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1、第六章曲线曲面投影方法第1页，共51页，编辑于2022年，星期三1 1）点在空间作连续变换方向的）点在空间作连续变换方向的运动轨迹运动轨迹曲线的形成一般有下列三种方式：曲线的形成一般有下列三种方式：2 2）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线6.1 曲线概述曲线概述6.1.1 曲线的形成曲线的形成第2页，共51页，编辑于2022年，星期三3 3）平面与曲面或两曲面相交的交线）平面与曲面或两曲面相交的交线必须指出必须指出：同一曲线可以由几种不同的方法形成。如：同一曲线可以由几种不同的方法形成。如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是二次平面曲线（
2、椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交线。点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交线。第3页，共51页，编辑于2022年，星期三6.1.2 6.1.2 曲线的分类曲线的分类1 1、按、按点的运动有无点的运动有无规律，曲线可分为规律，曲线可分为规则曲线规则曲线（如圆（如圆锥曲线、螺旋线等）和锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线不规则曲线。2 2、按、按曲线上点的分布曲线上点的分布可分为两类：可分为两类：1 1）平平面面曲曲线线曲曲线线上上所所有有点点都都在在同同一一平平面面上上，如二次曲线、渐伸线等；如二次曲线、渐伸线等；2 2）空空间间曲曲线线 曲曲线线上上任任一一
3、连连续续四四个个点点不不在在同同一一平平面面上，如螺旋线等。上，如螺旋线等。第4页，共51页，编辑于2022年，星期三 1）曲线的投影）曲线的投影一般仍为曲线一般仍为曲线，只有当平面曲线所在平面平行于投射线时，只有当平面曲线所在平面平行于投射线时，投影为直线。在正投影条件下，该平面投影为直线。在正投影条件下，该平面垂直于投影面垂直于投影面时，曲线投影为直线时，曲线投影为直线 2）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线的）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线的从属关系从属关系为曲线投为曲线投影的影的不变性不变性 3）代数曲线的投影，其）代数曲线的投影，其次数不变次数不变。如二次
4、曲线的投影仍为二次曲线。如二次曲线的投影仍为二次曲线 4）曲线切线（割线）的投影仍为其投影的切线）曲线切线（割线）的投影仍为其投影的切线（割线）（割线）6.2.1 曲线的投影曲线的投影 特性特性6.2 曲线的投影曲线的投影 特性及其画法特性及其画法第5页，共51页，编辑于2022年，星期三6.2.2 曲线的投影曲线的投影画法画法 一般情况下，曲线至少需要一般情况下，曲线至少需要两个投影两个投影才能确定才能确定出它在空间的形状和位置。出它在空间的形状和位置。按照曲线按照曲线形成的方法形成的方法，依次求出依次求出曲线上一系曲线上一系列点的各面投影，然后把各点的同面投影列点的各面投影，然后把各点的同
5、面投影顺次光顺次光滑连接滑连接即得该曲线的投影。即得该曲线的投影。为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上特殊点特殊点（如（如极限位置点、分界点极限位置点、分界点等）的投影，最好等）的投影，最好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来把这些特殊点以及重影点用字母标注出来 第6页，共51页，编辑于2022年，星期三、D、G均为特殊点均为特殊点B和和F为对为对H面重影点面重影点E为一般点为一般点 第7页，共51页，编辑于2022年，星期三6.36.3圆的投影圆的投影 圆是最简单的平面曲线圆是最简单的平面曲线 根据根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其正投影有圆所在
6、平面相对于投影面的位置不同，其正投影有如下三种情况（这里仅讨论其和两面投影）：如下三种情况（这里仅讨论其和两面投影）：2.1 圆所在平面为投影面平行面圆所在平面为投影面平行面 2.2 圆所在平面为投影面垂直面圆所在平面为投影面垂直面 2.3 圆所在平面为一般位置平面圆所在平面为一般位置平面 第8页，共51页，编辑于2022年，星期三 当圆所在平面为投影当圆所在平面为投影面平行面时，圆在所平行面平行面时，圆在所平行的投影面上的投影反映该的投影面上的投影反映该圆的实形。在另一投影面圆的实形。在另一投影面上的投影为直线，线段的上的投影为直线，线段的长度等于圆的直径长度等于圆的直径6.3.1 圆所在平
7、面为投影面平行面圆所在平面为投影面平行面第9页，共51页，编辑于2022年，星期三6.3.2 圆所在平面为投影面垂直面圆所在平面为投影面垂直面 当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直径。的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为椭圆。在另一投影面上的投影则为椭圆。第10页，共51页，编辑于2022年，星期三6.3.3 圆所在平面为一般位置平面圆所在平面为一般位置平面 当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投影当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴
8、是不同的，必须分均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必须分别求解。别求解。椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影 短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影 第11页，共51页，编辑于2022年，星期三圆的投影圆的投影-处于一般位置时圆的投影与作图方法处于一般位置时圆的投影与作图方法-最大斜度线法最大斜度线法 当圆处于一般位置时，则在各投影面上的投影均为椭圆。可以采用最大当圆处于一般位置时，则在各投影面上的投影均为椭圆。可以采用最大当圆处于一般位置时，则在各投影面上的投影均为椭圆。可以采用最大当圆处于一
9、般位置时，则在各投影面上的投影均为椭圆。可以采用最大斜度线法或变换投影面法来作图。斜度线法或变换投影面法来作图。斜度线法或变换投影面法来作图。斜度线法或变换投影面法来作图。最大斜度线法最大斜度线法第12页，共51页，编辑于2022年，星期三 圆的投影圆的投影-处于一般位置时圆的投影与作图方法处于一般位置时圆的投影与作图方法-变换投影面法变换投影面法变换投影面法变换投影面法特别注意：特别注意：特别注意：特别注意：水平投影的短轴水平投影的短轴水平投影的短轴水平投影的短轴g gh和正投影的短轴和正投影的短轴和正投影的短轴和正投影的短轴g g h 并并并并不一一对应。不一一对应。不一一对应。不一一对应
10、。第13页，共51页，编辑于2022年，星期三方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴 第14页，共51页，编辑于2022年，星期三6.46.4螺旋线螺旋线6.4.1 圆柱螺旋线圆柱螺旋线 一点沿圆柱面直母线作等一点沿圆柱面直母线作等速直线运动，同时该母线又绕速直线运动，同时该母线又绕圆柱面轴线作等速回转运动，圆柱面轴线作等速回转运动，则该点在空间的运动轨迹即为则该点在空间的运动轨迹即为圆柱螺旋线圆柱螺旋线 圆柱螺旋线的三要素圆柱螺旋线的三要素 1 1：圆柱的直径：圆柱的直径 2 2：导程：导程Ph：当动点所在直母线旋转一周时，点沿该：当动点所在直母线旋转一周时
11、，点沿该母线移动的距离称为螺旋线的导程母线移动的距离称为螺旋线的导程 第15页，共51页，编辑于2022年，星期三 旋向：分为旋向：分为右旋右旋、左旋左旋两种两种 右螺旋线的动点运动遵右螺旋线的动点运动遵循右手定则，图上（循右手定则，图上（a)a)可见可见部分右边高；部分右边高；左螺旋线的动点运动左螺旋线的动点运动遵循左手定则，图上遵循左手定则，图上(b)(b)可可见部分左边高见部分左边高 第16页，共51页，编辑于2022年，星期三作图步骤作图步骤 第17页，共51页，编辑于2022年，星期三6.1.2 圆锥螺旋线圆锥螺旋线 一点沿圆锥面直一点沿圆锥面直母线作等速直线运动，母线作等速直线运动
12、，同时该母线又绕圆锥同时该母线又绕圆锥面轴线作等速回转运面轴线作等速回转运动，则该点在空间的动，则该点在空间的运动轨迹即为运动轨迹即为圆锥螺圆锥螺旋线旋线 第18页，共51页，编辑于2022年，星期三 曲面曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空间作有可以看作是一条线（直线或曲线）在空间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹，或者说曲面是规律或无规律的连续运动所形成的轨迹，或者说曲面是运动线所有位置的集合运动线所有位置的集合 如图所示曲面，如图所示曲面，是由是由AA沿着沿着曲线曲线ABC运运动且在运动中始终平动且在运动中始终平行于行于直线直线MN所形成所形成的的 AA称为母线称为母线第19页，共
13、51页，编辑于2022年，星期三母线形状可以是不变的，也母线形状可以是不变的，也可以是不断变化的可以是不断变化的 母线在曲面上的任一位置母线在曲面上的任一位置称为素线，无限接近的相称为素线，无限接近的相邻两素线称为连续两素线邻两素线称为连续两素线 控制母线运动的点、线和控制母线运动的点、线和面称为定点、导线和导面面称为定点、导线和导面它们统称为导元素它们统称为导元素 第20页，共51页，编辑于2022年，星期三 母线由导元素控制按照一定规律运动所形成的曲面母线由导元素控制按照一定规律运动所形成的曲面称为称为规则曲面规则曲面 母线作不规则运动所形成的曲面称为母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则
14、曲面不规则曲面 同一曲面可以由多种方法形成，一般应采同一曲面可以由多种方法形成，一般应采用用最简单的母线最简单的母线来描述曲面的形成来描述曲面的形成 第21页，共51页，编辑于2022年，星期三6.5 曲面的投影曲面的投影 只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，就只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，就可确定一个曲面，因为可确定一个曲面，因为母线母线和和导元素导元素给定后，形成的曲面给定后，形成的曲面将唯一确定。将唯一确定。曲面的轮廓线曲面的轮廓线就是在正投影条件下，包络已知曲面就是在正投影条件下，包络已知曲面的投射柱面与曲面的切线的投射柱面与曲面的切线 当曲面轮廓线与曲面的某些位置的
15、素线重合时，这些当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合时，这些母线称为母线称为界限素线界限素线第22页，共51页，编辑于2022年，星期三 曲面的轮廓线曲面的轮廓线对不同对不同投影面各不相同。投影面各不相同。如图所示，投射柱面与如图所示，投射柱面与曲面的切线曲面的切线T称为曲面对称为曲面对H面的面的轮廓线轮廓线，为曲为曲面轮廓线的面轮廓线的H投影。投影。第23页，共51页，编辑于2022年，星期三6.5.1 曲面的分类曲面的分类 根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分类方根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分类方法。如：法。如：按按母线的形状母线的形状分类，曲面可分为分类，曲面可分为直
16、线面直线面和和曲线面曲线面；按按母线的运动方式母线的运动方式分类，曲面可分为分类，曲面可分为移动面移动面和和回转面回转面；按按母线在运动中是否变化母线在运动中是否变化分类，曲面可分为分类，曲面可分为定母线面定母线面和和变母线面变母线面；按按母线运动是否有规律母线运动是否有规律来分类，曲面可分为来分类，曲面可分为规则曲面规则曲面和和不规则曲面不规则曲面；按按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类，则可分分类，则可分为为可展曲面可展曲面和和不可展曲面不可展曲面。第24页，共51页，编辑于2022年，星期三一、直线面一、直线面1 可展直线面可展直线面 1）柱面柱
17、面 一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导线而形一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导线而形成的曲面称为成的曲面称为柱面柱面。柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面内，所柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面内，所以是以是可展曲面可展曲面。第25页，共51页，编辑于2022年，星期三 作图时，一般应画出作图时，一般应画出导线导线和和曲面的轮廓线曲面的轮廓线，必要，必要时还要画出时还要画出若干素线若干素线及其及其曲面的曲面的H面迹线面迹线 第26页，共51页，编辑于2022年，星期三第27页，共51页，编辑于2022年，星期三直圆柱面直圆柱面 a a a 第28页，共51页，编辑于202
18、2年，星期三几种柱面 直圆柱面直圆柱面 斜圆柱面斜圆柱面 直椭圆柱面直椭圆柱面 斜椭圆柱面斜椭圆柱面 第29页，共51页，编辑于2022年，星期三4.1.2 锥面锥面 一直母线沿曲导线运一直母线沿曲导线运动且动且始终通过一定点始终通过一定点（锥顶）（锥顶）而形成的曲面称为而形成的曲面称为锥面锥面。锥面的相邻两素线为过锥面的相邻两素线为过锥顶的相交直线，位于同一锥顶的相交直线，位于同一平面内，所以是平面内，所以是可展曲面可展曲面。第30页，共51页，编辑于2022年，星期三 作图时，一般只画出作图时，一般只画出锥顶锥顶、导线导线和和曲面的轮廓线曲面的轮廓线，必要时还要画出必要时还要画出若干素线若
19、干素线及及曲面的曲面的H面迹线面迹线 第31页，共51页，编辑于2022年，星期三第32页，共51页，编辑于2022年，星期三 正圆锥面 s s k s k k 过锥顶作一过锥顶作一条素线。条素线。第33页，共51页，编辑于2022年，星期三正圆锥面正圆锥面 斜圆锥面斜圆锥面 正椭圆锥面正椭圆锥面 斜椭圆锥面斜椭圆锥面 第34页，共51页，编辑于2022年，星期三4.1.3 切线面切线面 一直母线在运动过程中一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线相切始终与一空间曲导线相切而而形成的曲面称为形成的曲面称为切线曲面切线曲面 切线曲面是切线曲面是可展直线面可展直线面 第35页，共51页，编辑于202
20、2年，星期三渐开线螺旋面渐开线螺旋面 在作投影图时，首先应画在作投影图时，首先应画出其导线出其导线圆柱螺旋线的投圆柱螺旋线的投影（画法详见影（画法详见），然后沿），然后沿导线取若干点，在各点处作出导线取若干点，在各点处作出导线的一系列切线，即可求出导线的一系列切线，即可求出H投影面迹线，在投影面迹线，在V面投影面投影上应保留轮廓线的投影。上应保留轮廓线的投影。第36页，共51页，编辑于2022年，星期三2）不可展直线面不可展直线面 柱状面柱状面 一直母线沿两条曲导线运动，并始终与一导平面平行，一直母线沿两条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了即形成了柱状面柱状面 柱状面是柱状面是不可展曲
21、面不可展曲面 第37页，共51页，编辑于2022年，星期三锥状面锥状面 一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线运动，一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了并始终与一导平面平行，即形成了锥状面锥状面 锥状面是锥状面是不可展曲面不可展曲面 第38页，共51页，编辑于2022年，星期三双曲抛物双曲抛物 一直母线沿着两条相错的直导线运动，并始终与一直母线沿着两条相错的直导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了一导平面平行，即形成了双曲抛物面双曲抛物面 双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应地有双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应地有两个导两个导平面平面。这两个导平面的
22、交线（。这两个导平面的交线（OZ轴）即为该曲面的轴）即为该曲面的轴线轴线。若两个导平面相互垂直，则称为若两个导平面相互垂直，则称为正双曲抛物面正双曲抛物面，否则称为，否则称为斜双曲抛物面斜双曲抛物面。双曲抛物面的相邻两素线为相错直线，所以是双曲抛物面的相邻两素线为相错直线，所以是不可展不可展曲面曲面 第39页，共51页，编辑于2022年，星期三正双曲抛物面正双曲抛物面斜双曲抛物面斜双曲抛物面第40页，共51页，编辑于2022年，星期三6.66.6 回转曲面回转曲面 母线绕一固定轴作回转运动所形成的曲面称母线绕一固定轴作回转运动所形成的曲面称为为回转曲面回转曲面 固定轴称为固定轴称为回转轴回转轴
23、 在旋转过程中，母线上任一点的轨迹都是圆，这些圆在旋转过程中，母线上任一点的轨迹都是圆，这些圆称为称为纬线圆纬线圆。其圆心在回转轴上，且该圆与回转轴垂。其圆心在回转轴上，且该圆与回转轴垂直直 在这些纬线圆中，比相邻两侧纬线圆都小的纬在这些纬线圆中，比相邻两侧纬线圆都小的纬线圆称为线圆称为喉圆喉圆，比相邻两侧都大的纬线圆称为，比相邻两侧都大的纬线圆称为赤道圆赤道圆。第41页，共51页，编辑于2022年，星期三 画回转曲面的投影图时，画回转曲面的投影图时，通常使其轴线垂直于某一投通常使其轴线垂直于某一投影面，以便简化作图影面，以便简化作图 由于母线可以是直线，也可以是曲线，故回转曲由于母线可以是直
24、线，也可以是曲线，故回转曲面可以分为：面可以分为：直线回转面直线回转面 曲线回转面曲线回转面 组合回转面组合回转面 第42页，共51页，编辑于2022年，星期三6.6.1 直线回转面直线回转面 圆柱面圆柱面 中介绍的直圆柱面可以认为是一直母线围绕与中介绍的直圆柱面可以认为是一直母线围绕与之平行的轴线作回转运动形成的，它是一般柱面的特殊之平行的轴线作回转运动形成的，它是一般柱面的特殊形式。形式。若一个矩形面围绕其中一条边回转则形成若一个矩形面围绕其中一条边回转则形成圆圆柱体柱体。第43页，共51页，编辑于2022年，星期三 圆柱面上求点圆柱面上求点 a a a 第44页，共51页，编辑于2022
25、年，星期三圆锥面圆锥面 中介绍的正圆锥面可以认为是一直母线围中介绍的正圆锥面可以认为是一直母线围绕与之相交的轴线作回转运动形成的，它是一般锥绕与之相交的轴线作回转运动形成的，它是一般锥面的特殊形式。面的特殊形式。若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回转则若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回转则形成形成圆锥体圆锥体。圆锥面上求点有两种方法：圆锥面上求点有两种方法：素线法素线法（介绍）介绍）纬线圆法纬线圆法 第45页，共51页，编辑于2022年，星期三纬线圆法纬线圆法 s s (n)sn(n)第46页，共51页，编辑于2022年，星期三单叶双曲回转面单叶双曲回转面 一直母线围绕一直母线围绕与之相
26、错的轴线作与之相错的轴线作回转运动即形成一回转运动即形成一单叶双曲回转面单叶双曲回转面 单叶双曲回转面单叶双曲回转面的相邻两素线为相错的相邻两素线为相错直线，所以是直线，所以是不可展不可展曲面曲面 第47页，共51页，编辑于2022年，星期三6.6.2曲线回转面曲线回转面 曲线回转面属于曲线面，所有的曲线面曲线回转面属于曲线面，所有的曲线面均为均为不可展曲面不可展曲面 球面球面 一圆母线绕其一条直径作回转运动，即形成一圆母线绕其一条直径作回转运动，即形成球面球面 球面的三个投影都是圆，但三个圆却分别是球面的三个投影都是圆，但三个圆却分别是三个不同界线素线的投影。球面各界线素线上的点，三个不同界线素线的投影。球面各界线素线上的点，应在该界线素线对应的各投影上，已知点的一个投应在该界线素线对应的各投影上，已知点的一个投影，可直接求得另外两个投影。影，可直接求得另外两个投影。第48页，共51页，编辑于2022年，星期三第49页，共51页，编辑于2022年，星期三圆环面圆环面 一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转运动，即形成运动，即形成圆环面圆环面 第50页，共51页，编辑于2022年，星期三椭圆回转面、抛物回转面、双叶双曲回转面椭圆回转面、抛物回转面、双叶双曲回转面第51页，共51页，编辑于2022年，星期三