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1、数值分析幂法第1页，共49页，编辑于2022年，星期六 第四章第四章 代数特征值问题代数特征值问题第一节第一节 特征值的估计和数值稳定性特征值的估计和数值稳定性第二节第二节 幂法和反幂法幂法和反幂法第三节第三节 求实对称矩阵特征值的雅可比求实对称矩阵特征值的雅可比 （JacobiJacobi）方法）方法第四节第四节 求矩阵全部特征值的求矩阵全部特征值的QR方法方法第2页，共49页，编辑于2022年，星期六第一节第一节 特征值的估计和数值稳定性特征值的估计和数值稳定性一、格希格林圆盘一、格希格林圆盘(Gerschgorin)(Gerschgorin)第3页，共49页，编辑于2022年，星期六第4
2、页，共49页，编辑于2022年，星期六第5页，共49页，编辑于2022年，星期六第6页，共49页，编辑于2022年，星期六第7页，共49页，编辑于2022年，星期六第8页，共49页，编辑于2022年，星期六第9页，共49页，编辑于2022年，星期六二、特征值问题的稳定性二、特征值问题的稳定性第10页，共49页，编辑于2022年，星期六 第二节第二节 幂法和反幂法幂法和反幂法一、幂法一、幂法 求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。征向量。第11页，共49页
3、，编辑于2022年，星期六 第12页，共49页，编辑于2022年，星期六第13页，共49页，编辑于2022年，星期六（4-8）第14页，共49页，编辑于2022年，星期六定理定理4-2 证明证明 由递推公式（4-8），有第15页，共49页，编辑于2022年，星期六第16页，共49页，编辑于2022年，星期六第17页，共49页，编辑于2022年，星期六两种特殊情况两种特殊情况第18页，共49页，编辑于2022年，星期六第19页，共49页，编辑于2022年，星期六幂法小结幂法小结第20页，共49页，编辑于2022年，星期六二、幂法的加速 因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值因为幂法的收敛速度
4、是线性的，而且依赖于比值 ,当比值接近于当比值接近于1时，幂法收敛很慢。幂法时，幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍两种加速有多种，介绍两种。第21页，共49页，编辑于2022年，星期六第22页，共49页，编辑于2022年，星期六第23页，共49页，编辑于2022年，星期六第24页，共49页，编辑于2022年，星期六3、Rayleigh商加速第25页，共49页，编辑于2022年，星期六三、反幂法三、反幂法 反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。法。
5、第26页，共49页，编辑于2022年，星期六第27页，共49页，编辑于2022年，星期六可以证明可以证明反幂法计算格式反幂法计算格式第28页，共49页，编辑于2022年，星期六四、利用原点平移的反幂法求任一特征值和特征向量四、利用原点平移的反幂法求任一特征值和特征向量第29页，共49页，编辑于2022年，星期六第三节第三节 求实对称矩阵特征值的雅可比求实对称矩阵特征值的雅可比 （Jacobi）方法）方法 Jacobi方法是用来求实对称矩阵的全部特征值和方法是用来求实对称矩阵的全部特征值和对应特征向量的一个古典算法。对应特征向量的一个古典算法。Jacobi方法的基本思方法的基本思想是对做一系列的
6、正交相似变换，使其非对角元素收想是对做一系列的正交相似变换，使其非对角元素收敛到零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特敛到零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。所用的矩阵为征值和特征向量。所用的矩阵为Givens矩阵，也称矩阵，也称Jacobi旋转矩阵。旋转矩阵。第30页，共49页，编辑于2022年，星期六一、一、GivensGivens矩阵矩阵第31页，共49页，编辑于2022年，星期六第32页，共49页，编辑于2022年，星期六第33页，共49页，编辑于2022年，星期六第34页，共49页，编辑于2022年，星期六第35页，共49页，编辑于2022年，星期六第36页
7、，共49页，编辑于2022年，星期六第37页，共49页，编辑于2022年，星期六第38页，共49页，编辑于2022年，星期六第39页，共49页，编辑于2022年，星期六第40页，共49页，编辑于2022年，星期六第41页，共49页，编辑于2022年，星期六第42页，共49页，编辑于2022年，星期六第43页，共49页，编辑于2022年，星期六二、利用二、利用Givens变换阵将实对称矩阵变换阵将实对称矩阵A相似化简为对角阵相似化简为对角阵Jacobi算法的基本思想算法的基本思想:第44页，共49页，编辑于2022年，星期六第45页，共49页，编辑于2022年，星期六(2)计算矩阵计算矩阵C第46页，共49页，编辑于2022年，星期六（3）计算矩阵）计算矩阵A的特征向量的特征向量第47页，共49页，编辑于2022年，星期六三、三、Jacobi法的改进法的改进（1）循环）循环Jacobi方法：方法：（2）Jacobi过关法：过关法：第48页，共49页，编辑于2022年，星期六习题四习题四 P158-4第49页，共49页，编辑于2022年，星期六