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1、第五章数值积分第1页，共37页，编辑于2022年，星期三 在在a,b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值次插值多项式多项式 ，即得到，即得到Ak由由 决定，决定，与与 无关。无关。节点节点 f(x)插值型积分公式第2页，共37页，编辑于2022年，星期三误差误差第3页，共37页，编辑于2022年，星期三例：例：对于对于a,b上上1次插值，有次插值，有考察其代数精度。考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式解：解：逐次检查公式是否精确成立逐次检查公式是否精确成立代入代入 P0=1：=代入代入 P1=x：=代入代入 P2=x2：代数精度代数精度=1第4页，共
2、37页，编辑于2022年，星期三抛物型求积公式：二次插值求积公式：第5页，共37页，编辑于2022年，星期三Simpson公式第6页，共37页，编辑于2022年，星期三若若某某个个求求积积公公式式所所对对应应的的误误差差R f 满满足足：R Pk=0 对对任任意意 k n 阶阶的的多多项项式式成成立立，且且 R Pn+1 0 对对某某个个 n+1 阶阶多多项项式式成成立立，则则称此求积公式的称此求积公式的代数精度代数精度为为 n。代数精度：代数精度：第7页，共37页，编辑于2022年，星期三怎样验证代数精度：怎样验证代数精度：第8页，共37页，编辑于2022年，星期三注：形如 的求积公式至少有
3、 n 次代数精度 该公式为插值型（即：）第9页，共37页，编辑于2022年，星期三思考：思考：代数精度是否是越高代数精度是否是越高越好？越好？第10页，共37页，编辑于2022年，星期三梯形公式的误差梯形公式的误差第11页，共37页，编辑于2022年，星期三定理证明第12页，共37页，编辑于2022年，星期三辛普森辛普森(Simpson)(Simpson)求积公式的误差：求积公式的误差：第13页，共37页，编辑于2022年，星期三思考：思考：结论是什么？结论是什么？怎么办？怎么办？第14页，共37页，编辑于2022年，星期三复合求积：复合求积：高次插值有高次插值有Runge 现象，故采用分段低
4、次插值现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 复合求积公式。复合求积公式。复合梯形公式：复合梯形公式：在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：第15页，共37页，编辑于2022年，星期三=Tn/*中值定理中值定理*/怎么办？怎么办？第16页，共37页，编辑于2022年，星期三44444=Sn注：为方便编程，可采用另一记法：令 n=2n 为偶数，这时 ，有 复合复合Simpson公式：公式：第17页，共37页，编辑于2022年，星期三复化求积例：复化求积例：第18页，共37页，编辑于2022年，星期三复化求积例：复化求积例：两种方法谁好？两种方法谁好？第19页，共37页，编辑于
5、2022年，星期三给定精度给定精度 ，如何取，如何取 n?通常采取将区间通常采取将区间不断对分不断对分的方法，即取的方法，即取 n=2k上例中上例中2k 68 k=7注意到区间再次对分时注意到区间再次对分时可用来判断迭代是否停止。第20页，共37页，编辑于2022年，星期三5.2 5.2 高斯型高斯型积分积分构造具有构造具有2n+1次代数精度的求积公式次代数精度的求积公式将节点将节点 x0 xn 以及系数以及系数 A0 An 都作为待定系数。都作为待定系数。令令 f(x)=1,x,x2,x2n+1 代入可求解，得到的公式具代入可求解，得到的公式具有有2n+1 次代数精度。这样的节点称为次代数精
6、度。这样的节点称为Gauss 点点，公，公式称为式称为Gauss 型求积公式型求积公式。第21页，共37页，编辑于2022年，星期三例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有则有4 4个未知量个未知量,可以列出可以列出4 4个方程个方程：（在：（在-1,1-1,1为例）为例）可解出：可解出：数值积分公式数值积分公式具有3阶代数精度，比梯形公式1阶代数精度高第22页，共37页，编辑于2022年，星期三推广：推广：n加权加权GaussGauss积分公式积分公式权函数第23页，共37页，编辑于2022年，星期三例：例：求求 的的 2 点点 G
7、auss 公式。公式。解：设解：设 ，应有，应有 3 次代数精度。次代数精度。+101100)()()(xfAxfAdxxfx代入代入 f(x)=1,x,x2,x3不是线性方程组，不易求解。第24页，共37页，编辑于2022年，星期三 x0 xn 为为 Gauss 点点 与与任任意意次次数数不不大于大于n 的多项式的多项式 P(x)（带权）正交（带权）正交。定理求 Gauss 点 求w(x)第25页，共37页，编辑于2022年，星期三证明：证明：“”x0 xn 为为 Gauss 点点,则公式则公式 至少有至少有 2n+1 次代数精度。次代数精度。对任意次数对任意次数不大于不大于n 的多项式的多
8、项式 Pm(x)，Pm(x)w(x)的次数的次数不大于不大于2n+1，则代入公式应则代入公式应精确成立精确成立：0=0“”要证明要证明 x0 xn 为为 Gauss 点，即要证公式对任意次点，即要证公式对任意次数数不大于不大于2n+1 的多项式的多项式 Pm(x)精确成立，即证明：精确成立，即证明：设设0 第26页，共37页，编辑于2022年，星期三 正交多项式族正交多项式族 0 0,1 1,n n,有性质：有性质：任意次数不大于任意次数不大于n n 的多项式的多项式 P P(x x)必与必与 n n+1+1 正交。正交。若取若取 w(x)为其中的为其中的 n+1，则，则 n+1的根的根就是就
9、是 Gauss 点。点。第27页，共37页，编辑于2022年，星期三再解上例：再解上例：+101100)()()(xfAxfAdxxfxStep 1：构造正交多项式构造正交多项式 2设设cbxxxaxxx+=+=2210)(,)(,1)(53-=a0)(10=+dxaxx0),(10=+-=+=1021102100)(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxx 215910=-=cb即：即：第28页，共37页，编辑于2022年，星期三Step 2：求求 2=0 的的 2 个根，即为个根，即为 Gauss 点点 x0，x1Step 3：代入代入 f(x)=1,x 以求解以求解 A
10、0，A1解线性方程组，简单。结果与前一方法相同：结果与前一方法相同：利用此公式计算利用此公式计算 的值的值第29页，共37页，编辑于2022年，星期三Matlab Matlab 积分函数积分函数函数名功能quad采用Simpson计算积分。精度高，较常用quad8采用8样条Newton-Cotes公式计算积分。精度高，最常用trapz采用梯形法计算积分。精度差，速度快cumtrapz 采用梯形法求一区间上的积分曲线。精度差，速度快sum等宽矩形法求定积分。精度很差，速度快，一般不用cumsum等宽矩形法求一区间上的积分曲线。精度很差，速度快，一般不用第30页，共37页，编辑于2022年，星期三
11、q=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)q=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)q=quad8(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)q=quad8(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)参数参数funfun是被积函数是被积函数,可以是表达式字符串、内联函可以是表达式字符串、内联函数、数、M M函数文件名，被积函数的自变量一般采用字母函数文件名，被积函数的自变量一般采用字母 x x；a a、b b分别是积分的上、下限，都为确定的值；分别是积分的上、下限，都为确定的值；tol tol 是是一二元向量，第一个元素控制相对误差，
12、第二个元素控一二元向量，第一个元素控制相对误差，第二个元素控制绝对误差；制绝对误差；tracetrace若取非零值，将以动态图形展现积若取非零值，将以动态图形展现积分的整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值为分的整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值为0 0；p1p1、p2p2是向被积函数传递的参数。是向被积函数传递的参数。在调用函数时，前三个参数是必须的，其余参数在调用函数时，前三个参数是必须的，其余参数可缺省。可缺省。第31页，共37页，编辑于2022年，星期三Matlab Matlab 积分函数积分函数符号积分：符号积分：int(f)int(f)int(f)int(f)对对对对f f f
13、 f表达式的缺省变量求积分表达式的缺省变量求积分表达式的缺省变量求积分表达式的缺省变量求积分int(f,v)int(f,v)int(f,v)int(f,v)对对对对f f f f表达式的表达式的表达式的表达式的v v v v变量求积分变量求积分变量求积分变量求积分int(f,v,a,b)int(f,v,a,b)int(f,v,a,b)int(f,v,a,b)对对对对f f f f表达式的表达式的表达式的表达式的v v v v变量在（变量在（变量在（变量在（a,b)a,b)a,b)a,b)区间求定积分区间求定积分区间求定积分区间求定积分第32页，共37页，编辑于2022年，星期三5.3 5.3 积分积分方程的数值求解方程的数值求解怎么求解？怎么求解？第33页，共37页，编辑于2022年，星期三求解思路：求解思路：n用数值积分代替积分第34页，共37页，编辑于2022年，星期三代入代入 未知未知第35页，共37页，编辑于2022年，星期三精度与未知数个数？精度与未知数个数？第36页，共37页，编辑于2022年，星期三作业：作业：思考题：1（a,b,c,d）习题：2（a，b），3（a,c）第37页，共37页，编辑于2022年，星期三