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1、1.3.2 1.3.2 球的体积和表面积球的体积和表面积 如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？为什么？实际问题实际问题 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？哪一个球充入的气体较多？为什么？实际问题实际问题 怎样求球的表面积和体积？怎样求球的表面积和体积？提出问题提出问题 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一
2、样展成球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？实验方法实验方法h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积实验方法实验方法h实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积实验方法实验方法小小球球的的体体积积等于它它排排开开液液体体的的体体积积曹冲称象曹冲称象Hn=6n=12A1A2OA2A1AnOpA3回顾圆面积公式的推导回顾圆面积公式的推导温故知新温故知新 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了积公式而发明了“倍边法割圆术倍边法割圆术
3、”他用加倍的方式他用加倍的方式不断增加圆不断增加圆内接正多边形内接正多边形的边数，使其面积与圆的面的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小割之弥细，所失弥小”这样这样重复下去，就达到了重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”这是世界上最早的这是世界上最早的“极限极限”思想思想极限思想极限思想已知球的半径为已知球的半径为R,用用V表示球的体积表示球的体积.AOAOB2C2r2r3r1球的体积球的体积OA球的体积球的体积 通过割圆术可以吧一个圆近似分割通过割圆术可以吧一个圆近似分割为一
4、些列的圆台，从而求得球体体积。为一些列的圆台，从而求得球体体积。在球的体积公式的推导过程中，使用了在球的体积公式的推导过程中，使用了“分割、求近似值、再将近似值转化为球的体积分割、求近似值、再将近似值转化为球的体积”的方法：的方法：球的体积球的体积 即先将半径即先将半径 n 等分；再求出每一部分体积等分；再求出每一部分体积的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；当近似体积；当 n 无限变大时，就可得到半球的无限变大时，就可得到半球的体积体积例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积.定理定理:半径是半径是R的球的体积的
5、球的体积球的体积球的体积 例例4 某街心花园有许多钢球（钢的密度是某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/cm3），），每个钢球重每个钢球重145kg，并且外径等于，并且外径等于50cm，试根据以上数据，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的（判断钢球是实心的还是空心的（取取3.14，结果精确到，结果精确到1cm）解：解：由于外径为由于外径为50cm的钢球的钢球的质量为：的质量为：街心花园中钢球的质量为街心花园中钢球的质量为145000g，而，而145000517054，所，所以钢球是空心的以钢球是空心的1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来体积变为原来的几倍的
6、几倍?2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,求这个球的体积求这个球的体积.8倍倍 球面不能展开成平面图形，所以求球的表球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢式呢?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法,得到启发，得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式球的表面积球的表面积第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的表面积：O球的表面积
7、球的表面积O例例.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个顶它的各个顶点都在球点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：变题变
8、题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。关键关键：找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球球(即球体即球体):):球面所围成的几何体。球面所围成的几何体。它包括它包括球面球面和和球面所包围的空间球面所包围的空间。半径是半径是R R的球的体积：的球的体积：推导方法推导方法：分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和小结：小结：(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的倍。倍。(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的倍。倍。(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是。(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是。练习：练习：