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1、等差数列及其前项数列本讲稿第一页，共二十页知知能能迁迁移移3 3 在在等等差差数数列列 a an n 中中，a a1616+a a1717+a a1818=a a9 9=-36,=-36,其其前前n n项和为项和为S Sn n.（1 1）求）求S Sn n的最小值，并求出的最小值，并求出S Sn n取最小值时取最小值时n n的值；的值；（2 2）求）求T Tn n=|=|a a1 1|+|+|a a2 2|+|+|a an n|.|.解解 （1 1）设等差数列）设等差数列 a an n 的首项为的首项为a a1 1,公差为公差为d d,a a1616+a a1717+a a1818=3=3a
2、a1717=-36,=-36,a a1717=-12,=-12,d d=3,=3,a an n=a a9 9+(+(n n-9)-9)d d=3=3n n-63,-63,a an n+1+1=3=3n n-60,-60,a an n=3=3n n-630-630 a an n+1+1=3=3n n-600-600 S S2020=S S2121=当当n n=20=20或或2121时，时，S Sn n最小且最小值为最小且最小值为-630.-630.令令,得得2020n n21,21,本讲稿第二页，共二十页（2 2）由（）由（1 1）知前）知前2020项小于零，第项小于零，第2121项等于项等于0
3、 0，以后，以后各项均为正数各项均为正数.当当n n2121时，时，T Tn n=-=-S Sn n=当当n n2121时，时，T Tn n=S Sn n-2-2S S2121=综上，综上，T Tn n=（n n2121，n nN N*）（n n21,21,n nN N*）.本讲稿第三页，共二十页方法与技巧方法与技巧1.1.等差数列的判断方法有等差数列的判断方法有 (1)(1)定义法：定义法：a an n+1+1-a an n=d d(d d是常数是常数)a an n 是等差数列是等差数列.(2)(2)中项公式：中项公式：2 2a an n+1+1=a an n+a an n+2+2(n nN
4、 N*)a an n 是等差数列是等差数列.(3)(3)通项公式：通项公式：a an n=pnpn+q q(p p,q q为常数）为常数）a an n 是等差数列是等差数列.(4)(4)前前n n项项和和公公式式：S Sn n=AnAn2 2+BnBn （A A、B B为为常常数数）a an n 是是等等差数列差数列.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高本讲稿第四页，共二十页2.2.方方程程思思想想和和基基本本量量思思想想：在在解解有有关关等等差差数数列列的的问问题题时时可可以以考考虑虑化归为化归为a a1 1和和d d等基本量，通过建立方程（组）获得解等基本量，通过建立方程（组）获得解.3.3
5、.等差数列的通项公式本身可以由累加法得到等差数列的通项公式本身可以由累加法得到.4.4.等等差差数数列列的的前前n n项项和和公公式式S Sn n=很很像像梯梯形形面面积积公公式式，其其推推导导方方法法也也与与梯梯形形面面积积公公式式的的推推导导方方法法完完全全一一样样.(倒倒序序相加法）相加法）5.5.等等 差差 数数 列列 的的 前前n n项项 和和 公公 式式 S Sn n=nana1 1+d d可可 以以 变变 形形 为为 类似于匀加速直线运动的路程公式，只要把类似于匀加速直线运动的路程公式，只要把d d理解为加速度理解为加速度.本讲稿第五页，共二十页失误与防范失误与防范1.1.如如果
6、果p p+q q=r r+s s,则则a ap p+a aq q=a ar r+a as s,一一般般地地，a ap p+a aq qa ap p+q q，必必须须是两项相加，当然可以是是两项相加，当然可以是a ap p-t t+a ap p+t t=2=2a ap p.2.2.等差数列的通项公式通常是等差数列的通项公式通常是n n的一次函数，除非公差的一次函数，除非公差d d=0.=0.3.3.公公差差不不为为0 0的的等等差差数数列列的的前前n n项项和和公公式式是是n n的的二二次次函函数数，且且常常数数项项为为0.0.若若某某数数列列的的前前n n项项和和公公式式是是n n的的常常数数
7、项项不不为为0 0的的二二次次函函数数，则则该该数数列列不不是是等等差差数数列列，它它从从第第二二项项起起成成等差数列等差数列.4.4.公差公差d d=类似于由两点坐标求直线斜率的计算类似于由两点坐标求直线斜率的计算.5.5.当当d d不为零时，等差数列必为单调数列不为零时，等差数列必为单调数列.6.6.从从一一个个等等差差数数列列中中，每每隔隔一一定定项项抽抽出出一一项项，组组成成的的数数列列仍仍是等差数列是等差数列.本讲稿第六页，共二十页本讲稿第七页，共二十页充分利用等差数列和充分利用等差数列和S Sn n的二次函数性的二次函数性本讲稿第八页，共二十页本讲稿第九页，共二十页本讲稿第十页，共
8、二十页要点梳理要点梳理1.1.等比数列的定义等比数列的定义 如果一个数列如果一个数列 ，那那么么这这个个数数列列叫叫做做等等比比数数列列，这这个个常常数数叫叫做做等等比比数数列列的的 ，通常用字母通常用字母 表示表示.2.2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式 设设 等等 比比 数数 列列 a an n 的的 首首 项项 为为 a a1 1，公公 比比 为为q q，则则 它它 的的 通通 项项a an n=.6.3 6.3 等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和从第二项起，后项与相邻前项的比是从第二项起，后项与相邻前项的比是一个确定的常数（不为零）一个确定的常数（不为零）公比公比q qa
9、 a1 1q qn n-1-1基础知识基础知识 自主学习自主学习本讲稿第十一页，共二十页3.3.等比中项等比中项 若若 ，那么，那么G G叫做叫做a a与与b b的等比中项的等比中项.4.4.等比数列的常用性质等比数列的常用性质（1 1）通项公式的推广：）通项公式的推广：a an n=a am m ,(,(n n，m mN N*).).（2 2）若若 a an n 为为等等比比数数列列，且且k k+l l=m m+n n，（k k，l l，m m，n nN N*），则），则 .（3 3）若若 a an n，b bn n（项项数数相相同同）是是等等比比数数列列，则则 a an n（0 0），），
10、a an nb bn n，仍是等比数列仍是等比数列.G G2 2=a ab bq qn n-m ma ak ka al l=a am ma an n本讲稿第十二页，共二十页基础自测基础自测1.1.设设a a1 1=2,=2,数数列列 a an n+1+1是是以以3 3为为公公比比的的等等比比数数列列，则则a a4 4的的值值为为（）A.80A.80B.81B.81C.54C.54D.53D.53 解析解析 由已知得由已知得a an n+1=(+1=(a a1 1+1)+1)q qn n-1-1,即即a an n+1=33+1=33n n-1-1=3=3n n,a an n=3=3n n-1-1
11、，a a4 4=3=34 4-1=80.-1=80.A本讲稿第十三页，共二十页2.2.等比数列等比数列 a an n 中，中，a a4 4=4,=4,则则a a2 2a a4 4a a6 6等于（等于（）A.4 B.8 C.32 D.64A.4 B.8 C.32 D.64 解析解析 a a4 4是是a a2 2与与a a6 6的等比中项，的等比中项，a a2 2a a6 6=16.=16.a a2 2a a4 4a a6 6=64.=64.D本讲稿第十四页，共二十页3.3.（20092009广广东东文文，5 5）已已知知等等比比数数列列 a an n 的的公公比比为为正正数数，且且a a3 3
12、a a9 9=2 ,=2 ,a a2 2=1,=1,则则a a1 1=（）A.2 B.C.D.A.2 B.C.D.解解析析 设设公公比比为为q q,由由已已知知得得a a1 1q q2 2a a1 1q q8 8=2(=2(a a1 1q q4 4)2 2,即即q q2 2=2.=2.因为等比数列因为等比数列 a an n 的公比为正数的公比为正数,所以所以q q=,=,故故a a1 1=C本讲稿第十五页，共二十页题型一题型一 等比数列的基本运算等比数列的基本运算【例例1 1】已已知知 a an n 为为等等比比数数列列，a a3 3=2=2，a a2 2+a a4 4=，求求 a an n
13、的的通项公式通项公式.根根据据等等比比数数列列的的定定义义、通通项项公公式式及及性性质质建立首项建立首项,公比的方程组公比的方程组.解解 方法一方法一 设等比数列设等比数列 a an n 的公比为的公比为q q，则，则q q00，a a2 2=a a4 4=a a3 3q q=2=2q q，+2+2q q=解得解得q q1 1=，q q2 2=3.=3.思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析本讲稿第十六页，共二十页当当q q=时，时，a a1 1=18=18，a an n=18=18（）n n-1-1=23=233-3-n n.当当q q=3=3时，时，a a1 1=，a an n
14、=3=3n n-1-1=23=23n n-3-3.综上所述，综上所述，a an n=23=233-3-n n或或a an n=23=23n n-3-3.方法二方法二 由由a a3 3=2,=2,得得a a2 2a a4 4=4=4，又，又a a2 2+a a4 4=，则则a a2 2，a a4 4为方程为方程x x2 2-x x+4=0+4=0的两根，的两根，本讲稿第十七页，共二十页a a2 2=a a2 2=6=6a a4 4=6 =6 a a4 4=解得解得或或.当当a a2 2=时时,q q=3,=3,a an n=a a3 3q qn n-3-3=23=23n n-3-3.当当a a2
15、 2=6=6时，时，q q=,=,a an n=23=233-3-n na an n=23=23n n-3-3或或a an n=23=233-3-n n.（1 1）等比数列）等比数列 a an n 中中，a an n=a a1 1q qn n-1-1,S Sn n=中有五个量，可以知三求五；（中有五个量，可以知三求五；（2 2）注意分）注意分类讨论的应用类讨论的应用.探究提高探究提高本讲稿第十八页，共二十页知知能能迁迁移移1 1 已已知知等等比比数数列列 a an n 中中，a a1 1=2,=2,a a3 3+2+2是是a a2 2和和a a4 4的的等等差中项差中项.（1 1）求数列）求数
16、列 a an n 的通项公式；的通项公式；（2 2）记）记b bn n=a an nloglog2 2a an n,求数列求数列 b bn n 的前的前n n项和项和S Sn n.解解 （1 1）设数列）设数列 a an n 的公比为的公比为q q,由题意知：由题意知：2(2(a a3 3+2)=+2)=a a2 2+a a4 4,q q3 3-2-2q q2 2+q q-2=0-2=0，即，即(q q-2)(-2)(q q2 2+1)=0.+1)=0.q q=2=2，即，即a an n=22=22n n-1-1=2=2n n.本讲稿第十九页，共二十页（2 2）b bn n=a an nloglog2 2a an n=n n22n n,S Sn n=12+22=12+222 2+32+323 3+n n22n n.2 2S Sn n=12=122 2+22+223 3+32+324 4+（n n-1-1）22n n+n n22n n+1+1.-得得-S Sn n=2=21 1+2+22 2+2+23 3+2+24 4+2+2n n-n n22n n+1+1=-2-(=-2-(n n-1)2-1)2n n+1+1.S Sn n=2+=2+（n n-1-1）22n n+1+1.本讲稿第二十页，共二十页