂法 求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。征向量。数值分析数值分析数值分析数值分析 数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析（4-8）数值分析数值分析数值分析数值分析定理定理4-2 证明证明 由递推公式（4-8），有数值
4、分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析两种特殊情况两种特殊情况数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析幂法小结幂法小结数值分析数值分析数值分析数值分析二、幂法的加速 因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值 ,当比值接近于当比值接近于1时，幂法收敛很慢。幂法时，幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍两种加速有多种，介绍两种。数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析3、Rayleigh商加速数
5、值分析数值分析数值分析数值分析三、反幂法三、反幂法 反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。有效的方法。数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析可以证明可以证明反幂法反幂法计算格式计算格式数值分析数值分析数值分析数值分析四、利用原点平移的反幂法求任一特征值和特征向量四、利用原点平移的反幂法求任一特征值和特征向量数值分析数值分析数值分析数值分析第三节第三节 求实对称矩阵特征值的雅可比求实对称矩阵特征值的雅可比 （Jacobi）方法）方
6、法 Jacobi方法是用来求实对称矩阵的全部特征方法是用来求实对称矩阵的全部特征值和对应特征向量的一个古典算法。值和对应特征向量的一个古典算法。Jacobi方法方法的基本思想是对做一系列的正交相似变换，使其的基本思想是对做一系列的正交相似变换，使其非对角元素收敛到零，从而使该矩阵近似为对角非对角元素收敛到零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。所用的矩阵矩阵，得到全部特征值和特征向量。所用的矩阵为为Givens矩阵，也称矩阵，也称Jacobi旋转矩阵。旋转矩阵。数值分析数值分析数值分析数值分析一、一、GivensGivens矩阵矩阵数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值
7、分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析二、利用二、利用Givens变换阵将实对称矩阵变换阵将实对称矩阵A相似化简为对角阵相似化简为对角阵Jacobi算法的基本思想算法的基本思想:数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析(2)计算矩阵计算矩阵C数值分析数值分析数值分析数值分析（3）计算矩阵）计算矩阵A的特征向量的特征向量数值分析数值分析数值分析数值分析三、三、Jacobi法的改进法的改进（1）循环）循环Jacobi方法：方法：（2）Jacobi过关法：过关法：数值分析数值分析数值分析数值分析习题四习题四 P158-4