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1、第四章态和力学量的表象用本讲稿第一页，共九十六页引引 言言 按量子力学基本原理，体系的状态用波函数描述，力按量子力学基本原理，体系的状态用波函数描述，力学量用线性厄米算符表示。前面所使用的波函数及力学量学量用线性厄米算符表示。前面所使用的波函数及力学量算符是以坐标这个力学量算符的本征值为变量写出它们算符是以坐标这个力学量算符的本征值为变量写出它们的的具体形式的。那么，是否还可以选择其它力学量具体形式的。那么，是否还可以选择其它力学量算符的本算符的本征值作为变量而写出波函数及力学量算符的具体形式征值作为变量而写出波函数及力学量算符的具体形式呢？呢？回答是肯定的。这就是说回答是肯定的。这就是说量子
2、力学中波函数和力学量算量子力学中波函数和力学量算符的符的描述方式不是唯一的描述方式不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象本讲稿第二页，共九十六页动动量量表表象象能能量量表表象象角角动动量量表表象象常常用用的的表表象象坐坐标标表表象象本讲稿第三页，共九十六页n4.1 态的表象态的表象 The represen
3、tation of the state n4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示 Matrix representation of operatorsn4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示 Matrix representation of formula for quantum mechanismn4.4 幺正变换幺正变换 Unitary transformationn4.5 狄喇克符号狄喇克符号 Dirac symbolsn4.6 线形谐振子与占有数表象线形谐振子与占有数表象 Linear oscillator and occupation number representat
4、ion 研研究究内内容容本讲稿第四页，共九十六页重重点点掌掌握握的的内内容容 二个表示：二个表示：态在任意表象中的表示；态在任意表象中的表示；算符在任意表象中的表示。算符在任意表象中的表示。三个公式：三个公式：在任意表象中在任意表象中的表示的表示平均值公式平均值公式本征值方程本征值方程薛定谔方程薛定谔方程 狄喇克符号及应用狄喇克符号及应用 幺正变换的基本性质幺正变换的基本性质表象的定义表象的定义 一个定义：一个定义：产生算符、湮灭算符、粒子数算符及它产生算符、湮灭算符、粒子数算符及它 们的物理们的物理意义意义本讲稿第五页，共九十六页矩阵力学矩阵力学主要数学工具主要数学工具矩矩 阵阵本讲稿第六页
5、，共九十六页1 1态的动量表象态的动量表象4.1 态的表象态的表象动量算符本征函数：动量算符本征函数：组成组成完备系完备系展开系数展开系数构成付构成付里叶变里叶变换与逆换与逆变换变换 从数学上讲，知道其一从数学上讲，知道其一,必可唯一地求出另一。必可唯一地求出另一。从物理角度看，从物理角度看，描述粒子状态，那么描述粒子状态，那么 也可用于描述粒子同一状态。也可用于描述粒子同一状态。任一状态任一状态 可按其展开：可按其展开：本讲稿第七页，共九十六页 称为坐标表象中的称为坐标表象中的状态状态波函数，波函数，称称为为动量表象中的动量表象中的状态状态波函数。波函数。4.1 4.1 态的表象态的表象（续
6、）（续）物理意物理意义？是在是在 所描写的状态中，测量所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果粒子的位置所得结果为为 的几率。的几率。是在是在 所描写的状态中，测量粒所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果为子的动量所得结果为 的几率。的几率。两者从不同的侧面两者从不同的侧面描写粒子的状态描写粒子的状态,给出了粒子的给出了粒子的不同不同信息（力学量信息（力学量 和和 的信息）。的信息）。本讲稿第八页，共九十六页证（归一化条件）（归一化条件）命命题若若 是归一化波函数，则是归一化波函数，则 也归一。也归一。4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）本讲稿第九页，共九十六页2 2Q Q 表象表象力学
7、量算符力学量算符 的正交归一的本征函数的正交归一的本征函数完备完备系：系：任一状态任一状态 可按其展开：可按其展开：展开系数：展开系数：由由上上述述两两式式给给出出了了 与与 函函数数集集之之间间的相互变换关系，将的相互变换关系，将 写成矩阵写成矩阵本征方程：本征方程：4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）本讲稿第十页，共九十六页 给出在给出在 态中测量粒子的力学量态中测量粒子的力学量Q Q 取取值的几率值的几率 对对于于 与与 ，知知道道其其一一就就可可求求得得另另一一，因因而而 与与 描描述述粒粒子子同同一一状状态态。是是粒粒子状态波函数在子状态波函数在Q Q 表象中的表示，称为表象
8、中的表示，称为Q Q 表象波函数表象波函数4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）本讲稿第十一页，共九十六页归一化条件归一化条件（归一化条件的矩阵（归一化条件的矩阵 表述形式）表述形式）以以 上上 讨讨 论论 可可 推推 广广 到到 Q Q 有有 连连 续续 谱谱 的的 情情 况况。粒子处于一维无限深势阱的基态：粒子处于一维无限深势阱的基态：求该态在动量和能量表象中的表示形式求该态在动量和能量表象中的表示形式。Ex.1.4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）注注本讲稿第十二页，共九十六页动量本征函数动量本征函数Solve选择动量表象选择动量表象:展开系数展开系数：4.1 4.1 态的
9、表象态的表象（续）（续）本讲稿第十三页，共九十六页能量表象能量表象：本征函数本征函数可见能量算符的本征函数在能量自身表象中取可见能量算符的本征函数在能量自身表象中取符符号形式。号形式。4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）本讲稿第十四页，共九十六页基态的表示基态的表示 一般结论一般结论:力学量算符属于分立本征值的本征函数在力学量算符属于分立本征值的本征函数在该力学量自身表象中为一该力学量自身表象中为一符号符号,其矩阵为单位元矩阵。其矩阵为单位元矩阵。能级态的表示能级态的表示第第n n行行4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）本讲稿第十五页，共九十六页Ex.2:Solve：自由粒子自
10、由粒子动动量量算符的算符的本本征函数征函数 求自由粒子动量算符求自由粒子动量算符 具有确定本征值具有确定本征值 的本征函数在动量自身表象中的形式的本征函数在动量自身表象中的形式Ch.4 The representation for the states and dynamical variable 动量算符动量算符 具有确定本征值具有确定本征值 的本征函数的本征函数:可见，动量算符具有确定本征动量值可见，动量算符具有确定本征动量值 的本征函数在的本征函数在动量自身表象中是以动量动量自身表象中是以动量 为变量的为变量的函数。函数。4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）本讲稿第十六页，共九十
11、六页动量算符的本征方程动量算符的本征方程一般结论一般结论:力学量算符属于连续本征值的本征函数在该力力学量算符属于连续本征值的本征函数在该力学量自身表象中为一学量自身表象中为一函数函数。Ch.4 The representation for the states and dynamical variable在坐标表象中，坐标算符在坐标表象中，坐标算符 的本征函数的本征函数同样同样4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）本征值方程本征值方程:本讲稿第十七页，共九十六页以以上上讨讨论论与与三三维维矢矢量量空空间间矢量的表示很类似矢量的表示很类似。H Hi il lb be er rt t空空间间
12、与与态态矢矢量量在在三三维维矢矢量量空空间间选选一一组组正正交交归一完备基归一完备基正交归一条件正交归一条件4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）本讲稿第十八页，共九十六页HilbertHilbert空间：空间：满足态迭加原理的状态全体构成的复满足态迭加原理的状态全体构成的复 线性空间线性空间 态矢量：态矢量：HilbertHilbert空间中的矢量，即体系的状态波空间中的矢量，即体系的状态波 函数视为一个矢量称为函数视为一个矢量称为态矢量态矢量（简称（简称态矢态矢）力学量算符力学量算符 的正交归一完备函数系的正交归一完备函数系 构成构成HilbertHilbert空间中的一组正交归一完
13、备基底。空间中的一组正交归一完备基底。任一态矢任一态矢4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）注意：注意：由于波函数必须归一化，因而态矢的大小一定，由于波函数必须归一化，因而态矢的大小一定，不同的态矢只是方向不同。不同的态矢只是方向不同。本讲稿第十九页，共九十六页表象与几何空间坐标系的比较表象与几何空间坐标系的比较4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）本讲稿第二十页，共九十六页量子力学表象量子力学表象几何空间坐标系几何空间坐标系某一表象本征态矢量某一表象本征态矢量某一坐标系的一组基矢 正交正交归一归一正交正交归一归一量子态矢量：量子态矢量：矢量矢量:4.1 4.1 态的表象态的表象（
14、续）（续）本讲稿第二十一页，共九十六页选定一个特定选定一个特定 表象，就相当于在表象，就相当于在HilbertHilbert空间空间中选定一个特定的坐标系中选定一个特定的坐标系,力学量算符力学量算符 的正交归一的正交归一完备函数系完备函数系 构成构成HilbertHilbert空间中的一组正交归空间中的一组正交归一完备基底。一完备基底。.任意态矢量任意态矢量 在在 表象中的表示表象中的表示是是一一列矩阵，列矩阵，矩阵元矩阵元 是态矢量是态矢量 在在 算符的本征矢算符的本征矢 上的投影。上的投影。3 3选取不同力学量表象，就是选取不同完备正交基底，选取不同力学量表象，就是选取不同完备正交基底，态
15、矢的表述具有不同矩阵形式，这就是态的不同表象波态矢的表述具有不同矩阵形式，这就是态的不同表象波函数。函数。结结论论4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）本讲稿第二十二页，共九十六页作业4.1 4.1 态的表象态的表象（续（续5）本讲稿第二十三页，共九十六页4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示力学量算符在坐标表象与动力学量算符在坐标表象与动 量表象中的表示量表象中的表示坐坐 标标 表表 象象动动 量量 表表 象象问问 题题力学量算符力学量算符在在 表象中如表象中如何表示？何表示？在在坐坐标标表表象象中中，力力学学量量 F F 用用算算符符 表表示，设示，设 作用于作用于 得到得到
16、。本讲稿第二十四页，共九十六页（1）即即 选定力学量选定力学量 表象，表象，算符的正交归一的本征函算符的正交归一的本征函数数完备完备系记为系记为将将 和和 分别按函数系分别按函数系 展开展开代入坐标表象表达式（代入坐标表象表达式（1 1）以以 乘该式，对乘该式，对 全部范围积分全部范围积分4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示（续）（续）本讲稿第二十五页，共九十六页记为记为记为记为矩阵矩阵 和和 分别是分别是波函数波函数 和和 在在Q Q 表象中表象中的形式。的形式。Q Q表象的表表象的表达方式达方式4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示（续（续2）本讲稿第二十六页，共九十六页讨讨
17、论论1 1 是厄米矩阵是厄米矩阵Prove：显而易见，对角矩阵元为实数显而易见，对角矩阵元为实数可可见见，算算符符 在在Q Q表表象象中中是是一一个个矩矩阵阵 ，其其矩矩阵元为阵元为即即 是厄米矩阵。是厄米矩阵。4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示（续（续3）本讲稿第二十七页，共九十六页2 2力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。3 3当当 具具有有连连续续本本征征值值谱谱 时时，力力学学量量算算符符的的表表示示矩阵元矩阵元4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示（续（续4）本讲稿第二十八页，共九十六页 在在Q Q 表象中乃是一个矩
18、阵，不过其行列不再表象中乃是一个矩阵，不过其行列不再是可数的，故用连续变化的下脚标表示。是可数的，故用连续变化的下脚标表示。求求 力力 学学 量量 算算 符符 矩矩 阵阵 的的 关关 键键 是是 求求其其矩矩 阵阵 元元Ex：设一维粒子设一维粒子Hamilton量量 1、求、求x表象中表象中x,p和和H的的“矩阵元矩阵元”，2、求、求p表象中表象中x,p和和H的的“矩阵元矩阵元”。Solve：1、在在 表象表象中中，的本征函数的本征函数4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示（续（续5）本讲稿第二十九页，共九十六页2、在在 象中，象中，算符的本征函数算符的本征函数4.2 4.2 算符的矩阵
19、表示算符的矩阵表示（续（续6）本讲稿第三十页，共九十六页4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示（续（续7）本讲稿第三十一页，共九十六页1 1归一化条件归一化条件4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示本讲稿第三十二页，共九十六页2 2、平平均均值值公公式式4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续1）本讲稿第三十三页，共九十六页其中其中为算符为算符 的矩阵元的矩阵元在在 表象中：表象中：（续（续7）4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续本讲稿第三十四页，共九十六页4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表
20、示（续（续3）本讲稿第三十五页，共九十六页3 3、本征值方程、本征值方程在在Q Q表象中，其矩阵形式为表象中，其矩阵形式为：（1 1）移项得移项得：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续4）本讲稿第三十六页，共九十六页（m=1m=1，2 2，3 3）（2 2）此式即为线性齐次方程组：此式即为线性齐次方程组：非零解的条件是系数行列式等于非零解的条件是系数行列式等于0 0，即久期方程：，即久期方程：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续5）本讲稿第三十七页，共九十六页求出本征值求出本征值将每个将每个 值分别代入矩阵方程（值分别代入矩阵方程
21、（1 1）或（）或（2 2），求出），求出,即得本征函数即得本征函数 这样变解微分方程为这样变解微分方程为解代数方程。解代数方程。4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续6）本讲稿第三十八页，共九十六页 Ex.已知在已知在 和和 的共同表象中，算符的共同表象中，算符 和和 的矩阵分别为的矩阵分别为求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵 和和 对角化。对角化。本征方程为本征方程为Solve:设设 的本征值为的本征值为 ,本征波函数为本征波函数为4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续7）本讲
22、稿第三十九页，共九十六页 要使本征波函数不为零，亦即要求要使本征波函数不为零，亦即要求a,b,ca,b,c不全为零，其条不全为零，其条件是（件是（1 1）中的系数矩阵的行列式为零。）中的系数矩阵的行列式为零。（1 1）久期方程久期方程本征值本征值 4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续8）本讲稿第四十页，共九十六页当当 时，时，由（由（2 2）有）有4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续9）本讲稿第四十一页，共九十六页由归一化条件由归一化条件:4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续10）归一化常数归一化常
23、数归一化的波函数归一化的波函数本讲稿第四十二页，共九十六页当当 时时,由（由（2 2）有）有4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续11）归一化条件归一化条件归一化的归一化的波函数：波函数：本讲稿第四十三页，共九十六页当当 ,由（由（2 2）有：）有：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续12）归一化条件归一化条件归一化的归一化的波函数：波函数：本讲稿第四十四页，共九十六页构成一个构成一个正交归一正交归一本征函数本征函数完备系完备系的对角矩阵的对角矩阵正交归一化条件：正交归一化条件：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩
24、阵表示（续（续13）本讲稿第四十五页，共九十六页 类似地类似地,可求出可求出 的本征值、归一化的本征函数的本征值、归一化的本征函数系和对角阵。系和对角阵。本征值本征值 4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（14）本征波函数：本征波函数：正交归一化条件：正交归一化条件：本讲稿第四十六页，共九十六页的对角矩阵的对角矩阵：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续15）本讲稿第四十七页，共九十六页薛定谔方程以 左乘等式两边,再对 变化的整个空间积分,得n式中n是哈米顿算符 在 表象中的矩阵元,其矩阵形式为48本讲稿第四十八页，共九十六页简写为：简写为
25、：其中其中4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续17）本讲稿第四十九页，共九十六页4.4 4.4 幺正变换幺正变换为了找到为了找到 和和 的联系，将的联系，将 按按 展开：展开：1 1、幺正变换、幺正变换设算符设算符 的正交归一的正交归一本征函数系为本征函数系为 算符算符 的正交归一本的正交归一本征函数系为征函数系为（1 1）（2 2）讨论波函数和力学量从一个表象变换到另一个表象讨论波函数和力学量从一个表象变换到另一个表象的一般情况的一般情况本讲稿第五十页，共九十六页其展开系数为：其展开系数为：（3 3）（4 4）由由 为为矩矩阵阵元元所所构构成成的的矩矩阵阵称称
26、为为变变换换矩矩阵阵。通通过过（1 1）和（）和（2 2）就把）就把 表象的基矢表象的基矢 变换为变换为 表象的基矢表象的基矢 。由由 和和 的正交归一性有：的正交归一性有：4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续1）本讲稿第五十一页，共九十六页同理同理 4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 2）本讲稿第五十二页，共九十六页将按展开将按展开:4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 3）本讲稿第五十三页，共九十六页即即 是幺正矩阵，由幺正矩阵表示的变换称为幺正是幺正矩阵，由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换变换结论结论:一个表象到另一个表象的变换是幺正变换。一个表象到另一个表象的变换是幺正变换
27、。2 2 力学量的表象变换力学量的表象变换力学量力学量 在表象在表象A A中的表示矩阵：中的表示矩阵：在表象在表象B B中的表示矩阵中的表示矩阵：4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 4）本讲稿第五十四页，共九十六页此为力学量此为力学量 从表象从表象A A变换到表象变换到表象B B的变换公式的变换公式4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 5）本讲稿第五十五页，共九十六页3.3.态的表象变换态的表象变换 任意态矢量任意态矢量4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 6）在在A A表象中：表象中：在在B B表象中：表象中：?如何变换如何变换本讲稿第五十六页，共九十六页4.4 4.4 幺正变
28、换幺正变换（续（续 8）两边左乘两边左乘 ,并对并对 积分积分 写成写成矩阵形式矩阵形式:本讲稿第五十七页，共九十六页简写为简写为从从B B表象变换到表象变换到A A表象表象 从从A A表象变换到表象变换到B B表象表象 反之，反之，4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 9）4 4.幺幺 正正 变变 换换 的的 两两 个个 重重 要要 性性 质质（1 1）幺正变换不改变算符的本征值）幺正变换不改变算符的本征值本讲稿第五十八页，共九十六页 在在 表象中的矩阵为表象中的矩阵为 ,本征矢为本征矢为算符算符 在在 表象中的矩阵为表象中的矩阵为 ,本征矢为本征矢为4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续
29、（续 10）本征方程本征方程本征方程本征方程（1）（2）本征值不变本征值不变比较比较(1)(1)、(2)(2)式式,可知可知本讲稿第五十九页，共九十六页由此定义有由此定义有:故故 迹迹 不不 变变，的的 迹迹 等等 于于 的的 迹迹 4.4 4.4 幺正变换幺正变换（续（续 12）（2 2）幺正变换不改变矩阵的迹）幺正变换不改变矩阵的迹 矩阵矩阵A A的对角元素之和称为矩阵的对角元素之和称为矩阵A A的迹，以的迹，以 表表示，则示，则 本讲稿第六十页，共九十六页态矢量态矢量 微观体系的状态用一种矢量来表示，这种矢量微观体系的状态用一种矢量来表示，这种矢量称为态矢量称为态矢量 （一般是复矢量）（
30、一般是复矢量）态态矢矢量量空空间间 由由一一切切可可能能的的态态矢矢量量所所构构成成的的一一种种抽抽象象的的线性空间，称为态矢量空间线性空间，称为态矢量空间 (希尔伯特空间希尔伯特空间)。对偶态矢量空间对偶态矢量空间 由共轭态矢量所构成的线性空间称为由共轭态矢量所构成的线性空间称为对偶态矢量空间。对偶态矢量空间。一一、狄狄喇喇克克符符号号的的引引入入4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号刃矢刃矢 表示态矢量空间中一个态矢量表示态矢量空间中一个态矢量,又称为又称为 右矢右矢(ketket)刁矢刁矢 表示对偶态矢量空间中一个态矢量表示对偶态矢量空间中一个态矢量,又又 称为称为左矢左矢（brabra）
31、在在 ket ket、brabra中加入符号，可用于表示某具体的态中加入符号，可用于表示某具体的态本讲稿第六十一页，共九十六页在在Q Q表象中的表示表象中的表示在在Q Q表象中的表示表象中的表示 表示波函数表示波函数 所描述的共轭状态所描述的共轭状态即即 表示波函数表示波函数 所描述的状态所描述的状态力学量的本征态，常用本征值或相应的量子数来表示：力学量的本征态，常用本征值或相应的量子数来表示：坐标算符的本征态坐标算符的本征态 （为为 的本征值）的本征值）动量算符的本征态动量算符的本征态 （为为 的本征值）的本征值）能量算符的本征态能量算符的本征态 或或 （为为 本征值）本征值）4.5 4.5
32、 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）本讲稿第六十二页，共九十六页本讲稿第六十三页，共九十六页 坐标算符的本征函数正交归一化条件坐标算符的本征函数正交归一化条件：动量算符的本征函数正交归一化条件：动量算符的本征函数正交归一化条件：则其正交归一化条件为则其正交归一化条件为 对连续值谱，对连续值谱，正交归一化条件为：正交归一化条件为：Ex:若力学量算符若力学量算符 的本征矢记为的本征矢记为 ，本征值为，本征值为 和和 的共同本征函数正交归一化条件：的共同本征函数正交归一化条件：4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）本讲稿第六十四页，共九十六页三三、态态 矢矢 量量 在在 具具 体体 表表 象
33、象 中中 的的 表表 示示分立谱情况：分立谱情况：考虑考虑 表象，表象，的正交归一本征矢为的正交归一本征矢为 任意态矢任意态矢 按按 展开展开 是是 在基矢在基矢 上的分量上的分量 由由构成构成 在在Q Q表象中的表示。表象中的表示。4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）本讲稿第六十五页，共九十六页 基矢的封闭性关系基矢的封闭性关系 由于态矢由于态矢 是任意的，由上式给出。是任意的，由上式给出。连续连续谱谱情况：情况：基矢用基矢用 表示表示利用利用 可得可得(1)(1)封闭性关系：封闭性关系：4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）本讲稿第六十六页，共九十六页有分立谱又有连续
34、谱的情况，封闭性关系：有分立谱又有连续谱的情况，封闭性关系：Ex.坐标本征函数坐标本征函数 的封闭性的封闭性Ex.动量本征函数动量本征函数 的封闭性的封闭性标标 积积 关关 系系分立谱情况：分立谱情况：4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）本讲稿第六十七页，共九十六页例如坐标表象例如坐标表象连续谱情况连续谱情况令令 4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）本讲稿第六十八页，共九十六页四四、公公 式式 的的 表表 示示1 1平均值平均值 (F F 为本征值为本征值 )在在Q Q 表象中，用表象中，用 的本征刁矢的本征刁矢 左乘左乘2 2本征值方程：本征值方程：利用基矢利用基矢
35、的封闭性：的封闭性：4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）本讲稿第六十九页，共九十六页上式可写成上式可写成 3 3薛定格方程薛定格方程在在表象中，以表象中，以 左乘左乘 4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续）（续）本讲稿第七十页，共九十六页利用封闭性利用封闭性 可得可得4.5 4.5 狄喇克符号狄喇克符号（续（续1）本讲稿第七十一页，共九十六页哈密顿算符：哈密顿算符：（1 1）1 1 算算 符符 、的的 引引 入入 令令 （3 3）本征能量：本征能量：（2）4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象本讲稿第七十二页，共九十六页则则 或或 令令 （4）（注意）（注意）不是
36、厄米算符不是厄米算符记记 4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续1）本讲稿第七十三页，共九十六页2 2 、的的对对易易关关系系Prove:4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续2）本讲稿第七十四页，共九十六页3 3 、的的 物物 理理 意意 义义在坐标表象中，线性谐振子哈密顿算符在坐标表象中，线性谐振子哈密顿算符 的本征函数的本征函数或或4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续3）本讲稿第七十五页，共九十六页利用利用4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续4）本讲稿第七十六页，共
37、九十六页因因 如果不用具体表象，用如果不用具体表象，用DiracDirac符号表示态矢，以上两结果可写为符号表示态矢，以上两结果可写为故故（6 6）（8 8）（7）4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续5）本讲稿第七十七页，共九十六页 、和和 都是谐振子哈密顿算符都是谐振子哈密顿算符 的本的本征矢、分别对应于本征值征矢、分别对应于本征值 由由 可知可知,等于等于 的的 倍加零点能倍加零点能 。谐振子的。谐振子的能量只能以能量只能以 为单位改变。为单位改变。这个能量单位可视为一个粒子。这个能量单位可视为一个粒子。是是 个能量为个能量为 的粒的粒子的总能量加上零点能。
38、子的总能量加上零点能。由由可可知知能能量量等等于于的的倍倍加加零零点点能能。谐谐振振子子的的能能量量只只能能以以为为单单位位改改变变。本征态本征态 表示体系在这个态中有表示体系在这个态中有n n个粒子。（个粒子。（7 7）式说明经）式说明经算符算符 作用后，体系由状态作用后，体系由状态 变到状态变到状态 ，即粒子数减，即粒子数减少一个，所以称少一个，所以称 为粒子的湮灭符。同理，称为粒子的湮灭符。同理，称 为粒子的产为粒子的产生算符。生算符。4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续 6）本讲稿第七十八页，共九十六页由由 4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振
39、子与占有数表象（续（续 7）本讲稿第七十九页，共九十六页4 4 粒粒 子子 数数 算算 符符利用利用 能量算符能量算符 而而 引入引入算符算符则则能量算符能量算符 可可见见，的的本本征征值值为为粒粒子子数数，因因而而，称称为为粒粒子子数数算算符符。4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续 8）本讲稿第八十页，共九十六页5 5 占占 有有 数数 表表 象象 和和 算算 符符 矩矩 阵阵 的矩阵元的矩阵元以粒子数算符以粒子数算符 的本征态矢的本征态矢 为基矢构成的表象为基矢构成的表象称为占有数表象。称为占有数表象。4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数
40、表象（续（续 9）本讲稿第八十一页，共九十六页 的矩阵元的矩阵元 的矩阵元的矩阵元 4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续 10）本讲稿第八十二页，共九十六页的矩阵元的矩阵元4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续 11）本讲稿第八十三页，共九十六页一维谐振子处于基态，求它的一维谐振子处于基态，求它的 及及 ，并验证测不准关系。，并验证测不准关系。Solve：方法一方法一 谐振子的波函数谐振子的波函数：由厄米多项式的递推公式由厄米多项式的递推公式推得谐振子波函数的递推公式推得谐振子波函数的递推公式Ex1.4.6 4.6 线性谐振子与占有
41、数表象线性谐振子与占有数表象（续（续 12）本讲稿第八十四页，共九十六页由此得：由此得：4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续 13）本讲稿第八十五页，共九十六页推得：推得：又由又由由此得：由此得：，4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续 14）本讲稿第八十六页，共九十六页测测 不不 准准 关关 系系4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续 15）本讲稿第八十七页，共九十六页 方法二方法二 4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续 16）本讲稿第八十八页，共九十六页测测 不不 准
42、准 关关 系系4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续 17）本讲稿第八十九页，共九十六页Ex2折合质量为折合质量为，力学量常数为，力学量常数为K K的谐振子受到微扰的谐振子受到微扰试推导此谐振子第试推导此谐振子第n n个本征态的一级修正能量个本征态的一级修正能量。Solve：零级波函数零级波函数 方法一方法一 谐振子在物理中是一个重要的物理模型，本题处理谐振子在物理中是一个重要的物理模型，本题处理非简谐振子问题，由于能量是非简并的，故可用非简并微扰理论讨非简谐振子问题，由于能量是非简并的，故可用非简并微扰理论讨论。论。4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振
43、子与占有数表象（续（续 18）本讲稿第九十页，共九十六页一级能量修正：一级能量修正：由厄米多项式的递推公式：由厄米多项式的递推公式：可得到可得到4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续 19）本讲稿第九十一页，共九十六页4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续 20）本讲稿第九十二页，共九十六页 方法二方法二 算得：算得：利用利用4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续 21）本讲稿第九十三页，共九十六页4.6 4.6 线性谐振子与占有数表象线性谐振子与占有数表象（续（续 22）本讲稿第九十四页，共九十六页作业作业 周世勋周世勋量子力学教程量子力学教程4.14.1，4.2,4.3,4.5,4.2,4.3,4.5,本讲稿第九十五页，共九十六页 本讲稿第九十六页，共九十六页