《数字信号处理》第二章--z变换.ppt

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1、 掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及 判断方法 会运用任意方法求z反变换 理解z变换的主要性质 理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系 掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质 掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数 与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域P83: 1(2)(3) 2 3(1)(2) 6 7(1)(3) 9 10(a)(b)(c) 11(a)(b) 13 14 17 1. z变换的定义序列x(n)的z变换定义为：( ) ( )( )nnX zZT x nx n z z 是复变量，所在的复平面称为z平面例：123( )21 1.5+0.5X zzz

2、zz 对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 级数收敛的充要条件是满足绝对可和( )nnx n zM ( )( )( )P zX zQ z令X(z)X(z)=0( )0( )( ) ( )P zQ zP zQ z则的零点：使的点， 即和当阶次高于时X(z)X(z)( )0( )( )( )Q zP zQ zP z的极点：使的点， 即和当阶次高于时12( )( )0 x nnnnx nn其它21Z ( )( )nnn nX zx n z其 变换：0Rocz 至少为： Re zIm jz0120nn11(1)111( )()(1)( 1)nnX zx

3、 n zx nzxz22(1)0122(0)(1)(1)()nnxzxzx nzx n z210:0nnRocz 120nn00:0nnRocz 00:0nnRocz 120nn11( )( )0 x nnnx nnn110Z( )( )( )nnn nnX zx n zx n z其 变换：Roc: 0z 前式Roc: xRz 后式110:0:xxnRoc RznRoc Rz 当时， 当时，Re zIm jz0 xRz 包括处10n 的右边序列， Roc: 因果序列的z变换必在 处收敛 在 处收敛的z变换， 其序列必为因果序列10n xRz Re zIm jz0 xRz 包括处220( )(

4、)nnx nx nnn201( )( )( )nnnnnzX zx n zx n z其 变换：Roc: 0 xzR前式Roc:0z 后式220:00:0 xxnRoczRnRoczR当时， 当时，Re zIm jz0 xR20n n为任意值时皆有值10z( )( )( )nnnnX zx n zx n z其 变换：Roc: 0 xzR前式Roc: xRz 后式:xxxxxxRRRocRRRoc RzR当时， 当时，Re zIm jz0 xRxR1( )( )zNx nRn例：求的 变换及其收敛域Re zIm jz0X(z)=( )=( )nnNnnx n zRn z解：10=Nnnz2 1,.

5、,1rjNzerN零点：01zN极点： （）阶: 0Rocz 122111nnnnn nqqqq111Nzz21nq 时须满足11(1)NNzzz2( )( )znx na u n例 ：求的 变换及其收敛域Re zIm jz0a0X(z)=( )=( )=nnnnnnnnx n za u n za z解：0z 零点：za极点：: Rocza111az11az当时3( )(1)znx na un 例 ：求的 变换及其收敛域Re zIm jz0aX(z)=( )=(1)nnnnnx n za unz 解：0z 零点：za极点：: Rocza111111a za zaz11a z当时11=nnnnn

6、na zaz4( )znx naa例 ：求， 为实数，求其 变换及其收敛域10X(z)=( )=nnnnnnnnnnnx n za zaza z解：10=nnnnnna za z11nnnaza zaz11/azza 1011nnna zaz11azza 1X( )az当时，无公共收敛域，不存在Re zIm jz0a1/a211(1)1( )11(1)()azzaaX zazazaz za当时，0,z 零点：1,za a极点：: 1/Rocaza 给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。 X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故： 右边序列右边序列的z变换收敛域

7、一定在模最大大的有限极点所在圆之外之外 左边序列左边序列的z变换收敛域一定在模最小小的有限极点所在圆之内之内Re zIm jz0abcRe zIm jz0abcRe zIm jz0abcRe zIm jz0abc二、z反变换( )( )x nIZT X zz反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)( ) ( )( )nnX zZT x nx n z 根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即而 其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。,0,xxxxRzRRR （）( )nnxxnX zC zRzR11(

8、)2nncCX z zdzj Re zIm jz0 xRxRC0, 1, 2,n 若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：11( )( )(,)2nxxcx nX z zdzcRRj 1( )( )nF zX z z( )Re ( )kz zkx ns F z( )Re ( )mz zmx ns F z 利用留数定理求围线积分，令若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：单阶极点的留数：Re ( )() ( )rrz zrz zs F zzz F z2( ) 1/44(4)(1/4)zX zzzz例1：，求其z反变换Re zIm jz0C4

9、1/4211( )(,)2(4)(1/4)nxxczx nzdzcRRjzz 解：211( )(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzF zzzzzz其中：11( )4nF zcz 当时在围线 内只有一阶极点14( )Re ( )zx ns F z1141()4 (4)(1/4)nzzzzz415n11( )(1)04nF zcznz 当时在围线 内有一阶极点和-阶极点4( )Re ( )zx ns F z 14441/4nzzzzz 2415ncz=4F(z)而围线 外只有一阶极点，且的分母多项式阶次高于分子多项式阶次两次以上244( )(1)(2)1515nnx nu nun Re zIm

10、 jz0C41/42( ) 4(4)(1/4)zX zzzz例2：，求其z反变换Re zIm jz0C41/4解： 收敛域是圆的外部 lim( )1X(z)z=zX z 又，即在处收敛( )( )00 x nx nn是一个因果序列，即，( )x n是右边序列10( )c(4)(1/4)0( )0nznF zzzx n同样当时，由在 外无极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由围线外极点留数为 可得0n 当时1( )(4)(1/4)nzF zzz144cz 在围线 内有一阶极点， Re zIm jz0C41/441/4( )Re ( )Re ( )zzx ns F zs F z111441(4)

11、()114(4)()(4)()44nnzzzzzzzzzz21(44)15nn21( )(44) ( )15nnx nu n思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何( )0 x n 211( ) 1(1)(1)aX zaazaz例3：，求z反变换21111( )2(1)(1)ncax nzdzjazaz 解：221111(1)( )(1)(1)()() cX(z)nnaazF zzazaza zaza其中：为收敛域内闭合围线1( ),X zza a而题中未给出收敛域，根据的极点有三种可能的收敛域：111) 2) 3) zazaazaRe zIm jz0C1aa11) za收敛域是圆

12、的外部 lim( )0zX z又，( )( )00 x nx nn是因果序列，即，0n 当时1( )F zczaa在围线 内有一阶极点，1( )Re ( )Re ( )z az ax ns F zs F z122111(1)(1)()()()()()()nnz az aazazzazaa zazaa zazannaa( )() ( )nnx naau nRe zIm jz0C1aa2) za0n 当时( )F zc在围线 内无极点( )0 x n 故0n 当时( )0F zcnz 在 内有- 阶极点1,cza a在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1( )Re ( )Re ( )z az

13、 ax ns F zs F z ()nnnnaaaa ( )() (1)nnx naaun Re zIm jz0C1aa0n 当时( )F zcza在 内有一阶极点( )Re ( )nz ax ns F za0n 当时( )0F zczanz在 内有一阶极点和- 阶极点1,cza在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1( )Re ( )nz ax ns F za ( )( )(1)nnnx na u na una 13) azaX(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：12( )( )( )( )( )( )KB zX zXzXzXzA z( )( )x nIZT X z12( )( )(

14、 )KIZT XzIZT XzIZT Xz对各部分分式求z反变换：01( )( )( )1MiiiNiiib zB zX zA za z11011( )11MNMrrnkknknkkkiACX zB zz zz z( )Re1,2,kkz zX zAskMrz用留数定理求系数：1125( ) 2316zX zzzz例：，求z反变换Re zIm jz032 23353123zzX zAReszzzz 112255516623zzzX zzzzzzz解： 1252323X zAAzzzzz 12252123zzX zAReszzzz 1123X zzzz 1111231 21 3zzX zzzzz

15、23z11( )1nZT a u nzaaz11(1)1nZT a unzaaz 1112z2( )nu n2z 111 3z3(1)nun 3z 231nnx nu nun 把X(z)展开成幂级数( )( )nnX zx n z1012( 1)(0)(1)(2)xzxzxzxz级数的系数就是序列x(n)根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数 将X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列xzRxzR解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数11( ) (1)X zzaaz例：，求z反变

16、换122330( )1nnnX zaza za za z ( )( )nx na u n11112222223333111 azazazaza za za za za z122331aza za z11( ) (1)X zzaaz例：，求z反变换122331( )nnnX za za za za z -( )(1)nx na un 解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数111122221 11 aza za za za za z12233a za za z2( ) 1/44(4)(1/4)zX zzz z例：，求z反变换解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极

17、点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式161( )1515(4)()41/41/4X zzzzzzz116( )151/44zzX zzz22233416164 44 zzzzzzzz 23144zzz1114114161 141 146 zzzzz 12111416zz2123111( )141544X zzzzzz 1+16244( )( )(1)1515nnx nu nun201114154nnnnnnzz三、z变换的基本性质与定理( )( )( )( )ZT ax nby naX zbY zab， 为任意常数 ( )( )xxZT x nX zRzR

18、 ( )( )yyZT y nY zRzRmax(,)min(,)xyxyRRRzRRR则若 ( )( )xxZT x nX zRzR ()( )mZT x nmzX zm为任意整数xxRzR则( )( )(3)( )x nu nu nX z例：，求( ) ( )(3)X zZT u nu n解： ( ) (3)ZT u nZT u n3111zzzzzz321(1)zzz2210zzzz若 ( )( )xxZT x nX zRzR( )nzZT a x nXaa为任意常数xxa Rza R( )( )nnnnZT a x na x n z( )nnzzx nXaaxxxxzRRa Rza R

19、a则证：若 ( )( )xxZT x nX zRzR( )( )dZT nx nzX zdz xxRzR2( )( )ZT n x nZT n nx n( )( )dzZT nx ndzddX zzzdzdz 则同理：( )( )nnX zx n z证：( )( )( )()nnnndX zddx n zx nzdzdzdz11( )()( )nnnnx nn zznx n z 1( )z ZT nx n ( )( )xxdX zZT nx nzRzRdz 若 ( )( )xxZT x nX zRzR*( )()ZT x nXzxxRzR*( )( ) ( )()nnnnZT x nx n z

20、x nz*()XzxxRzR则证：若 ( )( )xxZT x nX zRzR1 ()ZT xnXz11xxzRR则 ()()( )nnnnZT xnxn zx n z证：11( )()nnx n zXz111xxxxRRzzRR证：因为x(n)为因果序列( )lim( )(0)zx nX zx对于因果序列，有0( )( )( )nnnnX zx n zx n z12(0)(1)(2)xxzxzlim( )(0)zX zx 设x(n)为因果序列，且X(z)=ZTx(n)的极点处于单位圆以内（单位圆上最多在z=1处可有一阶极点），则：1lim ( )lim(1)( )nzx nzX z11( )

21、lim ( )lim(1)( )Re ( )znzxx nzX zs X z (1)( )(1)( )ZT x nx nzX z证：利用序列的移位，得11 (1)( ) (1)( )lim (1)( )nnnnnmnmx nx n zx nx n zx mx m z11lim(1)( )lim (1)( ) 1nmznmzX zx mx mlim (0)0 (1)(0) (2)(1)nxxxxx (1)( )lim (1)lim ( )nnx nx nx nx n11()lim(1)( )Re ( )zzxzX zs X z 设x(n)为因果序列，即x(n)=0，n0 ( )( )xZT x

22、nX zzR0( )( )1nmzZTx mX zzmax,1xzR则( )x n证： 为因果序列000( )( )nnnmnmZTx mx m z 0( )nmn mx mz110( )111mmzx mzzz 101( )1mmx m zz( )1xzX zzRzmax,1xzRnmm=n0设y(n)为x(n)与h(n)的卷积和：( ) ( )xxX zZT x nRzR( ) ( )( )( )Y zZT y nX zH z( ) ( )hhH zZT h nRzR( )( )* ( )( ) ()my nx nh nx m h nmmax(,)min(,)xhxhRRzRR则且 ( )

23、* ( ) ( )* ( )nnZT x nh nx nh n z证：( ) ()nnmx m h nm z ( )()nmnx mh nm z( )( )( )( )mmx m zH zH z X zmax,min,xhxhRRzRR1LSI ( )( )(1) ( )( )nnnh nb u nabu nx na u n例：已知系统的单位抽样响应：，求系统输入的响应。( ) ( )( ) nzX zZT x nZT a u nzaza解：1( ) ( )( )(1)nnH zZT h nZT b u nabu n1( )(1)nnZT b u naZT bu n1 zzzaazzbzbzb

24、zb( )( )( ) zY zX z H zzbzb( )( )* ( ) ( )( )ny nx nh nIZT Y zb u nRe zIm jz0ba若( ) ( )xxX zZT x nRzR( ) ( ) ( ) ( )Y zZT y nZT x n h n( ) ( )hhH zZT h nRzR( )( )( )y nx nh nxhxhR RzR R11( )2czXH v v dvjv max,min,hhxxzzRvRRR则且 ( ) ( )( ) ( )nnZT x n h nx n h n z证：11( )( )2nncnx nH v vdv zj 1( )( )2n

25、ncndvx nH v vzjv 1( )( )2ncnzdvH vx njvv 11( )2czH v Xv dvjv hhRvRmax,min,hhxxzzRvRRR xhxhR RzR RxxzRRv( )( ), ( ),( )( ) ( )nx nu ny naaw nx n y n例：已知 1 求11( ) 11右半平面 0单位圆内部r1左半平面 0单位圆r=1虚轴 =0Z平面S平面s平面到z平面的映射是多值映射多值映射。T 辐射线=0T平行直线 =0正实轴=0实轴 =0Z平面S平面:/TT:3 /TT /3 /TT:( )( )sTazeX zXs当时，1( )()aaskXsX

26、sjkT而112( )()sTasaz ekkX zXsjkXsjkTTT抽样序列在单位圆上的z变换 =其理想抽样信号的Fourier变换 ( )()()j Tj Taz eX zX eXj( )asjXs Fourier变换是Laplace变换在虚轴上的特例。即: s=jj Tze映射到z平面为单位圆序列的Fourier变换单位圆上序列的z变换()jX e()( )jjz eX eX zT 数字域频率：1()askXjjkT2sT 为周期12akkXjTT()()j TaX eXj五 、序列的Fourier变换及其对称性质() ( )( )jj nnX eDTFT x nx n e11( )

27、()()2jjj nx nDTFTX eX eed若序列x(n)绝对可和，即( )( )j nnnx n ex n 则其Fourier变换 存在且连续，是序列的z变换在单位圆上的值：()jX e()( )( )jjj nz enX eX zx n e若序列的Fourier变换 存在且连续，且是其z变换在单位圆上的值，则序列 x(n)一定绝对可和，将 展成Fourier级数，其系数即为x(n)：()jX e()jX e111( )( )2nzx nX z zdzj (1)1()2jjnjX eedej(1)1()2jjnjX eejedj1()2jj nX eed定义：共轭对称序列：*( )()

28、eex nxn*( )()oox nxn ( )( )( )eox nx nx n共轭反对称序列：任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( ) ( )()2ox nx nxn其中：*1()()()()2jjjjeeXeXeX eXe*1()()()()2jjjjooXeXeX eXe 其中：()jX e()()()jjjeoX eXeXe同样，x(n)的Fourier变换 也可分解成： 序列 Fourier变换()()jx nXeRe ( )()jex nXeIm ( )()jojx nXe( )Re()jex nX e( )Im()jox

29、njX e 序列 Fourier变换Re ( )()()jjex nXeX eIm ( )0()0jojx nXe( )Re()jex nX e( )Im()jox njX e*()()()jjjeX eXeXe实数序列的Fourier变换满足共轭对称性Re()Re()jjX eX eIm()Im()jjX eX e 实部是的偶函数虚部是的奇函数()()jjX eX earg()arg()jjX eX e 幅度是的偶函数幅角是的奇函数六 、离散系统的系统函数、系统的频率响应( )( ) ( )( )( )nnY zH zZT h nh n zX z其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=

30、X(z)H(z)系统的频率响应 ：()jH e()( ) ( )jjz eH eH zDTFT h n单位圆上的系统函数单位抽样响应h(n)的Fourier变换稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆，即频率响应存在且连续H(z)须从单位圆到 的整个z域内收敛 即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内xRz 1）因果：2）稳定：( )nh n 序列h(n)绝对可和，即( )nnh n z 而h(n)的z变换的Roc：1z 3）因果稳定：Roc：/4/4/6/60.2,0.2,0.4,2,2,1.5jjjjeeee例：一系统的极点有： 问什么情况下，系统为因果系统， 什么情况下，系统为稳

31、定系统Re zIm jz0140.2je40.2je0.41.562je62je2z 解：因果系统： 0.41.5z稳定系统：常系数线性差分方程：00()()NMkmkma y nkb x nm00( )( )NMkmkmkma z Y zb zX z101101(1)( )( )/( )(1)MMmmmmmNNkkkkkb zc zH zY zX zKa zd z取z变换则系统函数LSI311( )(1)(2)( )(1)483( )( )123y ny ny nx nx nx ny n例：已知离散系统的差分方程：其中：为输入，为输出。）求系统函数，指出系统的零极点；）若该系统是因果稳定的，

32、指出系统的收敛域；）求该因果稳定系统的单位抽样响应。z解：1）对差分方程两边取 变换：121311( )( )( )( )( )483Y zz Y zz Y zX zz X z1112111111( )33( )3111( )1114824zzY zH zX zzzzz111, 0 , 324zz 零点：极点：系统函数：212z ）由于系统为因果稳定系统， 故收敛域： Re zIm jz00.50.2511/3 111131131111241124zzH zzzzzz 121311112424zH zAAzzzzz 1121211103112324zzzH zAReszzzz3)H(z)h(n

33、) 对求z反变换即得单位抽样响应， 用部分分式法 214141173114324zzzH zAReszzzz 10733( )1124zzH zzz1: 2-12Rocz 根据，查表得 10 17 1( )323 4nnh nu n1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：( )j nx nen ()( )( )( )jn mj nj mmmy nh m eeh m e()j njeH e0( )cos()x nAn000( )() cosarg()jjy nA H enH e2）LSI系统对正弦序列的稳态响应输出同频 正弦序列幅度受频率响应幅度 加权相位为输入相位与系统相位响应之和()jH e0

34、3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应 ( )( )* ( )y nx nh n()()()jjjY eX eH e1( )()()2jjj ny nH eX eed1( )()2jj nx nX eed其中：1()2jj nX eed微分增量（复指数）：利用H(z)在z平面上的零极点分布1()11111(1)()( )(1)()MMmmNMmmNNkkkkc zzcH zKKzd zzd()arg()11()()()()jMjmjj NMjjH emNjkkecH eKeH eeed频率响应：则频率响应的mjjmmmcece kjjkkkdedl e 11arg()arg()MNjmkmkH

35、 eKNM令幅角：11()MmjmNkkH eKl幅度： 零点位置影响凹谷点的位置与深度 零点在单位圆上，谷点为零 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零 极点位置影响凸峰的位置和深度 极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷 极点在单位圆外，系统不稳定( )( )nh na u n ( )( )(1) 1y nx nay naa例：设一阶系统的差分方程：， 为实数 求系统的频率响应。1z( )1( ) ( )1Y zH zzaX zaz解：两边求 变换，得 11()1(1cos)sinjjH eaeaja21/2()(12 cos)sinarg()arctan1cosjjH eaaaH ea 幅度响应：相位

36、响应：2( )( )(1)(2).y nx nax na x n例：设系统的差分方程：110(1)()MMkkax nMa x nk1MM这就是个单元延时及个抽头加权后相加所组成的电路，常称之为横向滤波器，求其频率响应。21,2,.,1jiMizaeiM零点：，1110( )( )z1( ) 01()MMMMMkkMkx nna zzaH za zzazzza解：令，两边取 变换( )( )01( )0nnh nanMh nn当输入为，则输出为其它0(1)zMza极点：， 阶，处零极点相消无限长单位冲激响应（IIR）系统： 单位冲激响应h(n)是无限长序列有限长单位冲激响应（FIR）系统： 单位冲激响应h(n)是有限长序列0001( )1MMmmmmmmNNkkkkkkb zb zH za za z0ka IIR系统：至少有一个0ka FIR系统：全部0b全极点系统：分子只有常数项0b零极点系统：分子不止常数项收敛域 内无极点，是全零点系统0z 00( )()()MNmkmky nb x nma y nk0ka IIR系统：至少有一个有反馈环路，采用递归型结构0ka FIR系统：全部无反馈环路，多采用非递归结构