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1、第四章态和力学量的表象第一页，本课件共有39页一、坐标表象的波函数一、坐标表象的波函数 4.1 态的表象 是位置几率是位置几率第二页，本课件共有39页二、动量表象的波函数二、动量表象的波函数 和和 可以互求，它们包含同样多的信息。我们可以互求，它们包含同样多的信息。我们称这样做是变换到了称这样做是变换到了动量表象动量表象,可以称为动量表象中的可以称为动量表象中的“波波函数函数”第三页，本课件共有39页基谐振子基点基谐振子基点：第四页，本课件共有39页三、三、表象的波函数（表象的波函数（为任意力学量）为任意力学量）第五页，本课件共有39页 4.2 算符的矩阵表示在坐标表象中：在坐标表象中：在在
2、表象中：表象中：于是有：于是有：可见可见 必是一矩阵。必是一矩阵。第六页，本课件共有39页一、算符的矩阵表示一、算符的矩阵表示以以 um*乘以上式并积分，得乘以上式并积分，得第七页，本课件共有39页写成矩阵形式如下写成矩阵形式如下第八页，本课件共有39页1.以二阶矩阵为例：以二阶矩阵为例：2.厄密共轭矩阵和厄密矩阵厄密共轭矩阵和厄密矩阵厄密共轭矩阵是厄密共轭算符的对应物。对任意算符厄密共轭矩阵是厄密共轭算符的对应物。对任意算符A得到下述矩得到下述矩阵元之间的关系阵元之间的关系二、厄密算符的矩阵二、厄密算符的矩阵第九页，本课件共有39页 于是我们知道，一个矩阵取其厄密共轭，相当于矩阵转置于是我们
3、知道，一个矩阵取其厄密共轭，相当于矩阵转置后再取复共轭。即后再取复共轭。即当一个矩阵等于它的厄密共轭矩阵，即满足条件当一个矩阵等于它的厄密共轭矩阵，即满足条件时，称厄密自共轭矩阵，简称厄密矩阵。由时，称厄密自共轭矩阵，简称厄密矩阵。由(4.2-6)式和式和(4.2-8)式可式可知，厄密矩阵的矩阵元满足下述关系知，厄密矩阵的矩阵元满足下述关系这一式子意味着，厄密矩阵的对角元（这一式子意味着，厄密矩阵的对角元（）为实数；而其余的）为实数；而其余的各个非对角元素，对于主对角线是复数共厄反射对称的。量子各个非对角元素，对于主对角线是复数共厄反射对称的。量子力学中要用厄密算符来描写力学量，所以同它们对应
4、的矩阵必力学中要用厄密算符来描写力学量，所以同它们对应的矩阵必是厄密矩阵。由于厄密矩阵的对角元是实数，由此也可得到厄是厄密矩阵。由于厄密矩阵的对角元是实数，由此也可得到厄密算符的本征值必定是实数的结论。密算符的本征值必定是实数的结论。第十页，本课件共有39页厄密算符的矩阵是厄密矩阵厄密算符的矩阵是厄密矩阵：三、算符在自身表象中为对角阵三、算符在自身表象中为对角阵在其自身表象中的矩阵元在其自身表象中的矩阵元因此我们常说因此我们常说 表象为以表象为以 为对角线的表象。在为对角线的表象。在 ，为对角的表为对角的表象即以象即以 ，的共同本征函数为基矢的表象。的共同本征函数为基矢的表象。第十一页，本课件
5、共有39页四、连续谱四、连续谱第十二页，本课件共有39页在连续谱情况下，所有矩阵都是象征性的。在连续谱情况下，所有矩阵都是象征性的。第十三页，本课件共有39页4.3 量子力学公式的矩阵表示一、平均值公式（一、平均值公式（不显含不显含t）第十四页，本课件共有39页二、薛定谔方程二、薛定谔方程左边乘以左边乘以 并积分并积分：第十五页，本课件共有39页三、本征方程三、本征方程1.本征方程本征方程2.求解本征值和本征矢求解本征值和本征矢 将将(4.3-9)式中等号右边部分移至左边，得：式中等号右边部分移至左边，得：第十六页，本课件共有39页方程（方程（4.3-10）是一个线形齐次代数方程组：）是一个线
6、形齐次代数方程组：这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即：这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即：方程（方程（4.3-11）称为）称为久期方程久期方程。求解久期方程。求解久期方程 可得到一组可得到一组 值值 它们就是它们就是F的本征值。把求得的的本征值。把求得的i 分别代入分别代入（4.3-10）式中就可以求得与这）式中就可以求得与这i 对应的本征矢对应的本征矢 其中其中i=1,2,n,。第十七页，本课件共有39页四、例题设已知在设已知在 和和 的共同表象中，算符的共同表象中，算符 和和 的矩阵分别为的矩阵分别为求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将求它们的本征值和归一化的本
7、征函数，最后将 和和 对角化。对角化。解：解：（1）求 的本征值和本征函数。设在 和 的共同表象中，的本征函数为 ，为所对应的本征值。本征方程为即第十八页，本课件共有39页齐次方程有非零解的条件是系数行列式等于零，即齐次方程有非零解的条件是系数行列式等于零，即第十九页，本课件共有39页展开后整理得即即 的本征值为利用归一化条件，确定常数a1.因此，对应于m=0 的本征函数是第二十页，本课件共有39页利用归一化条件求a3.即因此，对应于m=0 的本征函数为第二十一页，本课件共有39页利用归一化条件求利用归一化条件求a2,即即因此对应于因此对应于m=-1的本征函数为的本征函数为第二十二页，本课件共
8、有39页（2）求）求 的本征值和本征函数的本征值和本征函数设设 的本征函数为的本征函数为 ，对应于，对应于 。即。即令令 ，并将，并将 的矩阵形式代入本征方程，即有的矩阵形式代入本征方程，即有第二十三页，本课件共有39页b1,b2,b3有非零解的条件是有非零解的条件是由此得由此得m=0,1.对应于对应于第二十四页，本课件共有39页所以所以同样步骤得同样步骤得第二十五页，本课件共有39页(3)将将 、对角化对角化所谓对角化，即将所谓对角化，即将 、变换到自身的表象中去，变换到自身的表象中去，这里这里s为为幺正变换矩阵幺正变换矩阵 ,即将即将 在在 和和 的共同表象中的共同表象中的本征函数按列排成
9、矩阵而得：的本征函数按列排成矩阵而得：于是于是第二十六页，本课件共有39页变换矩阵R具有如下性质：是转置矩阵，I是单位矩阵)因为 R*=R（实数），所以：（R+是共轭矩阵）满足上式的矩阵是幺正矩阵幺正矩阵第二十七页，本课件共有39页第二十八页，本课件共有39页对于对于 ，幺正变换为，幺正变换为于是于是第二十九页，本课件共有39页第三十页，本课件共有39页4.4 狄喇克(Dirac)符号 在几何或经典力学中，常用矢量形式讨论问题而不指明坐标在几何或经典力学中，常用矢量形式讨论问题而不指明坐标系。同样，量子力学中描写态和力学量，也可以不用具体表象。这系。同样，量子力学中描写态和力学量，也可以不用具
10、体表象。这种描写的方式是狄喇克最先引用的，这样的一套符号就称为种描写的方式是狄喇克最先引用的，这样的一套符号就称为狄拉狄拉克符号克符号。微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是 ，称为，称为刃矢（右矢）刃矢（右矢），简称为，简称为刃刃，表示某一确定的刃，表示某一确定的刃矢矢A，可以用符号可以用符号 。微观体系的状态也可以用另一种。微观体系的状态也可以用另一种矢量来表示，这种矢量符号是矢量来表示，这种矢量符号是 ，称为，称为刁矢（左矢）刁矢（左矢），简称为简称为刁刁。表示某一确定的刁矢。表示某一确定的刁矢B可以用符号可以用符号 。刃和。刃和刁是
11、两种性质不同的矢量，两者不能相加，它们在同一种刁是两种性质不同的矢量，两者不能相加，它们在同一种表象中的相应分量互为共厄复数。表象中的相应分量互为共厄复数。第三十一页，本课件共有39页刃和刁二者的关系是：刃和刁二者的关系是：对于两个态对于两个态 和和 ，定义，定义 代表一个复数，称为二者代表一个复数，称为二者的的内积内积，并且，并且 又，假定又，假定 态的归一是态的归一是 两态正交是两态正交是 Hermitian算符满足条件算符满足条件 所以所以 是实数。本征方程是是实数。本征方程是第三十二页，本课件共有39页平均值公式是平均值公式是:基矢量集基矢量集 的正交归一性可表为的正交归一性可表为 态
12、矢量在表象态矢量在表象 中的分解是中的分解是 算符算符F在表象在表象 中的矩阵元是中的矩阵元是 S-方程方程 第三十三页，本课件共有39页现将一些公式的通常写法与用狄拉克符号的写法对照如下：现将一些公式的通常写法与用狄拉克符号的写法对照如下：第三十四页，本课件共有39页 典型例题用坐标轮换的方法，写出用坐标轮换的方法，写出 时，时，的全部本征的全部本征函数，用球函数函数，用球函数 表达。表达。例例1、解：我们知道解：我们知道 的全部本征函数为：的全部本征函数为：第三十五页，本课件共有39页上面是上面是 的一组本征函数。根据问题的对称性，的一组本征函数。根据问题的对称性，当当 的取值同样有的取值
13、同样有 ，而，而 的本征函数，由上式将的本征函数，由上式将z 换为换为x,x换为换为y,y 换为换为z 得到，用得到，用 表示：表示：第三十六页，本课件共有39页同样的想法，通过同样的方法，可找到对于同样的想法，通过同样的方法，可找到对于 的的 的全的全部本征函数，即满足部本征函数，即满足对于所得对于所得 （）的全部本征函数的正确性，我们）的全部本征函数的正确性，我们可以验证。例如对于可以验证。例如对于 第三十七页，本课件共有39页即即 的确是的确是 的本征函数，本征值是的本征函数，本征值是 。第三十八页，本课件共有39页 选用不同的表象来描写态函数和经典力学中选用不同的坐标选用不同的表象来描写态函数和经典力学中选用不同的坐标来表示一矢量是完全类同的：选定力学量来表示一矢量是完全类同的：选定力学量 （表象）相当于选定某（表象）相当于选定某种坐标，种坐标，的本征函数的本征函数 相当于坐标的基矢，而相当于坐标的基矢，而 相当于相当于矢量在基矢上的投影（分量）矢量在基矢上的投影（分量）事实上，我们把以力学量本征函数为基矢构成的空间称为事实上，我们把以力学量本征函数为基矢构成的空间称为Hilbert空间，而把量子态称为态矢量。并表示为：空间，而把量子态称为态矢量。并表示为：四四、Hilbert（希耳伯特）空间及波函数（希耳伯特）空间及波函数第三十九页，本课件共有39页