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1、第五章第五章 数值积分方法数值积分方法5.1 插值型求积公式插值型求积公式5.2 复合梯形公式复合梯形公式5.3 其他复合求积公式其他复合求积公式5.4 数值积分公式的代数精度与高斯求积数值积分公式的代数精度与高斯求积 公式公式abf(x)数值积分的应用背景数值积分的应用背景:1)被积函数的原函数不能表示为初等函数被积函数的原函数不能表示为初等函数2)某些实际问题仅有一些离散函数值某些实际问题仅有一些离散函数值,无法给无法给3)出被积函数表达式出被积函数表达式3)被积函数过于复杂被积函数过于复杂,难以求得其原函数难以求得其原函数借助于被积函数在一些点的函数值借助于被积函数在一些点的函数值,推算
2、出满推算出满足一定精度的定积分近似值足一定精度的定积分近似值-数值积分方法数值积分方法预备知识预备知识牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式如果函数如果函数f(x)在区间在区间a,b上连续，且原函数为上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿，则可用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 来求定积分。来求定积分。预备知识预备知识积分中值定理积分中值定理若若f是是a,b上的连续函数，则存在上的连续函数，则存在x xa,b，使，使 预备知识预备知识广义积分中值定理广义积分中值定理若若f在在a,b上连续，上连续，g在在a,b上可积，且上可积，且g(x)在在a,b上不变号，存在上不变号，存在x x,x xa,b，使，使
3、数值积分问题牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式u 找原函数很困难，有些原函数不能用初等函数表示找原函数很困难，有些原函数不能用初等函数表示 u 原函数表达式过于复杂原函数表达式过于复杂 u f(x)是由测量或计算得到的数据表是由测量或计算得到的数据表 yy=f(x)xbaoxk+1xkxk-1数值积分问题5.1 插值型求积公式f(x)在这些节点的值在这些节点的值f(xi)，求定积分，求定积分定义定义设有计算设有计算 的求积公式的求积公式如其求积系数如其求积系数 ，则称此求，则称此求积公式为插值型求积公式积公式为插值型求积公式.定积分转换成被积函数的有限个函数值的线性组合，无需求被积函数的原函数.
4、5.1 插值型求积公式两点公式两点公式 x0=a,x1=b,n=1 梯形公式：梯形公式：5.1 插值型求积公式一、梯形公式-两点线性插值几何意义：用梯形面几何意义：用梯形面积代替被积函数的曲积代替被积函数的曲边梯形面积边梯形面积梯形公式误差梯形公式误差5.1 插值型求积公式广义积分中值定理广义积分中值定理若若f在在a,b上连续，上连续，g在在a,b上可积，且上可积，且g(x)在在a,b上不变号，存在上不变号，存在x x,x xa,b，使，使 利用这一定理梯形与曲边梯形面积的对比：正负决定 三点二次拉格朗日插值积分三点二次拉格朗日插值积分-辛卜生公式辛卜生公式xx00 xx22xx11y=f(x
5、)L2(x)5.1 插值型求积公式辛卜生公式辛卜生公式:取取x0=a,x1=(a+b)/2,x2=b,n=2辛卜生公式：辛卜生公式：5.1 插值型求积公式误差 精度较梯形高yxoy=f(x)ab5.2 复合梯形公式复合梯形公式 分段线性插值分段线性插值-复合梯形法复合梯形法 1.等分求积区间，比如取步长等分求积区间，比如取步长 ，分，分a,b为为n等分，分点为等分，分点为 2.,k=0,1,2,n2.在区间在区间 xk,xk+1上求上求 3.取和值取和值，作为整个区间上的积分近似值，作为整个区间上的积分近似值 复合梯形公式复合梯形公式 误差由各小区间梯形误差累加小区间增多,误差减小控制x0 x
6、1x2xkxk+1xn-1xn复合梯形公式复合梯形公式(节点加密节点加密)复合梯形公式复合梯形公式(节点加密节点加密)由 递推逐渐逼近，达到计算精度即停止。条件成立则终止计算并以T2n为定积分 的近似值教材P68-例例5.1(1)牛顿-莱布尼兹公式0.8670(2)梯形公式0.75(3)辛卜生公式0.8775(4)复合梯形公式T4=0.86175.3 其它复合求积公式其它复合求积公式 借用借用积分中值定理积分中值定理若若f是是a,b上的连续函数，则存在上的连续函数，则存在x xa,b，使得，使得将其用于积分的近似计算，取=b,得-积分右矩形公式复合右矩形公式复合右矩形公式如在区间a,b内插入节
7、点xj=a+jh(j=0,1,n),h=(b-a)/n得到复合右矩形求积公式复合右矩形求积公式：利用拉格朗日中值定理求右矩形公式的误差估计复合右矩形公式复合右矩形公式复合辛卜生公式复合辛卜生公式 记记每2个节点间增加一个中值节点,节点数由n2n.节距变为h=(b-a)/2n.展开展开,得得利用数据表利用数据表 xk01/81/43/81/25/83/47/81f(xk)43.938463.7647 3.5068 3.2000 2.87642.46002.265492计算积分计算积分复合求积方法比较复合求积方法比较 取取n=8用复合梯形公式用复合梯形公式=取取n=4,用复合辛卜生公式用复合辛卜生
8、公式复化求积方法复化求积方法 定义定义如果一个求积公式如果一个求积公式(a)对于次数不超过对于次数不超过m的多项式的多项式均能均能准确准确成立，但至少对一个成立，但至少对一个m+1次多项式次多项式不准不准确确成立，则称该求积公式具有成立，则称该求积公式具有m次代数精度次代数精度。定理定理 对于求积公式对于求积公式(a)具有具有m次代数精度的充分必要条次代数精度的充分必要条件为该公式对件为该公式对 f(x)=1,x,.xm 精确成立精确成立，而对，而对f(x)=xm+1，不精确成立。，不精确成立。5.4 数值积分公式的代数精度求代数精度的阶数求代数精度的阶数-确定以下求积公式的代数精度确定以下求
9、积公式的代数精度5.4 数值积分公式的代数精度?阶代数精度阶代数精度1阶代数精度阶代数精度?阶代数精度阶代数精度5.4 数值积分公式的代数精度证明代数精度的阶数证明代数精度的阶数若求积节点若求积节点xk任意选取，则求积公式中含有任意选取，则求积公式中含有2n+2个待定个待定参数参数xk和和Ak(k=0,1,n),适当选取这些参数，可使求积适当选取这些参数，可使求积公式具有公式具有2n+1次代数精度，称这种用次代数精度，称这种用n+1个求积节点而个求积节点而具有具有2n+1次代数精度的求积公式为次代数精度的求积公式为高斯求积公式高斯求积公式，n+1个节点为个节点为高斯点高斯点。5.4 高斯求积公
10、式对于插值型求积公式例例：求形如：求形如 的两点高斯求积公式。的两点高斯求积公式。梯形公式：梯形公式：高斯公式：高斯公式：对求积公式中的四个待定系数对求积公式中的四个待定系数A0,A1,x0,x1适当选取，适当选取，使求积公式对使求积公式对f(x)=1，x，x2，x3 都准确成立都准确成立 3次代数精度次代数精度5.4 高斯求积公式5.4 高斯求积公式求三点高斯求积公式求三点高斯求积公式高斯公式：高斯公式：对求积公式中的对求积公式中的6个待定系数个待定系数A0,A1,A2,x0,x1,x2，使求积公式对使求积公式对f(x)=1,x,x2,x3,x4,x5都准确成立都准确成立 代数精度阶数代数精
11、度阶数(2n+1)=55.4 高斯求积公式n+1个求积节点数为个求积节点数为3n=2得三点高斯求积公式得三点高斯求积公式:5.4 高斯求积公式高斯求积公式在定积分高斯求积公式在定积分 中的应用中的应用构造对应函数构造对应函数x(t)=k+jt,使使x(-1)=a且且x(1)=b 得得 k=(a+b)/2,j=(b-a)/2，相应有，相应有P75.例5.6(1)梯形公式0.75(2)辛卜生公式0.8775(3)复合梯形公式T4=0.8617求二重积分的四点高斯求积公式求二重积分的四点高斯求积公式(了解了解)其中:将二点高斯求积公式直接应用到二重积分的累次积分中3.用用n=8的复合梯形求积公式，计算积分的复合梯形求积公式，计算积分 并与精确值(I=0.88208139)比较。(计算中保留6位小数)2.习题五习题五 5.8,P80作作 业业1.P78，实验五，实验五 5.1,积分区间改成积分区间改成2,3.(增加增加(5)用两点高斯求积公式用两点高斯求积公式）