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1、第3节 差商及插值多项式第1页，本讲稿共20页一般地，称一般地，称一般地，称一般地，称k-k-1 1 阶差商的一阶差商阶差商的一阶差商阶差商的一阶差商阶差商的一阶差商为为为为f f(x x)关于点关于点 的的 k 阶差商阶差商。例如，已知例如，已知例如，已知例如，已知f f(x x)在在在在的函数值为：的函数值为：的函数值为：的函数值为：可以求得可以求得可以求得可以求得第2页，本讲稿共20页2.2.2.2.差商的性质差商的性质差商的性质差商的性质性质性质性质性质1 1 1 1：k k 阶差商阶差商阶差商阶差商是由函数值是由函数值是由函数值是由函数值的线性组合而成，即的线性组合而成，即的线性组合
2、而成，即的线性组合而成，即其中其中其中其中证明：以证明：以证明：以证明：以k=k=2 2进行证明。由进行证明。由进行证明。由进行证明。由得到得到得到得到第3页，本讲稿共20页由由由由得到得到得到得到从而从而从而从而第4页，本讲稿共20页证明：以证明：以证明：以证明：以k=k=1 1 为例为例为例为例 性质性质性质性质2:2:差商具有对称性差商具有对称性差商具有对称性差商具有对称性,即即即即k k阶差商阶差商阶差商阶差商 fx0,x1 ,xk-1,xk 中，中，中，中，任意调换任意调换任意调换任意调换 xi ,xj 的次序，其值不变。的次序，其值不变。的次序，其值不变。的次序，其值不变。以以以以
3、k=k=2 2为例为例为例为例所以所以所以所以第5页，本讲稿共20页 性质性质性质性质3 3 3 3：若：若：若：若f f(x x)为为为为n n 次多项式，则次多项式，则次多项式，则次多项式，则f f x,xx,x0 0 为关于为关于为关于为关于x x 的的的的n-n-1 1次多次多次多次多项式。项式。项式。项式。证明：已知证明：已知证明：已知证明：已知故故故故类似的可以得到：类似的可以得到：类似的可以得到：类似的可以得到：也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。也就是说，对多项式求一次差商，次数降低
4、一次。由于是的根，所以由于是的根，所以由于是的根，所以由于是的根，所以第6页，本讲稿共20页3.3.3.3.差商的计算差商的计算差商的计算差商的计算 为构造为构造为构造为构造 NewtonNewton 插值多项式方便起见，计算差商时，采插值多项式方便起见，计算差商时，采插值多项式方便起见，计算差商时，采插值多项式方便起见，计算差商时，采用列表的方式进行。用列表的方式进行。用列表的方式进行。用列表的方式进行。第7页，本讲稿共20页 例例例例 2.22.2 已知函数已知函数已知函数已知函数 y y=f f(x x)的如下离散数据的如下离散数据的如下离散数据的如下离散数据(1,0)(1,0)、(2,
5、2)(2,2)、(4,12)(4,12)、(5,20)(5,20)、(6,70)(6,70)，试求其各阶差商，试求其各阶差商，试求其各阶差商，试求其各阶差商.解：列差商表计算解：列差商表计算解：列差商表计算解：列差商表计算xy一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商 1022412520670 2 2 2 2 5 5 5 5 8 8 8 8 50505050 1 1 1 1 1 1 1 1 21212121 0 0 0 0 5 5 5 5 1 1 1 1第8页，本讲稿共20页二、二、二、二、NewtonNewton 插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式 对于区间对于
6、区间对于区间对于区间 a,ba,b 内的离散点内的离散点内的离散点内的离散点 及相应的及相应的及相应的及相应的函数值函数值函数值函数值 ，计算如下差商：，计算如下差商：，计算如下差商：，计算如下差商：可以求得：可以求得：可以求得：可以求得：第9页，本讲稿共20页第10页，本讲稿共20页依次类推得到：依次类推得到：依次类推得到：依次类推得到：令：令：令：令：第11页，本讲稿共20页则可以将函数则可以将函数则可以将函数则可以将函数 f f(x x)表示成：表示成：表示成：表示成：容易验证容易验证容易验证容易验证因此因此因此因此 N Nn n(x x)满足插值条件，是一个满足插值条件，是一个满足插值
7、条件，是一个满足插值条件，是一个 n n 次插值多项式。次插值多项式。次插值多项式。次插值多项式。并称并称并称并称为为为为n n次次次次NewtonNewton插值多项式。插值多项式。插值多项式。插值多项式。如果如果如果如果 f f(x x)N Nn n(x x),则误差为：则误差为：则误差为：则误差为：验证验证验证验证第12页，本讲稿共20页验证验证验证验证因因因因所以所以所以所以依此类推依此类推依此类推依此类推证毕证毕证毕证毕第13页，本讲稿共20页关于关于关于关于NewtonNewton插值多项式，有以下几个特点：插值多项式，有以下几个特点：插值多项式，有以下几个特点：插值多项式，有以下
8、几个特点：1 1 1 1NewtonNewton插值多项式与插值多项式与插值多项式与插值多项式与同次同次同次同次LagrangeLagrange插值多项式相同，因而误插值多项式相同，因而误插值多项式相同，因而误插值多项式相同，因而误差相同差相同差相同差相同因为因为因为因为NewtonNewton插值多项式与插值多项式与插值多项式与插值多项式与LagrangeLagrange插值多项式满足相同的插插值多项式满足相同的插插值多项式满足相同的插插值多项式满足相同的插值条件，由插值多项式的存在唯一性知值条件，由插值多项式的存在唯一性知值条件，由插值多项式的存在唯一性知值条件，由插值多项式的存在唯一性知
9、因此，因此，因此，因此，NewtonNewton插值多项式与插值多项式与插值多项式与插值多项式与LagrangeLagrange插值多项式的误差相同。这插值多项式的误差相同。这插值多项式的误差相同。这插值多项式的误差相同。这样，由样，由样，由样，由 N Nn n(x x)=)=L Ln n(x x)得到得到得到得到第14页，本讲稿共20页这个表达式给出了这个表达式给出了这个表达式给出了这个表达式给出了 n+n+1 1 阶差商与阶差商与阶差商与阶差商与 n+n+1 1 阶导数之间的关系式。阶导数之间的关系式。阶导数之间的关系式。阶导数之间的关系式。例例例例3 3 3 3 已知已知已知已知，试求其
10、如下差商，试求其如下差商，试求其如下差商，试求其如下差商解：由差商与导数的关系式解：由差商与导数的关系式解：由差商与导数的关系式解：由差商与导数的关系式得到得到得到得到2.2.NewtonNewton插值多项式具有递推式插值多项式具有递推式插值多项式具有递推式插值多项式具有递推式由由由由第15页，本讲稿共20页可知可知可知可知所以，具有递推公式：所以，具有递推公式：所以，具有递推公式：所以，具有递推公式：由此可知：当求出由此可知：当求出由此可知：当求出由此可知：当求出n n次插值多项式后，再增加一个节点时，只需次插值多项式后，再增加一个节点时，只需次插值多项式后，再增加一个节点时，只需次插值多
11、项式后，再增加一个节点时，只需要增加一项的计算即可。要增加一项的计算即可。要增加一项的计算即可。要增加一项的计算即可。由由由由NewtonNewton插值多项式的结构可以看出，在构造插值多项式的结构可以看出，在构造插值多项式的结构可以看出，在构造插值多项式的结构可以看出，在构造NewtonNewton插值多插值多插值多插值多项式时，必须首先计算各阶差商。项式时，必须首先计算各阶差商。项式时，必须首先计算各阶差商。项式时，必须首先计算各阶差商。3.3.NewtonNewton插值多项式的构造插值多项式的构造插值多项式的构造插值多项式的构造第16页，本讲稿共20页 例例例例4 4 4 4 已知已知
12、已知已知f f(x x)的五组数据的五组数据的五组数据的五组数据(1,0)1,0)、(2,2)(2,2)、(3,12)(3,12)、(4,42)(4,42)、(5,116)(5,116),求求求求 N N4 4(x x)。如果再增加一个节点。如果再增加一个节点。如果再增加一个节点。如果再增加一个节点(6,282),(6,282),求出求出求出求出N N5 5(x x)，并计算，并计算，并计算，并计算 N N4 4(1.5)(1.5)、N N5 5(1.5).(1.5).解：先由前五组数据列差商表解：先由前五组数据列差商表解：先由前五组数据列差商表解：先由前五组数据列差商表1 1 0 02 22
13、 23 123 124 424 425 1165 1162 21010303074744 4101022222 24 40.50.5得到：得到：得到：得到：如果，再增加一点如果，再增加一点如果，再增加一点如果，再增加一点(6,282),(6,282),就在上表中增加一行计算差商。就在上表中增加一行计算差商。就在上表中增加一行计算差商。就在上表中增加一行计算差商。6 2826 28216616646468 81 10.10.1第17页，本讲稿共20页由由由由NewtonNewton公式的递推式得到：公式的递推式得到：公式的递推式得到：公式的递推式得到：得到：得到：得到：得到：练习题：已知离散数据
14、练习题：已知离散数据练习题：已知离散数据练习题：已知离散数据(1,0)(1,0)、(2,2)(2,2)、(4(4，1212）、）、）、）、(5,20)(5,20)求三次求三次求三次求三次NewtonNewton插值多项式，增加一点插值多项式，增加一点插值多项式，增加一点插值多项式，增加一点(6,70)(6,70)(6,70)(6,70)后，后，后，后，再求出四次再求出四次再求出四次再求出四次NewtonNewton插值多项式。插值多项式。插值多项式。插值多项式。第18页，本讲稿共20页本节本节(3)要点要点1.1.掌握差商及其性质，导数与差商的关系掌握差商及其性质，导数与差商的关系2.2.掌握
15、掌握Newton 插值多项式的构造方法及具体结构插值多项式的构造方法及具体结构3.3.掌握掌握Newton插值多项式的误差结果插值多项式的误差结果4.4.编写编写Newton插值多项式计算程序进行实际计算插值多项式计算程序进行实际计算思考题：思考题：思考题：思考题：如何实现差商表和如何实现差商表和如何实现差商表和如何实现差商表和NewtonNewton插值多项式的程序设计插值多项式的程序设计插值多项式的程序设计插值多项式的程序设计。第19页，本讲稿共20页关于离散数据：关于离散数据：构造了构造了lagrange插值多项式：插值多项式：Newton插值多项式：插值多项式：根据问题需要，有时还需要构造分段插值多项式，下面加以介根据问题需要，有时还需要构造分段插值多项式，下面加以介绍绍第20页，本讲稿共20页