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1、生活中存在着各种形式的抛物线生活中存在着各种形式的抛物线抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程MNNM椭圆与双曲线的第二定义与一个定点的距离和一条定直线的距离的比与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数是常数e的点的轨迹的点的轨迹，xyoxyoFFFF 当当0e 1时，是椭圆，时，是椭圆，当当e1时，是双曲线。时，是双曲线。当当e=1时，它又是什么曲线？时，它又是什么曲线？平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线。定点定点F F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点。定直线定直线L L叫做抛物线的叫做抛物线的准
2、线准线。抛物线的定义抛物线的定义即即:FMLNlNFM求曲线方程求曲线方程的基本步骤的基本步骤是怎样的？是怎样的？想想一一想想？抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导1.1.建建:建立直角坐标系建立直角坐标系.3.列列:根据条件列出等式根据条件列出等式;4.代代:代入坐标与数据代入坐标与数据;5.化化:化简方程化简方程.2.2.设设:设点设点(x,y);(x,y);回顾求曲线方程一般步骤：回顾求曲线方程一般步骤：xyoFMlNK设设KF=p则则F（，0），），L：x=-p2p2设动点设动点M的坐标为（的坐标为（x，y）由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，化简得化简得 y2=2px（p0）
3、2解：如图，取过焦点解：如图，取过焦点F F且垂直于准线且垂直于准线L L的直的直线为线为x x轴，线段轴，线段KFKF的中垂线为的中垂线为y y轴轴 抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导(p 0)方方程程y y2 2=2px=2px叫叫做做抛物线的抛物线的标准方程标准方程.它它表表示示的的抛抛物物线线焦焦点点在在x x轴轴的的正正半半轴轴上上,焦焦点坐标是点坐标是 ,它的准线方程是它的准线方程是 抛物线的标准方程xyol lFK其中其中p为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离焦点到准线的距离(焦准距焦准距)准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程焦点位
4、置焦点位置 图图 形形 四种抛物线及其它们的标准方程四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的轴的正半轴上正半轴上 x轴的轴的负半轴上负半轴上 y轴的轴的正半轴上正半轴上 y轴的轴的负半轴上负半轴上y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(-第第一一：一一次次项项的的变变量量如如为为X（或或Y）则焦点就在则焦点就在X轴（或轴（或Y轴）上。轴）上。抛物线的特征：抛物线的特征：抛物线的特征：抛物线的特征：如何判断抛物线的焦点位置，开口方向如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？第二：一次项的系数的正负决第二：一次项的系数的正负决定了开口方向定了开口方向 即：焦点与一次项变量相同；正即：焦点与一
5、次项变量相同；正负决定开口方向负决定开口方向！1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）y2=20 x （2）y=2x2（3）2y2+5x=0 （4）x2+8y=0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x=-5（0，）18y=-188x=5（-，0）58（0，-2）y=2练习：练习：注意：求抛物线的焦点注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为一定要先把抛物线化为标准形式标准形式2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）（2）准线方程）准线方程 是是x=（3）焦点
6、到准线的距离是）焦点到准线的距离是2解：解：y2=12x解：解：y2=x解：解：y2=4x或或y2=-4x 或或x2=4y或或x2=-4y练习：练习：例例1：求过点：求过点A（-3，2）的抛物线的的抛物线的 标准方程。标准方程。AOyx解：解：1）设抛物线的标准方程为）设抛物线的标准方程为 x2=2py，把把A（-3，2）代入代入，得得p=2）设抛物线的标准方程为）设抛物线的标准方程为 y2=-2px，把把A（-3，2）代入代入，得得p=抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2=y或或y2=x 。题型一：抛物线的标准方程题型一：抛物线的标准方程例例2:已知抛物线方程为已知抛物线方程为x=ay2
7、（a0)，讨论抛讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？解：抛物线的方程化为：解：抛物线的方程化为：y2=x1a4a1焦点坐标是（，0），准线方程是：x=4a1当当a0时时,抛物线的开口向右抛物线的开口向右p2=14a例题讲解例题讲解例例3、点点M与点与点F(4，0)的距离比它到直线的距离比它到直线 l:x+5=0的距离小的距离小1,求点求点M的轨迹方程的轨迹方程?OyxFM 解：如图所示解：如图所示解：如图所示解：如图所示,设点设点设点设点MM的坐标为的坐标为的坐标为的坐标为(x,y).(x,y).由已知条件得由已知条件得由已知条件得由已知条件得,点点点
8、点MM与点与点与点与点FF的距离等于它到直线的距离等于它到直线的距离等于它到直线的距离等于它到直线x+4=0 x+4=0的距离的距离的距离的距离,根据抛物线的定义根据抛物线的定义根据抛物线的定义根据抛物线的定义,点点点点MM的轨迹是以的轨迹是以的轨迹是以的轨迹是以F(4,0)F(4,0)为焦点的抛物线为焦点的抛物线为焦点的抛物线为焦点的抛物线.因为因为因为因为 =4,=4,所以所以所以所以 P=P=.因为焦点在因为焦点在因为焦点在因为焦点在xx轴的正半轴上轴的正半轴上轴的正半轴上轴的正半轴上,所以点所以点所以点所以点MM的轨迹方程为的轨迹方程为的轨迹方程为的轨迹方程为yy22=16x=16xOyxFMp2题型二 抛物线的最值问题ABMA1M1B1OyxFAPOyxABCFOyx