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1、第四节无穷小与无穷大1本讲稿第一页，共二十页【无穷小产生的背景无穷小产生的背景第二次数学危机第二次数学危机】芝诺提出的四个著名的悖论：芝诺提出的四个著名的悖论：第一个悖论第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路如此下去，如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。第二个悖论第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌
2、龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟总在他的前面。总在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的2本讲稿第二页，共二十页第四个悖论第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似是游行队伍悖论，内容大体相似 第三个悖论第三个悖论是说是说“飞矢不动飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。隔中确定的位置上，因而是静止的。这两个悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成这两个
3、悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成 这说明希腊人已经看到这说明希腊人已经看到“无穷小无穷小”与与“很小很小很小很小”的矛盾。当然他们无法解的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。决这些矛盾。十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，其中特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积础的可靠与否，其中特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；发散级数求和的任意性；符号分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；发散级数求和的任意性；符号使用的不严格性；
4、不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以使用的不严格性；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。及可否展成幂级数等等。例如例如以求速度为例，瞬时速度是以求速度为例，瞬时速度是s/t当当t趋向于零时的值。趋向于零时的值。t是零、是很小是零、是很小的量，还是什么东西？这个无穷小量究竟是不是零？这引起了极大的争论，的量，还是什么东西？这个无穷小量究竟是不是零？这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。从而引发了第二次数学危机。3本讲稿第三页，共二十页一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比
5、较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺不仅承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定波尔查诺不仅承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在义。柯西在1821年的年的代数分析教程代数分析教程中从定义变量开始，认识到函数不一定中从
6、定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的通用的-的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，的极限、连
7、续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。从而克服了危机和矛盾。十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。终于建立在实数理论的严格基础之上了。4本讲稿第四页，共二十页一、无穷小1.【直观直观定义定义】极限为零的极限为零的变量变量称为称为无穷小无穷小5本讲稿第五页，共二十页【例如例如】【注意注意】（
8、1）无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数零是可以作为无穷小的唯一的常数.（3）说一个量是无穷小，必须指明其变化过程说一个量是无穷小，必须指明其变化过程6本讲稿第六页，共二十页2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:【证证】【定理定理1 1】时时,有有对自变量的其它变化过程类似可证对自变量的其它变化过程类似可证 .7本讲稿第七页，共二十页【意义意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小););牛牛莱称莱称无穷小分析无穷小分析【补例补例】写成其极限值与一个无穷小之和的形式写成
9、其极限值与一个无穷小之和的形式.【解解】故故f(x)能写成其极限值与一个无穷小之和能写成其极限值与一个无穷小之和.8本讲稿第八页，共二十页二、无穷大1.【直观直观定义定义】绝对值无限增大的绝对值无限增大的变量变量称为称为无穷大无穷大的的 x,总有总有则称函数则称函数当当时为时为无穷大无穷大,使对使对一切满足不等式一切满足不等式(或正数或正数 X),记作记作【精确精确定义定义2】设设f(x)在在 内有定义（内有定义（或或|x|大于大于 某一正数时有定义某一正数时有定义）,若任给若任给 M 0,总存在总存在9本讲稿第九页，共二十页【特殊情形特殊情形】正无穷大正无穷大+，负无穷大，负无穷大【注意注意
10、】(1)无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;常数中不存在无穷大常数中不存在无穷大.(3)(3)无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,而无界变量未而无界变量未必是无穷大，但它至少有一个无穷大子列必是无穷大，但它至少有一个无穷大子列(2)若上述定义中将若上述定义中将 式改为式改为则记作则记作10本讲稿第十页，共二十页【无穷大无穷大】【无界量无界量】【比喻比喻】无穷大无穷大某过程中，组织纪律性强，某时刻后，步某过程中，组织纪律性强，某时刻后，步调一致地向无穷远跑调一致地向无穷远跑.无界量无界量某范围内的某过程中，较自由、散漫，有的向无穷某范围内的某过程中，
11、较自由、散漫，有的向无穷远跑，有的掉队，有的原地踏步不动，行动不一致远跑，有的掉队，有的原地踏步不动，行动不一致.无穷大必无界，但无界未必是无穷大无穷大必无界，但无界未必是无穷大.【两者区别与联系两者区别与联系】11本讲稿第十一页，共二十页由此可知由此可知不是无穷大不是无穷大有无穷大子列，故有无穷大子列，故无界无界.【例如例如】不是无穷大不是无穷大.12本讲稿第十二页，共二十页【证证】【例例1】13本讲稿第十三页，共二十页2.【铅直渐近线铅直渐近线】(1)铅直渐近线铅直渐近线【例如例如】是函数是函数的铅直渐近线。的铅直渐近线。(2)水平渐近线水平渐近线(3)小结求渐近线小结求渐近线14本讲稿第
12、十四页，共二十页【例例2】【解解】15本讲稿第十五页，共二十页三、无穷小与无穷大的关系【定理定理2】在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷无穷大的倒数为无穷 小小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.【证证】【分析分析】注意到注意到由无穷大定义由无穷大定义16本讲稿第十六页，共二十页关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.由无穷小定义由无穷小定义【意义意义】17本讲稿第十七页，共二十页四、小结1.主要内容主要内容:两个定义两个定义;两个定理两个定理.铅直渐近线铅直渐近线2.几点注意几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1 1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小不能与很小 0000000000（大）（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷大必无界；无界变量未必是无穷大无穷大必无界；无界变量未必是无穷大.18本讲稿第十八页，共二十页【思考题思考题】19本讲稿第十九页，共二十页【思考题解答思考题解答】不能保证不能保证.【例例1】有有【例例2】有有20本讲稿第二十页，共二十页