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1、第九章第九章 一阶电路和二阶电路一阶电路和二阶电路9-1 动态电路的响应的分类动态电路的响应的分类 换路换路:电源的接入或断开、电路结构或元件参数的突然电源的接入或断开、电路结构或元件参数的突然改变等引起电路的变化统称为改变等引起电路的变化统称为“换路换路”。对电路的分析往往以换路为计时起点，即令对电路的分析往往以换路为计时起点，即令t0时发时发生换路。换路前的一瞬时起为生换路。换路前的一瞬时起为t0，换路后的一瞬时记，换路后的一瞬时记为为t0，并认为换路在，并认为换路在0至至0瞬间完成。瞬间完成。原始状态：原始状态：动态电路在动态电路在t0时的集合时的集合uC(0)、iL(0)初始状态：初始
2、状态：动态电路在动态电路在t0时的集合时的集合uC(0)、iL(0)动态动态电路电路响应响应零输入响应零输入响应 电路在没有输入激励的情况下，仅由非零原电路在没有输入激励的情况下，仅由非零原始储能（即由始储能（即由uC(0)和和iL(0)决定的电路中的储决定的电路中的储能）所引起的响应能）所引起的响应 电路在零状态下电路在零状态下即即uC(0)0、iL(0)0，仅由输入激励引起的响应，仅由输入激励引起的响应 零状态响应零状态响应 一个非零状态的电路，由输入激励和非零原一个非零状态的电路，由输入激励和非零原始储能共同产生的响应始储能共同产生的响应 全响应全响应 对于线性动态电路而言，全响应等于零
3、输入对于线性动态电路而言，全响应等于零输入响应与零状态响应的叠加。响应与零状态响应的叠加。9-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应一、一、RC电路的零输入响应（电路的零输入响应（ZIR）只含有一个电容元件或一个电感元件，其余元件均为只含有一个电容元件或一个电感元件，其余元件均为电阻元件、受控源的电路是零输入的一阶电路。电阻元件、受控源的电路是零输入的一阶电路。图示电路，图示电路，S闭合前一瞬间的电容电压闭合前一瞬间的电容电压uC(0)U0，S闭合后电路中的响应是零输入响应。闭合后电路中的响应是零输入响应。电路方程电路方程初始条件初始条件解得解得 从图中可以看出，从图中可以看出，uC和和
4、 i 都是从各自的初始值按相同的指都是从各自的初始值按相同的指数规律衰减，衰减的快慢取决于指数函数中数规律衰减，衰减的快慢取决于指数函数中 的大小。仅取的大小。仅取决于电路的结构和元件的参数。决于电路的结构和元件的参数。是一个衰减因子，是一个衰减因子，RC具有时间的量纲。对于给定的具有时间的量纲。对于给定的RC电路，电路，R和和C的乘积是一个常量，称为的乘积是一个常量，称为RC电路的电路的时间常数时间常数，用用 表示，即表示，即 关于时间常数关于时间常数 的说明：的说明：（1）时间常数是体现一阶电路惯性特性的参数，它只与电）时间常数是体现一阶电路惯性特性的参数，它只与电路的结构与参数有关，而与
5、激励无关。路的结构与参数有关，而与激励无关。（2）对于含电容的一阶电路，）对于含电容的一阶电路，R：由动态元件看进去的戴维宁等效电阻：由动态元件看进去的戴维宁等效电阻（3）的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，是反的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，是反映过渡特性的一个重要物理量，映过渡特性的一个重要物理量，越大，电惯性越大，相同越大，电惯性越大，相同初始值情况下，放电时间越长。初始值情况下，放电时间越长。时，时，时，时，因此，因此，就是就是 衰减到衰减到 所需的时间。所需的时间。理论上要经过无限长时间理论上要经过无限长时间uC才衰减至零，工程上一般认才衰减至零，工程上一般认为换路后，经
6、过为换路后，经过 时间过渡过程结束。时间过渡过程结束。t 0uCU0 0.368U00.135U0 0.05U00.0184U00.0068U0（4）一阶电路微分方程的特征根为时间常数的倒数，它具）一阶电路微分方程的特征根为时间常数的倒数，它具有频率的量纲，称为有频率的量纲，称为“固有频率固有频率”。例例9-2-1 图示电路，图示电路，t0 时开关时开关S断开，已知开关断断开，已知开关断开前电路已工作了很长时间，求换路后的响应开前电路已工作了很长时间，求换路后的响应uC、iC、iR。二、二、RL电路的零输入响应电路的零输入响应 电路方程电路方程初始条件初始条件解得解得 图示电路，图示电路，S断
7、开电路中的电流和电压已稳定，断开电路中的电流和电压已稳定，S断开断开前一瞬间的电感电流前一瞬间的电感电流 。S断开后电路中断开后电路中的响应是零输入响应。的响应是零输入响应。RL电路的时间常数：电路的时间常数：则有则有三、一阶电路的零输入响应的结论三、一阶电路的零输入响应的结论 2.RC电路和电路和RL电路中的零输入响应电压和零输入响应电电路中的零输入响应电压和零输入响应电流都以同一时间常数按指数规律变化。经过流都以同一时间常数按指数规律变化。经过 以后，以后，可认为响应已接近于零，过渡过程即告结束。可认为响应已接近于零，过渡过程即告结束。1.求解求解RC电路和电路和RL电路零输入响应的输入电
8、路零输入响应的输入输出方程输出方程是一阶齐次方程，方程的解的函数形式为是一阶齐次方程，方程的解的函数形式为 ，令，令特征根特征根 ，则，则 是电路的时间常数，是电路的时间常数，RC电路的时间常电路的时间常数数 ，RL电路的时间常数电路的时间常数 。因此，零输入响应。因此，零输入响应亦为亦为（为响应的初始值）为响应的初始值）例例9-2-2 9-2-2 求图示电路换路后的响应求图示电路换路后的响应 、。9-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应零状态响应（零状态响应（ZSR）：电路在零初始状态下（动态元件初始）：电路在零初始状态下（动态元件初始储能为零），由外施激励引起的响应。储能为零），由
9、外施激励引起的响应。一、电路方程一、电路方程 图（图（a）所示电路，已知）所示电路，已知 ，开关，开关S闭合以后电路闭合以后电路中的响应即为零状态响应。中的响应即为零状态响应。(a)(b)解得解得二、电路方程及解的一般形式二、电路方程及解的一般形式 式中式中r为待求响应，为待求响应，f(t)为由激励决定的右端项，其函数形为由激励决定的右端项，其函数形式取决于激励的函数形式。式取决于激励的函数形式。特解特解 （取决于激励函数的形式）（取决于激励函数的形式）通解通解 （当（当 时，衰减为零）时，衰减为零）全解全解由初始条件由初始条件 解得解得 故方程的解为故方程的解为 rf强迫响应；强迫响应；rf
10、(0+)强迫响应的初值；强迫响应的初值；r(0+)响应初值；响应初值；电路的时间常数。电路的时间常数。上式为一阶电路的解得一般形式，是普遍适用的。上式为一阶电路的解得一般形式，是普遍适用的。r(0+)、rf、被称为一阶电路的解的三要素。被称为一阶电路的解的三要素。例例9-3-1 9-3-1 在（在（a a）所示电路中，）所示电路中，开关开关S S在他在他t0 0时闭合，求闭合后电路中的电流时闭合，求闭合后电路中的电流i。(a)(b)例例 9-3-2 9-3-2 在图（在图（a a）所示电路中，已知）所示电路中，已知 ，的波形如图（的波形如图（b b）所示，求）所示，求 、。(a)(b)9-4
11、一阶电路的全响应一阶电路的全响应 非零状态的电路（非零状态的电路（、），在换路），在换路以后，由输入激励和非零原始储能共同产生的响应以后，由输入激励和非零原始储能共同产生的响应称为全响应。称为全响应。对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应之和。应之和。对于直流激励的一阶动态电路，通常采用三要素对于直流激励的一阶动态电路，通常采用三要素法求解。法求解。三要素法：三要素法：-为时间常数为时间常数。1、三要素法的计算公式、三要素法的计算公式-为任意瞬时电路中的待求电压或电流；为任意瞬时电路中的待求电压或电流；-为相应所求量的初始值；为相应所求量的初始值
12、；-为相应的稳态值；为相应的稳态值；1 1）计算初始值）计算初始值 2、三要素法的计算步骤、三要素法的计算步骤2）计算稳态值）计算稳态值 用断路代替电容，用短路代替电感。用断路代替电容，用短路代替电感。3 3）计算时间常数）计算时间常数电容串联电容串联电容并联电容并联电感串联电感串联电感并联电感并联4 4）响应曲线）响应曲线一阶动态电路响应的分类：一阶动态电路响应的分类：1）零输入响应与零状态响应）零输入响应与零状态响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应2）自然响应与强迫响应、暂态响应和稳态响应）自然响应与强迫响应、暂态响应和稳态响应强迫响应强迫响应稳态响应稳态响应自然响应自然响应暂态响
13、应暂态响应例题：已知例题：已知t 0+时的时的iL和和i0例题：电路如图所示，电容上原来无储能例题：电路如图所示，电容上原来无储能 求求1 1）时时:解：该电路的时间常数为解：该电路的时间常数为方法一：子区间三要素法方法一：子区间三要素法 2 2）时时:3 3）时时:响应曲线：响应曲线：以上解题中注意两个问题：以上解题中注意两个问题：1）用上一个分段区域求得的状态变量函数式计算下一个）用上一个分段区域求得的状态变量函数式计算下一个分段区域的初始值；分段区域的初始值；2）对起始点不在计时零点区域的响应，在直接列写结果）对起始点不在计时零点区域的响应，在直接列写结果时应该将时间延迟加入计算式中。时
14、应该将时间延迟加入计算式中。方法二：叠加法方法二：叠加法 利用单位阶跃函数写出激励的表达式：利用单位阶跃函数写出激励的表达式：将各个部分响应叠加：将各个部分响应叠加：9-5 电容电压、电感电流电容电压、电感电流 不连续的一阶电路不连续的一阶电路 例例9-5-1 9-5-1 在图示电路中，在图示电路中，C1=2F，C2=1F，R=5，开，开关关S S在在t=0时闭合，若时闭合，若S S闭合前一瞬间闭合前一瞬间 ，求，求S S闭合后的电压闭合后的电压uC1、i1、i2、iR。例例9-5-2 9-5-2 图图示电路，示电路，L1=1H、L2=2H、R1=R2=3，开关开关S S在在t=0时断开，若时
15、断开，若S S断开前电路已处于稳定状断开前电路已处于稳定状态，求态，求S S断开后的电流断开后的电流i1和电压和电压uL1、uL2。9-6 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 图示电路，开关图示电路，开关S在在t=0瞬时闭合，已知瞬时闭合，已知 ，。电路在。电路在t0以后的响应是由换路前电容元件的储以后的响应是由换路前电容元件的储能引起的零输入响应。能引起的零输入响应。电路方程电路方程初始条件初始条件特征方程特征方程特征根特征根令令则则u当当 （即（即 ）时，）时，p1和和p2为不相等的负实为不相等的负实 根，称为过阻尼情况；根，称为过阻尼情况；u当当 （即（即 ）时，）时，p1和和p2为一对相等的负为一对相等的负 实根，称为临界情况；实根，称为临界情况；u当当 （即（即 ）时，）时，p1和和p2为一对共轭复为一对共轭复 根，称为欠阻尼情况或振荡情况。根，称为欠阻尼情况或振荡情况。对于对于RLC串联电路，当串联电路，当L和和C的值已经给定时，可称的值已经给定时，可称为阻尼电阻。当为阻尼电阻。当RLC串联电路中的串联电路中的R大于、等于、小于大于、等于、小于Rd时，时，电路中的零输入响应将分别呈现过阻尼、临界阻尼、欠阻电路中的零输入响应将分别呈现过阻尼、临界阻尼、欠阻尼情况。尼情况。