数字信号处理 第二章.ppt

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1、第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言 2.2 时域离散信号的傅里叶变换 2.3 时域离散信号的Z变换 2.4 利用Z变换对信号和系统进行分析2.1 2.1 引言引言信号、系统分析信号在时间分布上的特性和运算：直观，物理概念会比较的清楚。分析信号在频率分布上的特性和运算：这给了我们换个视角观察信号的机会，我们会发现许多在时间域上得不到的特性和运算。时间域频率域FT、ZTIFT、IZT返回返回2.2 2.2 时域离散信号的傅里叶变换时域离散信号的傅里叶变换返回返回p2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换的定义p2.2.2 周期信号的离散傅里叶级数p2.

2、2.3 周期信号的傅里叶变换p2.2.4 时域离散信号傅里叶变换的性质2.2.1 2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换的定义时域离散信号的傅里叶变换的定义定义为时域离散信号x(n)的傅里叶变换，简称FT(Fourier Transform)。上式成立的条件是序列绝对可和上式成立的条件是序列绝对可和，或者说序列的能量有限，即满足下面的公式：对于不满足上式的信号，可以引入奇异函数，使之能够用傅里叶变换表示出来。(2.2.1)回到本节回到本节返回返回离散信号离散信号FTFT和模拟信号和模拟信号FTFT的比较：的比较：离散信号FT 模拟信号FT可以发现二者的实质是一样的，都是完成时间域 频域的转换，不

3、同处：时间变量：n取整数，求和运算；t取连续变量，积分运算。频域变量：是数字频率的连续变量，以2为周期；是模拟频率的连续变量，无周期性。回到本节回到本节返回返回2.2.2 2.2.2 周期信号的离散傅里叶级数周期信号的离散傅里叶级数设 是以N为周期的周期序列，具有周期性，能够展成傅里叶级数，即：式中，ak是离散傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以 ，并对n在一个周期N中求和，得到：(2.2.5)回到本节回到本节返回返回将上式右边的两个求和号交换位置，得到：式中 回到本节回到本节返回返回因此得到上式中,k和n均取整数，当k变化时，是周期为N的周期函数，所以ak是以N为周期的周期序列，即

4、 ak=ak+ln令将式(2.2.7)代入上式，得到这里 是以N为周期的周期序列。一般简称 为的离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete FrourierSeries)表示，即 。(2.2.7)(2.2.10)(2.2.9)回到本节回到本节返回返回由式(2.2.5)和式(2.2.9)，我们能够得到将式(2.2.7)和式(2.2.10)写在一起，成为离散傅里叶级数对。这里 和 均是周期为N的序列。(2.2.11)返回返回回到本节回到本节2.2.3 2.2.3 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换复指数序列的傅里叶变换表达式复指数序列的傅里叶变换表达式 在模拟系统中，的傅里叶变换是在 处

5、的一个冲激，强度为2，即对于时域离散系统中的复指数序列 ，仍假设它的傅里叶变换是在 处的一个冲激，强度为2，考虑到时域离散信号傅里叶变换的周期性，因此 的傅里叶变换应写为：回到本节回到本节返回返回一般周期序列一般周期序列 的傅里叶变换的傅里叶变换假设 的周期为N，将它用傅里叶级数来表示，即上式的求和号中的每一项都是复指数序列，其中第K项即为第K次谐波 的傅里叶变换根据其周期性能够表示为：返回返回回到本节回到本节周期序列 由N次谐波组成，因此它的傅里叶变换可以表示成式中，k=0,1,2,N-1,r=-3,-2,-1,0,1,2,以N为周期，而r变化时，函数变化2r，因此如果让k在(-,)变化，上

6、式可以简化为上式就是一般周期序列的傅里叶变换表达式。教材中表2.2.1列举了基本序列的傅里叶变换对。返回返回回到本节回到本节例2.1：令 ，为有理数，求其傅里叶变换。解:将 用欧拉公式展开为由得余弦序列的傅里叶变换为返回返回回到本节回到本节上式表明，余弦信号的傅里叶变换是在 处的冲激函数，强度为，同时以2为周期进行周期性延拓，如下图所示。对于正弦序列 ，为有理数，它的傅里叶变换为回到本节回到本节返回返回2.2.4 2.2.4 时域离散信号傅里叶变换的性质时域离散信号傅里叶变换的性质时域离散信号傅里叶变换有很多重要的性质，其中一些性质和模拟信号的傅里叶变换性质类似，参考教材中表2.2.2。本小节

7、重点介绍：傅里叶变换的周期性傅里叶变换的周期性 频域卷积定理频域卷积定理 傅里叶变换的对称性傅里叶变换的对称性回到本节回到本节返回返回傅里叶变换的周期性：傅里叶变换的周期性：频域卷积定理：频域卷积定理：假设 ，则交换积分的求和次序，我们同样能够得到该定理表明在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。此定理亦称为调制定理回到本节回到本节返回返回傅里叶变换的对称性：傅里叶变换的对称性：一般不做特殊说明，序列x(n)就是复序列。用下标r表示它的实部，用下标i表示它的虚部：复序列中有共轭对称序列和反共轭对称序列，分别用下标e和o表示共轭对称序列满足复反共轭对称序列满足回到本节回到本节返回返回 一般序列

8、傅里叶变换的对称性质一般序列可以表示为其实部 的傅里叶变换可以用下式来表示将上式右面的加负号，在将右边取共轭，右边表达式不变，这说明实序列的傅里叶变换具有共轭对称性质，可以用 表示。很容易证明，将j乘以实数序列 的傅里叶变换具有共轭反对称性质，用 表示。返回返回回到本节回到本节这样式中这样我们能够得到结论：一般序列的傅里叶变换分成共轭对称分量和共轭反对称一般序列的傅里叶变换分成共轭对称分量和共轭反对称分量两部分，其中共轭对称分量对应序列的实部，而共分量两部分，其中共轭对称分量对应序列的实部，而共轭反对称分量对应这序列的虚部（包括轭反对称分量对应这序列的虚部（包括j j）。）。返回返回回到本节回

9、到本节如果将序列分为共轭对称和共轭反对称两部分，即由我们得到对上面两式分别求傅里叶变换，得到返回返回回到本节回到本节这样我们能够得到结论:傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，而它的虚部傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，而它的虚部(包包括括j)j)对应序列的共轭反对称部分。对应序列的共轭反对称部分。值得注意：在一般实际应用中，我们常常遇到的序列是实序列，实序列相当于一般的序列中只有实部，没有虚部，因此实序列的傅里叶变换具有共轭对称性质，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。如果实序列还是偶对称的，其傅里叶变换应该是实偶对称函数；如果实序列是奇对称的，那么其傅里叶变换是虚对称的，且是纯虚函数。

10、返回返回回到本节回到本节2.3 2.3 时域离散信号的时域离散信号的Z Z变换变换在模拟系统中，用傅里叶变换进行频域分析，而拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，用于对信号在复频域的分析。在数字域中，用序列傅里叶变换进行频域分析，Z变换是其推广，用于对信号在复频域中的分析。本节主要讲述:返回返回p 2.3.1 时域离散信号的Z变换的定义及其与傅里叶变 换的关系p 2.3.2 Z变换的收敛域与序列特性之间的关系p 2.3.3 逆Z变换p 2.3.4 Z变换的性质和定理2.3.1 2.3.1 时域离散信号的时域离散信号的Z Z变换的定义及其与变换的定义及其与傅里叶变换的关系傅里叶变换的关系Z变换的定义定

11、义序列X(n)的Z变换为式中，Z是复变量，它所在的复平面称为Z平面。这里求和极限为-+，故亦称为双边Z变换，当求和极限为0+时，为单边Z变换，不做说明时均为双边Z变换。Z Z变换存在的充分条件变换存在的充分条件为 返回返回回到本节回到本节Z变换的收敛域为使Z变换存在的 的取值域，称为X(z)的收敛域。收敛域一般用环状域表示，即Rx-|z|Rx+，Rx-和Rx+分别称为收敛域的最小收敛半径和最大收敛半径。上图所示的阴影部分即为收敛半径。最小半径可以达到0，而最大半径可以达到+。收敛域是Z变换非常重要不可缺少的一部分回到本节回到本节返回返回Z Z变换和傅里叶变换之间的关系变换和傅里叶变换之间的关系

12、Z变换令上式中的 ，得到式中，r是z的模，是它的相位，也就是数字频率。这样，就是序列x(n)乘以实指数序列r-n后的傅里叶变换。回到本节回到本节返回返回如果r=1，Z变换就变成了傅里叶变换了，即r=1指的是Z平面上的单位圆，因此傅里叶变换就是Z平面单位圆上的Z变换。单位圆必须包含在收敛域中，否则单位圆上的Z变换不存在，傅里叶变换也就不存在。回到本节回到本节返回返回2.3.2 Z2.3.2 Z变换的收敛域与序列特性之间的关系变换的收敛域与序列特性之间的关系序列可以分为有限长序列有限长序列、右序列右序列、左序列左序列以及双边序双边序列列等四种情况，它们的收敛域各有特点，掌握这些特点对分析和应用Z变

13、换很有帮助。u有限长序列有限长序列Z Z变换的收敛域变换的收敛域有限长序列Z变换为 收敛域为回到本节回到本节返回返回u右序列右序列Z Z变换的收敛域变换的收敛域右序列是指x(n)只在nn1序列值不全为零，在其他的区间均为零的序列。右序列的Z变换式中n1-1。回到本节回到本节返回返回上式右边：第一项是有限序列的Z变换，收敛域为0|z|。第二项为因果序列的Z变换，其收敛域为Rx-|z|。将两个收敛域相与，得到它的收敛域为Rx-|z|。如果如果x(n)x(n)是因果序列，即设是因果序列，即设n n1 100，它的收敛域为，它的收敛域为R Rx-x-|z|z|。回到本节回到本节返回返回u左序列左序列Z

14、 Z变换的收敛域变换的收敛域与右序列类似，左序列是指x(n)只在nn1序列值不全为零，在其他的区间均为零的序列。左序列的Z变换为式中，n10。回到本节回到本节返回返回上式右边：第一项的收敛域为0|z|Rx+，第二项的收敛域为0|z|，将两个收敛域相与，得到左序列的收敛域为0|z|Rx+。如果如果n n1 100，则收敛域为，则收敛域为0 0|z|R|z|Rx+x+。回到本节回到本节返回返回u双边序列双边序列Z Z变换的收敛域变换的收敛域双边序列就是在-+之间均有非零值的序列。双边序列的Z变换回到本节回到本节返回返回上式中：右边第一项是左序列的Z变换，收敛域是0|z|Rx+，第二项是右序列的Z变

15、换，收敛域为Rx-|z|，将两个域相与，得到双边序列的收敛域为Rx-|z|Rx+。这几种序列的收敛域对比可以见书中表2.3.1。回到本节回到本节返回返回例2.2：设 ，求它的Z变换，并确定收敛域。解:为使X(z)收敛，要求 ，即 ，解得 ，这样得到 就是该Z变换的收敛域。回到本节回到本节返回返回例2.3：求 的Z变换及其收敛域。解:这是一个左序列，当 时，序列值为零。如果X(z)存在，则要求 ，得到收敛域为 。在收敛域中，该Z变换为我们将例2.2和例2.3进行比较，两者Z变换的函数表达式一样，但收敛域却不相同，对应的原序列也不同，因此正确地确定收敛域是很重要。回到本节回到本节返回返回2.3.3

16、 2.3.3 逆逆Z Z变换变换 已知序列的Z变换及其收敛域，求原序列，称为逆Z变换(IZT)。求逆Z变换有三种方法:部分分式展开法：部分分式展开法：有理分式展成简单部分分式，查表。围线积分法：围线积分法：常用方法，重点介绍幂级数法：幂级数法：原理简单，使用不便，本书不介绍回到本节回到本节返回返回部分分式法部分分式法原理是将Z变换的有理分式展成简单的部分分式，通过查表得到原序列。假设X(z)有一个一阶极点，可展开如下的部分分式：观察上式，X(z)/z在z=0的极点，留数等于系数A0，在z=zm的极点，留数等于系数Am，即见书中表2.3.3回到本节回到本节返回返回这样，将上面的两式带入由X(z)

17、展开得到的部分分式中去，在通过查表（书中表2.3.2）就能够得到原序列。但我们知道收敛域不同，即使同一个我们知道收敛域不同，即使同一个z z函数也可以有不函数也可以有不同的原序列对应，因此根据给定的收敛域，应正确地确同的原序列对应，因此根据给定的收敛域，应正确地确定每个分式的收敛域，这样才能得到正确的原序列。定每个分式的收敛域，这样才能得到正确的原序列。回到本节回到本节返回返回围线积分法围线积分法已知序列大的Z变换和收敛域，求原序列的公式为式中，c是X(z)的收敛域中的一条包含原点的逆时针旋转的封闭曲线，如下图所示。回到本节回到本节返回返回直接计算围线积分比较麻烦，下面介绍用留数定理求逆用留数

18、定理求逆Z Z变换的方法变换的方法：令 ，F(z)在围线c内的极点用 表示，假设有M个极点。根据留数定理式中，表示被积函数F(z)在极点 的留数。求逆Z变换就是求围线c内所有极点的留数之和。如果极点是单阶极点，根据留数定理，极点 的留数用下式计算 回到本节回到本节返回返回 如果极点 是N阶极点，根据留数定理，极点的留数用下式计算 上式表明求多阶极点的留数比较麻烦，可以根据留数辅助定理改求围线c以外的极点的留数之和，使问题简单化。如果F(z)在Z平面上有N个极点，围线c内有个极点，用表示，围线c外有 个极点，用 表示，。根据留数辅助定理下式成立 回到本节回到本节返回返回上式成立的条件是原序列公式

19、中，被积函数分母的阶次比分子的阶次高二阶或二阶以上。假设 ，P(z)和Q(z)分别是z的N阶和M阶多项式，那么上式成立的条件是或者这样，在求逆Z变换时，如果上面条件满足，围线c内有多阶极点，可以利用上式，改求围线c外的极点的留数之和。回到本节回到本节返回返回例2.4：，求Z反变换回到本节回到本节返回返回回到本节回到本节返回返回回到本节回到本节返回返回回到本节回到本节返回返回2.3.4 Z2.3.4 Z变换的性质和定理变换的性质和定理uZ Z变换的性质变换的性质 线性 序列移位 时间反转 乘以指数序列 Z域微分 共轭序列 uZ Z变换的定理变换的定理 时域卷积定理 复卷积定理 初值定理 终值定理

20、 巴塞伐尔定理 这些性质和定理在书中表2.3.3里都已经列出。回到本节回到本节返回返回2.4 2.4 利用利用Z Z变换对信号和系统进行分析变换对信号和系统进行分析傅里叶变换和Z变换都是对信号和系统进行分析的重要数学工具。信号的频域分析指的是信号的傅里叶变换，Z变换则是分析域更为扩大的一种变换，Z变换比傅里叶变换的应用更广泛。本节主要讲述p 2.4.1 系统的传输函数和系统函数p 2.4.2 根据系统函数的极点分布分析系统的因果性和 稳定性p 2.4.3 用Z变换求解系统的输出相应p 2.4.4 系统稳定性的测定及稳定时间的计算p 2.4.5 根据系统的零、极点分布分析系统的频率特性返回返回2

21、.4.1 2.4.1 系统的传输函数和系统函数系统的传输函数和系统函数系统的时域特性用单位脉冲响应 表示，对 进行傅里叶变换，得到 称 为系统的传输函数，它表征系统的频率响应特性，所以又称为系统的频率响应函数。将 进行Z变换，得到一般称为 系统的系统函数，它表征系统的复频域特性。回到本节回到本节返回返回如果 的收敛域包含单位圆 =1，则 和 之间的关系为因此系统的传输函数是系统单位脉冲响应在单位圆上的Z变换。它们之间有区别，但有时为了简单，也可以都称为传输函数。设系统的输入x(n)=，对于因果稳定系统，其稳态输出为式中上式中 称为幅频特性，称为相频特性。回到本节回到本节返回返回2.4.2 2.

22、4.2 根据系统函数的极点分布分析系统根据系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性的因果性和稳定性如果系统用N阶差分方程表示，即将上式进行Z变换，得到系统的系统函数回到本节回到本节返回返回将上式进行因式分解，得到式中，是 的零点，是它的极点，A是常数。A仅决定幅度大小，不影响频率特性的实质。系统函数的零、极点分布都会影响系统的频率特性，而影响系统的因果性和稳定性的只是极点分布。回到本节回到本节返回返回系统的因果性指的是系统的可实现性，如果系统可实现，它的单位脉冲响应一定是因果序列。而因果序列Z变换的极点均集中在以 为半经的圆内。因此得到结论，因果系统的系统函数的极点均在某个圆内，收敛域包含点

23、。回到本节回到本节返回返回如果系统稳定，则要求 ，按照Z变换的定义 因此得到结论:系统稳定时，系统函数的收敛域一定包含单位圆，或者说系统函数的极点不能位于单位圆上。综上所述，得出系统因果稳定的条件:的极点应集中在 单位圆内。回到本节回到本节返回返回例2.5：，分析系统的因果性和稳定性解：系统的极点为（1）收敛域取 收敛域包含 ，故是因果系统 收敛域不包含单位圆，所以系统不稳定 单位脉冲响应为回到本节回到本节返回返回（2）收敛域取 收敛域不包含 ，不是因果系统 收敛域包含单位圆，系统稳定 单位脉冲响应为（3）收敛域取 收敛域不包含 ，不是因果系统 收敛域不包含单位圆，系统不稳定 单位脉冲响应为回

24、到本节回到本节返回返回2.4.3 2.4.3 用用Z Z变换求解系统的输出响应变换求解系统的输出响应上一章中曾用递推法求解出系统的输出，本节介绍利用Z变换求解系统的输出响应，包括零状态响应与零输入响应，以及稳态响应和暂态响应。零状态响应与零输入响应：零状态响应与零输入响应：系统的N阶差分方程为式输入信号x(n)是因果序列，即当n0）。(2.4.22)(2.4.23)幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：回到本节回到本节返回返回当频率由0变化到2时，这些零、极点矢量的终点B沿单位圆旋转一周，零、极点矢量的长度和相角不断变化，按照式(2.4.22)和式(2.4.23)可以计算出幅频特性和相频特性。但工程中用的最多的是，利用式(2.4.22)定性分析估计幅频特性。回到本节回到本节返回返回零极点分布对幅频特性的影响零极点分布对幅频特性的影响极点影响幅频特性的峰值，峰值频率在极点的附近；极点越靠近单位圆，峰值越高，越尖锐；极点在单位圆上，峰值幅度为无穷，系统不稳定。零点影响幅频特性的谷值，谷值频率在零点的附近；零点越靠近单位圆，谷值越接近零；零点在单位圆上，谷值为零；处于坐标原点的零极点不影响幅频特性。该方法适于低阶系统回到本节回到本节返回返回