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1、2 投影的基本原理投影的基本原理目录目录投影的基本知识投影的基本知识1三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律2点的投影点的投影3 3直线的投影直线的投影4平面的投影平面的投影3 5Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.1 投影的基本知识投影的基本知识投影分投影分中心投影中心投影和和平行投影平行投影两类。平行投影又分为两类。平行投影又分为正正投影和斜投影投影和斜投影，工程图样应用最广泛的是正投影。，工程图样应用最广泛的是正投影。如图如图2.1所示所示，在光源，在光源S照射下，照射下，ABC在平面在平面P上得到上得到影子影子abc，点，点S称为称为投射中心投射中心，光线，光线SA、
2、SB、SC称为称为投投射线射线，平面，平面P称为称为投影面投影面，abc称为称为ABC在平面在平面P上的上的投影，也可称为投影，也可称为投影图投影图。图图2.1中所有的投射线都汇交于投射中心中所有的投射线都汇交于投射中心S，所以将这，所以将这种投影法称为种投影法称为中心投影法中心投影法，得到的投影称为，得到的投影称为中心投影中心投影。2.1.1 投影及其分类投影及其分类2 投影的基本原理投影的基本原理如图如图2.2（a）和（）和（b）所示）所示，当光源（投射中心），当光源（投射中心）S在在无穷远时，投射线（光线）互相平行，仍可得到无穷远时，投射线（光线）互相平行，仍可得到ABC在在投影面投影面
3、P上的投影上的投影abc，这种投射线互相平行的投影法称，这种投射线互相平行的投影法称为为平行投影法平行投影法，得到的投影称为平行投影。在平行投影法，得到的投影称为平行投影。在平行投影法中，中，如图如图2.2（a），），当投射方向垂直于投影面时，称为正当投射方向垂直于投影面时，称为正投影法，得到的投影称为投影法，得到的投影称为正投影正投影；如图如图2.2（b），），当投射当投射方向倾斜于投影面时，称为方向倾斜于投影面时，称为斜投影法斜投影法，得到的投影称为斜，得到的投影称为斜投影。投影。2.1 投影的基本知识投影的基本知识2 投影的基本原理投影的基本原理2.1 投影的基本知识投影的基本知识 图图
4、2.1 中心投影图中心投影图 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.1 投影的基本知识投影的基本知识2.2 平行投影平行投影 Back2 投影的基本原理投影的基本原理建筑工程中常用的投影图有建筑工程中常用的投影图有多面正投影图、轴测投影多面正投影图、轴测投影图、透视投影图和标高投影图图、透视投影图和标高投影图。多面正投影图多面正投影图由物体在互相垂直的两个或两个以上的由物体在互相垂直的两个或两个以上的投影面上的正投影所组成，投影面上的正投影所组成，图图2.3所示所示是由两级台基和一块是由两级台基和一块碑身组成的纪念碑的三面正投影图。碑身组成的纪念碑的三面正投影图。轴测投影轴测投影是物体在
5、一个投影面上的平行投影，又称为是物体在一个投影面上的平行投影，又称为轴测图。将物体对投影面安置于较合适的位置，选定适当轴测图。将物体对投影面安置于较合适的位置，选定适当的投射方向，就可得到这种富有立体感的轴测投影，的投射方向，就可得到这种富有立体感的轴测投影，图图2.4就是图就是图2.3所示纪念碑的轴测投影。所示纪念碑的轴测投影。2.1 投影的基本知识投影的基本知识2.1.2 建筑工程中常用的投影图建筑工程中常用的投影图2 投影的基本原理投影的基本原理透视投影透视投影是物体在一个投影面上的中心投影，又称为是物体在一个投影面上的中心投影，又称为透视图。适当安置投射中心、物体和投影面之间的相对位透
6、视图。适当安置投射中心、物体和投影面之间的相对位置，就可得到这种形象逼真的透视投影，置，就可得到这种形象逼真的透视投影，图图2.5就是图就是图2.3所所示纪念碑的透视投影。示纪念碑的透视投影。标高投影图标高投影图在土建工程中常用来绘制地形图、建筑总在土建工程中常用来绘制地形图、建筑总平面图和道路、水利工程等方面的平面布置的图样，它是平面图和道路、水利工程等方面的平面布置的图样，它是地面或构筑物在一个水平基面上的正投影图，并标注出与地面或构筑物在一个水平基面上的正投影图，并标注出与水平基面之间的高度数字标记。水平基面之间的高度数字标记。2.1 投影的基本知识投影的基本知识2 投影的基本原理投影的
7、基本原理如图如图2.6（a）所示）所示，在水平基面，在水平基面H上有一座小山，与上有一座小山，与H面相交于高度标记为面相交于高度标记为0的曲线，再用高于的曲线，再用高于H面面10m、20m的的水平面剖切这座小山，得到高度标记为水平面剖切这座小山，得到高度标记为10、20的曲线，这的曲线，这些曲线称为等高线，作出它们在些曲线称为等高线，作出它们在H面上的正投影，并标注面上的正投影，并标注高度标记数字，就能得到这座小山的标高投影图，也就是高度标记数字，就能得到这座小山的标高投影图，也就是这座小山的地形图，这座小山的地形图，如图如图2.6（b）所示）所示。2.1 投影的基本知识投影的基本知识2 投影
8、的基本原理投影的基本原理2.1 投影的基本知识投影的基本知识图图2.3 多面正投影图示例多面正投影图示例 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.1 投影的基本知识投影的基本知识图图2.4轴测投影示例轴测投影示例 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.1 投影的基本知识投影的基本知识图图2.5 透视投影示例透视投影示例 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.1 投影的基本知识投影的基本知识图图2.6 标高投影图示例标高投影图示例 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.2 三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律如图如图2.7所示所示，两个不同形状的物体，在同一投影
9、面上，两个不同形状的物体，在同一投影面上的投影却是相同的。这说明在正投影法中，只有一个投影的投影却是相同的。这说明在正投影法中，只有一个投影一般不能反映物体的真实形状和大小。多面正投影图又称一般不能反映物体的真实形状和大小。多面正投影图又称为视图。基本的表达方法是三视图。为视图。基本的表达方法是三视图。图图2.8所示所示是按国家标准规定设立的三个互相垂直的投是按国家标准规定设立的三个互相垂直的投影面，称为影面，称为三投影面体系三投影面体系。把物体放在三投影面体系中，位于观察者和投影面之把物体放在三投影面体系中，位于观察者和投影面之间，使物体的三个主要表面分别平行于三个投影面，即物间，使物体的三
10、个主要表面分别平行于三个投影面，即物体的三视图，体的三视图，如图如图2.9所示所示。2.2.1 三视图的形成三视图的形成2 投影的基本原理投影的基本原理从物体的前方向后方投射，在从物体的前方向后方投射，在V面上得到的视图，称面上得到的视图，称为正面投影或为正面投影或V面投影。面投影。从物体的上方向下方投射，在从物体的上方向下方投射，在H面上得到的视图，称面上得到的视图，称为水平投影或为水平投影或H面投影。面投影。从物体的左方向右方投射，在从物体的左方向右方投射，在W面上得到的视图，称面上得到的视图，称为侧面投影或为侧面投影或W面投影。面投影。要把三视图画在一张图纸上，就必须把三个投影面展要把三
11、视图画在一张图纸上，就必须把三个投影面展开成一个平面。其方法开成一个平面。其方法如图如图2.10（a）所示）所示。展开后三视图的排列位置是：展开后三视图的排列位置是：H面投影在面投影在V面投影的下面投影的下方，方，W面投影在面投影在V面投影的右方。在画三视图时可不画出面投影的右方。在画三视图时可不画出投影面的边界，投影面的边界，如图如图2.10（b）所示）所示。2.2 三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律2 投影的基本原理投影的基本原理2.2 三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律图图2.7 单一投影不能确定物体的形状和大小单一投影不能确定物体的形状和大小 Back2 投
12、影的基本原理投影的基本原理2.2 三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律图图2.8 三投影面体系的建立三投影面体系的建立 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.2 三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律图图2.9 三面投影三面投影 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.2 三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律图图2.10 三面投影的展开三面投影的展开（a）三投影的展开方法；（）三投影的展开方法；（b）三视图之间的投影规律）三视图之间的投影规律 Back2 投影的基本原理投影的基本原理每个视图都表示物体的四个方位和两个方向：每个视图都表示物体的四个方位
13、和两个方向：V面投影反映了物体上下、左右的相互关系，即物体面投影反映了物体上下、左右的相互关系，即物体的高度和长度；的高度和长度；H面投影反映了物体左右、前后的相互关系，即物体面投影反映了物体左右、前后的相互关系，即物体的长度和宽度；的长度和宽度；W面投影反映了物体上下、前后的相互关系，即物体面投影反映了物体上下、前后的相互关系，即物体的高度和宽度。的高度和宽度。2.2 三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律2.2.2 三视图的投影规律三视图的投影规律2 投影的基本原理投影的基本原理三视图的投影规律为：三视图的投影规律为：vH面投影和面投影和V面投影面投影长对正；长对正；vW面投影和
14、面投影和V面投影面投影高平齐；高平齐；vH面投影和面投影和W面投影面投影宽相等。宽相等。2.2 三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律2 投影的基本原理投影的基本原理2.3 点的投影点的投影如图如图2.11所示所示，三个互相垂直的投影面，三个互相垂直的投影面V、H、W组成组成一个三投影面体系，将空间划分为八个分角。一个三投影面体系，将空间划分为八个分角。V面称为正面称为正立投影面，简称正面；立投影面，简称正面；H面称为水平投影面，简称水平面；面称为水平投影面，简称水平面；W面称为侧立投影面，简称侧面。三个投影面分别相交于面称为侧立投影面，简称侧面。三个投影面分别相交于投影轴投影轴OX
15、、OY、OZ，它们也互相垂直，交汇于原点，它们也互相垂直，交汇于原点O，并规定向左、向前、向上为正，在三条投影轴都是正向的并规定向左、向前、向上为正，在三条投影轴都是正向的投影面之间的空间是第一分角。将几何形体放置在第一分投影面之间的空间是第一分角。将几何形体放置在第一分角内，向三个投影面进行投影。角内，向三个投影面进行投影。2.3.1 点在三投影面体系第一角中的投影点在三投影面体系第一角中的投影2.3.1.1 投影的形成与特性投影的形成与特性2 投影的基本原理投影的基本原理点的三面投影点的三面投影如图如图2.12所示所示。点的投影特性点的投影特性见图见图2.13所示所示。将点按将点按图图2.
16、12进行投影和展开投影面后，点的投影进行投影和展开投影面后，点的投影具具有下述投影特性：有下述投影特性：（1）点的投影连线垂直于投影轴）点的投影连线垂直于投影轴；（2）点的投影到投影轴的距离反映该点的坐标，也就）点的投影到投影轴的距离反映该点的坐标，也就是该点与相应的投影面的距离是该点与相应的投影面的距离 2.3 点的投影点的投影2 投影的基本原理投影的基本原理【例例2.1】求作点求作点A（14,10,20）的三面投影和轴测图）的三面投影和轴测图(图图2.14)【解解】由于已知一点的三个坐标就能确定该点的位置，因而由于已知一点的三个坐标就能确定该点的位置，因而根据点的投影特性，可用根据点的投影
17、特性，可用图图2.14(a)所示所示或或图图2.14(b)所示所示作出作出该点的三面投影。该点的三面投影。根据在轴测图（斜等测）中平行于三条投影轴的线段的根据在轴测图（斜等测）中平行于三条投影轴的线段的投影仍与这三条轴的轴测图相平行，且长度按投影仍与这三条轴的轴测图相平行，且长度按1 1量取的作图量取的作图方法，方法，如图如图2.14(c)所示所示，由，由A点的坐标作出点的坐标作出A点的轴测图。点的轴测图。（1）作）作A点的三面投影点的三面投影作法一作法一 （图（图2.14（a）作法二作法二 （图（图2.14（b）（2）作）作A点的轴测图点的轴测图（图（图2.14（c）2.3 点的投影点的投影
18、2 投影的基本原理投影的基本原理2.3 点的投影点的投影图图2.11 三投影面体系以及八个分角的划分三投影面体系以及八个分角的划分 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.3 点的投影点的投影图图2.12 点的三面投影点的三面投影 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.3 点的投影点的投影图图2.13 点的投影特性点的投影特性 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.3 点的投影点的投影图图2.14 作作A点的三面投影和轴测图点的三面投影和轴测图 Back2 投影的基本原理投影的基本原理如图如图2.15(a)所示所示，点与投影面的相对位置有四类：，点与投影面的相对位置有四类：空空
19、间点间点（不在任一投影面上的点，如（不在任一投影面上的点，如A点）；点）；投影面上的点投影面上的点（只在一个投影面上的点，如（只在一个投影面上的点，如B点是点是V面上的点）；面上的点）；投影轴投影轴上的点上的点（在两个投影面上的点，必在这两个投影面相交的（在两个投影面上的点，必在这两个投影面相交的投影轴上，如投影轴上，如C点是点是OY轴上的点）；轴上的点）；与原点与原点O重合的点重合的点（在三个投影面上的点，必与原点（在三个投影面上的点，必与原点O重合，如重合，如D点）。点）。2.3.1.2 各种位置的点各种位置的点2.3 点的投影点的投影2 投影的基本原理投影的基本原理从图从图2.15(a)
20、、(b)中中可以看出：空间点的三个坐标都不可以看出：空间点的三个坐标都不是零，三个投影都不在投影轴上；投影面上的点必有一个是零，三个投影都不在投影轴上；投影面上的点必有一个坐标是零，在这个投影面上的投影在原位置，另外两个投坐标是零，在这个投影面上的投影在原位置，另外两个投影分别在这个投影面的两条投影轴上；投影轴上的点有两影分别在这个投影面的两条投影轴上；投影轴上的点有两个坐标是零，在相交于这条投影轴的两个投影面上的投影个坐标是零，在相交于这条投影轴的两个投影面上的投影重合于原位置，另一投影重合于原点重合于原位置，另一投影重合于原点O；与原点；与原点O重合的点重合的点的三个坐标都是零，三个投影都
21、重合于原点的三个坐标都是零，三个投影都重合于原点O。2.3 点的投影点的投影2 投影的基本原理投影的基本原理2.3 点的投影点的投影图图2.15 各种位置的点各种位置的点 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.3 点的投影点的投影图图2.15 各种位置的点各种位置的点 Back2 投影的基本原理投影的基本原理在工程图样中，常用两点沿左右（在工程图样中，常用两点沿左右（OX轴）、前后（轴）、前后（OY轴）轴）、上下（、上下（OZ轴）三个方向之间的距离，即两点对三个投影面轴）三个方向之间的距离，即两点对三个投影面的距离差（坐标差或相对坐标）来确定两点间的相对位置。的距离差（坐标差或相对坐标）
22、来确定两点间的相对位置。如如图图2.16中中，B点对点对A点的相对位置，可以说：点的相对位置，可以说：B点在点在A点之左点之左xB-xA、在、在A点之前点之前yB-yA、在、在A点之上点之上zB-zA处，或处，或B点对点对A点的点的相对坐标是（相对坐标是（xB-xA，yB-yA，zB-zA）。）。在三投影面体系中，点的每一个投影只能反映左右、前后、在三投影面体系中，点的每一个投影只能反映左右、前后、上下之中的两对方向，即上下之中的两对方向，即V面投影只能反映左右、上下，面投影只能反映左右、上下，H面面投影只能反映左右、前后，投影只能反映左右、前后，W面投影只能反映前后、上下。面投影只能反映前后
23、、上下。2.3 点的投影点的投影2.3.1.3 两点的相对位置两点的相对位置2 投影的基本原理投影的基本原理若两个点处于垂直于某一投影面的同一投射线上，则若两个点处于垂直于某一投影面的同一投射线上，则这两个点在该投影面上的投影便互相重合，这两个点就称这两个点在该投影面上的投影便互相重合，这两个点就称为对该投影面的重影点。若一点在另一点的正前方或正后为对该投影面的重影点。若一点在另一点的正前方或正后方，则这两点就是对方，则这两点就是对V面的重影点；若一点在另一点的正面的重影点；若一点在另一点的正上方或正下方，则这两点就是对上方或正下方，则这两点就是对H面的重影点；若一点在面的重影点；若一点在另一
24、点的正左方或正右方，则这两点就是对另一点的正左方或正右方，则这两点就是对W面的重影点。面的重影点。上述三对重影点的重合的投影，分别应是前面的点遮住后上述三对重影点的重合的投影，分别应是前面的点遮住后面的点、上面的点遮住下面的点、左面的点遮住右面的点。面的点、上面的点遮住下面的点、左面的点遮住右面的点。如图如图2.17中所示中所示。2.3 点的投影点的投影2 投影的基本原理投影的基本原理2.3 点的投影点的投影图图2.16 两点的相对位置两点的相对位置 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.3 点的投影点的投影图图2.17 重影点重影点 Back2 投影的基本原理投影的基本原理图图2.18
25、（a）就是前面已讲述过的就是前面已讲述过的图图2.13（b），），表示了表示了在三投影面体系中点的投影特性：点的投影连线垂直于投在三投影面体系中点的投影特性：点的投影连线垂直于投影轴；点的投影与投影轴的距离反映该点的坐标，也就是影轴；点的投影与投影轴的距离反映该点的坐标，也就是该点与相应的投影面的距离。该点与相应的投影面的距离。图图2.18（b）和（）和（c）同样地同样地分别表达了在分别表达了在V、H和和V、W两投影面体系中点的投影特两投影面体系中点的投影特性，显然，它们与性，显然，它们与图图2.18（a）所表示的完全相同，只是用所表示的完全相同，只是用坐标原点坐标原点O与投影连线之间的距离来
26、代替与投影连线之间的距离来代替A点与所省略的投点与所省略的投影面之间的距离，并表示一个坐标。影面之间的距离，并表示一个坐标。2.3 点的投影点的投影2.3.2 点在两投影面体系第一角中的投影点在两投影面体系第一角中的投影2 投影的基本原理投影的基本原理图图2.19（a）就是前面已讲述过的就是前面已讲述过的图图2.16，显示了在三，显示了在三投影面体系中投影面体系中A、B两点的相对位置：两点的相对位置：B点在点在A点之左点之左xB-xA、在在A点之前点之前yB-yA、在、在A点之上点之上zB-zA处，或处，或B点对点对A点的相点的相对坐标为（对坐标为（xB-xA，yB-yA，zB-zA）。）。图
27、图2.19（b）和）和（c）也同样地分别表达了在也同样地分别表达了在V、H和和V、W两投影面体系两投影面体系中中A、B两点的相对位置，与两点的相对位置，与图图2.19（a）所表示的完全相所表示的完全相同。同。可以看出：可以看出：两投影面体系的投影图的形成、投影特性两投影面体系的投影图的形成、投影特性和作图方法都与三投影面体系相同，今后可以按需选用。和作图方法都与三投影面体系相同，今后可以按需选用。2.3 点的投影点的投影2 投影的基本原理投影的基本原理2.3 点的投影点的投影图图2.18 点在三投影面体系和两投影面体系中的投影特性点在三投影面体系和两投影面体系中的投影特性 Back2 投影的基
28、本原理投影的基本原理2.3 点的投影点的投影图图2.19 两点在三投影面体系和两投影面体系中的相对位置两点在三投影面体系和两投影面体系中的相对位置 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.3 点的投影点的投影图图2.16 两点的相对位置两点的相对位置 Back2 投影的基本原理投影的基本原理直线按与投影面的相对位置可分为三类：不平行于任直线按与投影面的相对位置可分为三类：不平行于任一投影面的直线称为一投影面的直线称为一般位置直线一般位置直线；只平行于一个投影面；只平行于一个投影面的直线，称为的直线，称为投影面平行线投影面平行线，对正面（，对正面（V面）、水平面（面）、水平面（H面）和侧面（
29、面）和侧面（W面）的平行线分别简称面）的平行线分别简称正平线正平线、水平线水平线和和侧平线侧平线；垂直于投影面的直线，一定平行于其他两个投影；垂直于投影面的直线，一定平行于其他两个投影面，称为面，称为投影面垂直线投影面垂直线，对正面（，对正面（V面）、水平面（面）、水平面（H面）面）和侧面（和侧面（W面）的垂直线分别简称面）的垂直线分别简称正垂线正垂线、铅垂线铅垂线和和侧垂侧垂线线。投影面平行线与投影面垂直线统称为。投影面平行线与投影面垂直线统称为特殊位置直线特殊位置直线。2.4 直线的投影直线的投影2 投影的基本原理投影的基本原理表表2.1列出列出了三种投影面平行线。了三种投影面平行线。从表
30、从表2.1可以归纳出投影面平行线的可以归纳出投影面平行线的投影特性：投影特性：（1）在平行的投影面上的投影反映实长，且反映该直）在平行的投影面上的投影反映实长，且反映该直线与其他两个投影面的真实倾角；线与其他两个投影面的真实倾角；（2）在另外两个投影面上的投影必分别平行于相应的）在另外两个投影面上的投影必分别平行于相应的投影轴，且长度缩短。投影轴，且长度缩短。2.4 直线的投影直线的投影2.4.1 特殊位置直线及其投影特性特殊位置直线及其投影特性2.4.1.1 投影面平行线投影面平行线2 投影的基本原理投影的基本原理2.4 直线的投影直线的投影表表2.1 投影面平行线的投影特性投影面平行线的投
31、影特性 名称名称 轴测图轴测图投影图投影图投影特性投影特性正正平平线线1.ab反映实长和反映实长和、角；角；2.bOX，abOZ，且长度，且长度缩短缩短水水平平线线1.cd反映实长和反映实长和、角；角；2.cdOX，cdOYW，且长，且长度缩短度缩短 2 投影的基本原理投影的基本原理2.4 直线的投影直线的投影名称名称 轴测图轴测图投影图投影图投影特性投影特性侧侧平平线线1.ef反映实长和反映实长和、角；角；2.efOYH，efOZ，且长度，且长度缩短缩短 Back2 投影的基本原理投影的基本原理表表2.2列出列出了三种投影面垂直线。了三种投影面垂直线。从表从表2.2可以归纳出投影面垂直线的可
32、以归纳出投影面垂直线的投影特性：投影特性：（1）在垂直的投影面上的投影积聚成一点；）在垂直的投影面上的投影积聚成一点；（2）在另外两个投影面上的投影平行于投影轴（与直）在另外两个投影面上的投影平行于投影轴（与直线相平行的投影轴），且反映实长。线相平行的投影轴），且反映实长。2.4 直线的投影直线的投影2.4.1.2 投影面垂直线投影面垂直线2 投影的基本原理投影的基本原理2.4 直线的投影直线的投影名称名称 轴测图轴测图投影图投影图投影特性投影特性正正垂垂线线1.ab积聚成一点；积聚成一点；2.abOYH，abOYW，且反，且反映实长映实长水水垂垂线线1.cd积聚成一点；积聚成一点；2.cdO
33、Z，cdOZ，且且反反映映实长实长表表2.2 投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性 2 投影的基本原理投影的基本原理2.4 直线的投影直线的投影名称名称 轴测图轴测图投影图投影图投影特性投影特性侧侧垂垂线线1.ef积聚成一点；积聚成一点；2.efOX，efOX，且反映实，且反映实长长 Back2 投影的基本原理投影的基本原理图图2.20是一般位置直线是一般位置直线AB的三面投影图。的三面投影图。一般位置直线的投影特性：一般位置直线的投影特性：三个投影都倾斜于投影轴，三个投影都倾斜于投影轴，长度缩短，且不能直接反映直线与投影面的真实倾角。长度缩短，且不能直接反映直线与投影面的真实倾角。求
34、作一般位置直线的实长和倾角，可用求作一般位置直线的实长和倾角，可用图图2.21所示所示的的直角三角形法，作图原理直角三角形法，作图原理如图如图2.21（a）所示）所示的轴测图。在的轴测图。在投影图中求投影图中求AB的实长和倾角的实长和倾角的作图过程的作图过程如图如图2.21（b）所）所示示。2.4 直线的投影直线的投影2.4.2 一般位置直线及其实长与倾角一般位置直线及其实长与倾角2 投影的基本原理投影的基本原理可以归纳出用直角三角形法求直线的实长和倾角的作可以归纳出用直角三角形法求直线的实长和倾角的作图过程是：图过程是：以直线的某一投影为一直角边，以直线的两个以直线的某一投影为一直角边，以直
35、线的两个端点与这个投影面的距离差为另一直角边，所作出的直角端点与这个投影面的距离差为另一直角边，所作出的直角三角形的斜边即为实长，斜边与直线投影的夹角即为直线三角形的斜边即为实长，斜边与直线投影的夹角即为直线与这个投影面的倾角。与这个投影面的倾角。若在三投影面体系中需要求作直线的实长和对若在三投影面体系中需要求作直线的实长和对W面的面的倾角倾角，也可在投影图中以直线的，也可在投影图中以直线的W面投影为一直角边，以面投影为一直角边，以直线的两个端点与直线的两个端点与W面的距离差为另一直角边，同样地作面的距离差为另一直角边，同样地作出直角三角形而求出。出直角三角形而求出。2.4 直线的投影直线的投
36、影2 投影的基本原理投影的基本原理2.4 直线的投影直线的投影图图2.20 一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.4 直线的投影直线的投影图图2.21 用直角三角形法求直线的实长和倾角用直角三角形法求直线的实长和倾角 Back2 投影的基本原理投影的基本原理如图如图2.22所示所示，由平面几何可以推导出：，由平面几何可以推导出：DE上上F点的点的投影投影f必在必在de上，并有上，并有DF FEdf fe的关系，在三投影面体的关系，在三投影面体系中，还可推导出系中，还可推导出DF FEdf fedf fedf fe的的关系。关系。由此推导出由此
37、推导出直线上的点的投影特性：直线上的点的投影特性：直线上的点的投直线上的点的投影必在直线的同面投影上；若直线不垂直于投影面，则点影必在直线的同面投影上；若直线不垂直于投影面，则点的投影分割直线线段投影的长度比都等于点分割直线线段的投影分割直线线段投影的长度比都等于点分割直线线段的长度比。的长度比。2.4 直线的投影直线的投影2.4.3 直线上的点的投影特性直线上的点的投影特性2 投影的基本原理投影的基本原理2.4 直线的投影直线的投影图图2.22 直线上的点的投影特性直线上的点的投影特性 Back2 投影的基本原理投影的基本原理两直线的相对位置有三种情况：两直线的相对位置有三种情况：平行、相交
38、和交叉平行、相交和交叉。它们的投影特性它们的投影特性如表如表2.3所示所示。交叉直线也称为交叉直线也称为异面直线异面直线，即两直线既不平行，又不，即两直线既不平行，又不相交。若两直线共面（位于同一平面上），则必定是平行相交。若两直线共面（位于同一平面上），则必定是平行线或相交线。线或相交线。2.4 直线的投影直线的投影2.4.4 两直线的相对位置两直线的相对位置2 投影的基本原理投影的基本原理2.4 直线的投影直线的投影表表2.3 不同相对位置的两直线的投影特性不同相对位置的两直线的投影特性 名称名称 平行平行相交相交交叉交叉轴轴测测图图投投影影图图2 投影的基本原理投影的基本原理2.4 直线
39、的投影直线的投影名称名称 平行平行相交相交交叉交叉投投影影特特性性同面投影互同面投影互相平行相平行 同面投影都相同面投影都相交，交点符合点的交，交点符合点的投影特性，同面投投影特性，同面投影的交点就是两直影的交点就是两直线的交点的投影线的交点的投影 两直线的投影，既两直线的投影，既不符合平行两直线的投不符合平行两直线的投影特性，又不符合相交影特性，又不符合相交两直线的投影特性。同两直线的投影特性。同面投影的交点，是两直面投影的交点，是两直线上各一点形成的对这线上各一点形成的对这个投影面的重影点的重个投影面的重影点的重合的投影合的投影 Back2 投影的基本原理投影的基本原理一边平行于投影面的直
40、角的一边平行于投影面的直角的投影特性是：投影特性是：当直角的一当直角的一边为投影面平行线时，则在它所平行的投影面上的投影仍边为投影面平行线时，则在它所平行的投影面上的投影仍为直角。为直角。2.4 直线的投影直线的投影2.4.5 一边平行于投影面的直角的投影一边平行于投影面的直角的投影2 投影的基本原理投影的基本原理平面可用平面可用图图2.23所示所示的任一形式的几何元素表示，也的任一形式的几何元素表示，也可用可用图图2.24所示所示的迹线表示，最常见的是的迹线表示，最常见的是图图2.23（e）所示）所示的用平面图形的投影表示的平面。的用平面图形的投影表示的平面。如图如图2.24所示所示，平面与
41、投影面的交线称为，平面与投影面的交线称为迹线迹线。图图2.25和和图图2.26所示所示的平面是用迹线表示的特殊位置平的平面是用迹线表示的特殊位置平面。特殊位置平面一定垂直于一个或两个投影面，在平面面。特殊位置平面一定垂直于一个或两个投影面，在平面所垂直的投影面上的迹线有积聚性，也就是平面上的点、所垂直的投影面上的迹线有积聚性，也就是平面上的点、线和平面图形在该投影面上的投影都位于这条迹线上。线和平面图形在该投影面上的投影都位于这条迹线上。2.5 平面的投影平面的投影2.5.1 平面的表示法平面的表示法2 投影的基本原理投影的基本原理还可看出：只垂直一个投影面的平面只有一条有积聚还可看出：只垂直
42、一个投影面的平面只有一条有积聚性的迹线，这条迹线倾斜于投影轴；而平行于投影面的平性的迹线，这条迹线倾斜于投影轴；而平行于投影面的平面必定垂直于其他两个投影面，有积聚性的迹线一定平行面必定垂直于其他两个投影面，有积聚性的迹线一定平行或垂直于投影轴。或垂直于投影轴。2.5 平面的投影平面的投影2 投影的基本原理投影的基本原理2.5 平面的投影平面的投影图图2.23 用几何元素表示平面用几何元素表示平面 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.5 平面的投影平面的投影图图2.24 用迹线表示平面用迹线表示平面 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.5 平面的投影平面的投影图图2.25 用迹
43、线表示的垂直于投影面的平面用迹线表示的垂直于投影面的平面 Back2 投影的基本原理投影的基本原理2.5 平面的投影平面的投影图图2.26 用迹线表示的平行于投影面的平面用迹线表示的平行于投影面的平面 Back2 投影的基本原理投影的基本原理平面按与投影面的相对位置分为三类：平面按与投影面的相对位置分为三类：不垂直于任一投影面的平面，称为不垂直于任一投影面的平面，称为一般位置平面一般位置平面；只垂直一个投影面的平面，称为只垂直一个投影面的平面，称为投影面垂直面投影面垂直面，对正，对正面（面（V面）、水平面（面）、水平面（H面）、侧面（面）、侧面（W面）的垂直面分别面）的垂直面分别简称简称正垂面
44、、铅垂面和侧垂面正垂面、铅垂面和侧垂面；平行于投影面的平面，必定垂直于其他两个投影面，平行于投影面的平面，必定垂直于其他两个投影面，称为投影面平行面，对正面（称为投影面平行面，对正面（V面）、水平面（面）、水平面（H面）、侧面）、侧面（面（W面）的平行面分别简称面）的平行面分别简称正平面、水平面和侧平面正平面、水平面和侧平面。2.5 平面的投影平面的投影2.5.2 各种位置的平面及其投影特性各种位置的平面及其投影特性2 投影的基本原理投影的基本原理一般位置的平面图形的一般位置的平面图形的投影特性：投影特性：三个投影都是面积三个投影都是面积缩小的类似形。缩小的类似形。2.5 平面的投影平面的投影
45、2.5.2.1 一般位置平面一般位置平面2 投影的基本原理投影的基本原理处于投影面垂直面位置的平面图形的处于投影面垂直面位置的平面图形的投影特性：投影特性：（1）在所垂直的投影面上的投影积聚成一条直线，且）在所垂直的投影面上的投影积聚成一条直线，且反映与其他两个投影面的倾角；反映与其他两个投影面的倾角；（2）在其他两个投影面上的投影为面积缩小的类似形。）在其他两个投影面上的投影为面积缩小的类似形。2.5 平面的投影平面的投影2.5.2.2 投影面垂直面投影面垂直面2 投影的基本原理投影的基本原理处于投影面平行面位置的平面图形的处于投影面平行面位置的平面图形的投影特性：投影特性：（1）在它所平行
46、的投影面上的投影反映实形；）在它所平行的投影面上的投影反映实形；（2）在其他两个投影面上的投影积聚成直线，平行于）在其他两个投影面上的投影积聚成直线，平行于相应的投影轴。相应的投影轴。2.5 平面的投影平面的投影2.5.2.3 投影面平行面投影面平行面2 投影的基本原理投影的基本原理从前面已讲述的特殊位置平面的投影特性可知，特殊从前面已讲述的特殊位置平面的投影特性可知，特殊位置平面上的点、直线和图形，在该平面的有积聚性的投位置平面上的点、直线和图形，在该平面的有积聚性的投影所在的投影面上的投影，必定积聚在该平面的有积聚性影所在的投影面上的投影，必定积聚在该平面的有积聚性的投影上。利用这个投影特
47、性，可以求作特殊位置平面上的投影上。利用这个投影特性，可以求作特殊位置平面上的点、直线和图形的投影。的点、直线和图形的投影。2.5 平面的投影平面的投影2.5.3 平面上的点、直线和图形平面上的点、直线和图形2.5.3.1 特殊位置平面上的点、直线和图形特殊位置平面上的点、直线和图形2 投影的基本原理投影的基本原理1.点和直线在平面上的几何条件点和直线在平面上的几何条件点和直线在平面上的几何条件是：平面上的点必在该点和直线在平面上的几何条件是：平面上的点必在该平面的直线上；平面上的直线必通过平面上的两点，或通平面的直线上；平面上的直线必通过平面上的两点，或通过平面上的一点且平行于平面上的另一直
48、线。过平面上的一点且平行于平面上的另一直线。在投影图中作平面上的点和直线，以及检验点和直线在投影图中作平面上的点和直线，以及检验点和直线是否在平面上的作图方法，都是以上述几何条件为依据的。是否在平面上的作图方法，都是以上述几何条件为依据的。2.5 平面的投影平面的投影2.5.3.2 一般位置平面上的点、直线和图形一般位置平面上的点、直线和图形2 投影的基本原理投影的基本原理2.平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线不仅应满足直线在平面上的几平面上的投影面平行线不仅应满足直线在平面上的几何条件，它的投影还应符合投影面平行线的投影特性。何条件，它的投影还应符合投影面平行线的投影特性。3.平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线平面上垂直于该平面的某一投影面平行线的直线是平平面上垂直于该平面的某一投影面平行线的直线是平面上对这个投影面的最大斜度线，它与这个投影面的倾角面上对这个投影面的最大斜度线，它与这个投影面的倾角也就是平面与这个投影面的倾角。也就是平面与这个投影面的倾角。2.5 平面的投影平面的投影