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1、 1.2 1.2 1.2 1.2 差商差分及牛顿插值多项式差商差分及牛顿插值多项式差商差分及牛顿插值多项式差商差分及牛顿插值多项式差分定义 1、概念：前差、后插、中差、算子 2、性质：(1)常数的有限差恒为0；(2)有限差算子为线性算子；(3)高阶有限差的函数值表示：(4)若f(x)是n次多项式，则：(5)函数值的有限差表示：(6)差商与差分之间的关系 3、差分表 类似于差商，在实际计算中通常采用差分表的形式进行计算，差分表的构造方法如下：xif(xi)1阶2阶n阶X0f(x0)X1f(x1)f(x0)X2f(x2)f(x1)2f(x0)Xnf(xn)f(xn-1)2f(xn-2)nf(x0)
2、4、算法 1、初始化 11 xn+1,fn+1n+1 2、循环求i=1n阶差分 循环求j=i-n个差分 fji=fji-1-fj-1i-1 3、输出f.4.4.2 Newton前插和后插公式 当n+1个插值点为等距节点时，在Newton插值公式的基础上，考虑前差及后差的情况：1）前差 此时，对任意的xi及x可以表示为：xi=x0+i*h x=x0+t*h (0=t=n)由Newton插值公式：同样可得Newton后插公式：4.4.3 Newton前插和后插公式的计算方法 对n+1个等距插值点x0,x1,xn及其函数值f(x0),f(x1),f(xn).构造如下的差分表：xif(xi)1阶差分2
3、阶差分n阶差分x0f(x0)f(x0)f(x1)f(x2)x1f(x1)2f(x0)2f(x1)x2f(x2)x3f(x3)nf(x0)Xn-1f(xn-1)f(xn-1)2f(x1)xnf(xn)例4.1如何判定下面函数值表来自一个次数不低于三的多项式？(P22)x-2-10123P(x)1411163-4例4.2 给定单调连续函数f(x)的函数值表如下：求方程f(x)=0根的尽可能好的近似值。x-2-1123P(x)-10-511118例4.3设Pn(x)是函数f(x)关于互异节点 的插值多项式.若f(x)在区间a,b上任意次可微，且存在常数M，使得 试证明插值多项式序列 在区间a,b上收敛于被插函数f(x).例4.4利用差分的性质证明插值型求导公式插值型求导公式设n(x)是f(x)的过点x0，x1，x2，xn a，b的 n 次插值多项式，由Laglange插值余项,有对任意给定的xa，b，总存在如下关系式:若取数值微分公式误差为:因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值常用的数值微分公式是n=1,2,3的插值型微分公式,如:当n=1时,有当n=2时,有