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1、5.10 解斜三角形的应用举例解斜三角形的应用举例 我国古代很早就有测我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世量方面的知识，公元一世纪的纪的周髀算经周髀算经里，已里，已有关于平面测量的记载，有关于平面测量的记载，公元三世纪，公元三世纪，我国数学家我国数学家刘徽在计算圆内接正六边刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角就已经取得了某些特殊角的正弦的正弦人教版高一人教版高一数学数学（下）第五章第十节（下）第五章第十节上虞中学上虞中学上虞中学上虞中学 谢金怀谢金怀谢金怀谢金怀一、名称术语一、名称术语1.坡角和坡度坡角和坡度坡面与坡面与水平面的夹角叫
2、坡角水平面的夹角叫坡角.坡面坡面水平面水平面如图角如图角A是是斜坡斜坡AB的坡角的坡角.坡面的垂直高度坡面的垂直高度h和水平宽度和水平宽度L的比叫坡度的比叫坡度,用用i表示表示.如图所示：坡度如图所示：坡度i=h/L.根据定义可知：坡度是坡角的正切，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即即i=tanA.ABChL2.俯角、仰角俯角、仰角 如图所示，在同一铅如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标平线所成的夹角中，目标视线在水平线的上方时叫视线在水平线的上方时叫仰角，目标视线在水平线仰角，目标视线在水平线的下方时叫俯角的下方时叫俯角.铅垂线视线视线视线视线
3、水平线水平线仰角仰角俯角俯角3.方位角：方位角：以指北方向为始边，顺时以指北方向为始边，顺时针方向旋转到目标方向线的水针方向旋转到目标方向线的水平角叫方位角如图所示平角叫方位角如图所示A的的方位角为方位角为 ，B的方位角为的方位角为 .方位角的范围为方位角的范围为 .AB北北4.象限角象限角 以以观观察察者者位位置置为为原原点点，东东、南南、西西、北北四四个个方方向向把把平平面面分分成成四四个个象象限限，以以正正北北或或正正南南方方向向为为始始边边旋旋转转到到目目标标方方向向线线的的锐锐角角称称为为象象限限角角如如右右图图所所示示，称称A在在O的的北北偏偏东东处，处，B在在的南偏东的南偏东处处
4、东东南南西西北北观察者观察者OAB1 1、不要紧张，理清题意不要紧张，理清题意，弄清已知和所，弄清已知和所求；求；2 2、根据、根据题题意，画出示意图；意，画出示意图；3 3、将实际问题转化为数学问题，即、将实际问题转化为数学问题，即将将问题归纳到一个或几个三角形中，并问题归纳到一个或几个三角形中，并写写出已知所求；出已知所求；4 4、正确运用正、余弦定理进行解答、正确运用正、余弦定理进行解答二、解斜三角形的一般步骤：二、解斜三角形的一般步骤：例例1 1 自动卸货汽车的车厢采用液压机构自动卸货汽车的车厢采用液压机构.设计时设计时需要计算油泵顶杆需要计算油泵顶杆BCBC的长度的长度.已知车厢的最
5、大仰角已知车厢的最大仰角为为6060，油泵顶点，油泵顶点B B与车厢支点与车厢支点A A之间的距离为之间的距离为1.951.95m,ABm,AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为6 6 2020，ACAC长为长为1.401.40m,m,计算计算BCBC的长（保留三位有效数字）的长（保留三位有效数字）.A60CB620AC单击图象动画演示A60CB620解：CAB=60+620=66 20BC2=AB2+AC2 2ABACcosA 3.571 BC 1.89(m).答：顶杆BC约长1.89m.已知ABC中，AB=1.95,AC=1.40,CAB=60+620=66 20,求BC的长.例例2
6、 2如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕绕C点旋转点旋转时，通过连杆时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在在A处，设连处，设连杆杆AB长为长为340mm，由柄由柄CB长为长为85mm，曲柄自曲柄自CB按顺时针方按顺时针方向旋转向旋转80，求活塞移动的距离（即连杆的端点，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距移动的距离离 ）（精确到）（精确到1mm）单击图象动画演示已知已知ABC中，中，BC85mm，AB34mm，C
7、80，求求AC 解：（如图）在解：（如图）在ABC中，中，由正弦定理可得：由正弦定理可得：因为因为BCAB，所以所以A为税角为税角，A1415 B180（AC）8545 又由正弦定理：又由正弦定理：答：活塞移动的距离为答：活塞移动的距离为81mm 解：如图，在解：如图，在ABC中由余弦定理得：中由余弦定理得：A 例例3.我我舰舰在在敌敌岛岛A南南偏偏西西50相相距距12海海里里的的B处处，发发现现敌敌舰舰正正由由岛岛沿沿北北偏偏西西10的的方方向向以以10海海里里/小小时时的的速速度度航航行行问问我我舰舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？小时追
8、上敌舰？CB 我舰的追击速度为我舰的追击速度为14n mile/h又在又在ABC中由正弦定理得：中由正弦定理得：故我舰行的方向为北偏东故我舰行的方向为北偏东1.1.已知从烟囱底部在同一水平线上的已知从烟囱底部在同一水平线上的C C、D D两处两处，测测得烟囱的仰角分别是得烟囱的仰角分别是=3512=3512、=4928=4928 、CDCD间的距离是间的距离是11.1211.12m m,测角仪高测角仪高1.521.52m.m.求烟囱的高求烟囱的高.解：C1BD1=1416,BD1=26.01.C1D1sin sin C1BD1 A1B=BD1sin 19.77,AB=A1B+AA1 21.29
9、(m).答：烟囱的高约为21.29m.练习练习2.2.从高为从高为h h的气球上测铁的气球上测铁桥长，测得桥头桥长，测得桥头B B的俯角是的俯角是，桥头桥头C C的俯角是的俯角是，求求该桥长该桥长.解法一：hsin AB=,hsin AC=.解法二：BC=HC HB=hcot hcot.HBC2=AB2+AC2 2ABACcos().(BC=)ABsin()sin hsin()sin3.当倾斜角等于1230的山坡上竖立一根旗杆.当太阳的仰角是3740时，旗杆在山坡上的影子的长是31.2m,求旗杆的高.12303740解：在三角形ABC中，ACB=3740 B=90,A=5220.DCB=123
10、0又 CD=31.2,ACD=2510 AD=16.8.CDsinACD sinA答：旗杆的高为16.8m.ADCB4、计算要认真，可使用计算器、计算要认真，可使用计算器解斜三角形理论应用于实际问题应注意：解斜三角形理论应用于实际问题应注意：1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素2、要明确题目中一些名词、术语的意义如、要明确题目中一些名词、术语的意义如视角，仰角，俯角，方位角等等视角，仰角，俯角，方位角等等3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决将已知和未知集中到一个三角形中解决三、小结三、小结四、今日作业1.P136 练习 2.第2题；2.习题5.10 第1，2，3,4题.谢谢各位同学配合！谢谢各位同学配合！再见再见