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1、一阶电路和二阶电路例例1列出如图所示电路的一阶微分方程。列出如图所示电路的一阶微分方程。得到得到这是常系数非齐次一阶微分方程，图这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。是一阶电路。在上式中代入在上式中代入:解：对于图解：对于图(a)所示所示RC串联电路，可以写出以下方程串联电路，可以写出以下方程对于图对于图(b)所示所示RL并联电路，可以写出以下方并联电路，可以写出以下方程程在上式中代入在上式中代入：得到得到这是常系数非齐次一阶微分方程。图这是常系数非齐次一阶微分方程。图(b)是一阶电路。是一阶电路。当电路结构或元件参数发生变化时（当电路结构或元件参数发生变化时（换路换路），动），动
2、态电路会从一个态电路会从一个稳态稳态转变到另一个稳态，转变到另一个稳态，稳态间的过稳态间的过度过程度过程称为称为暂态暂态。假设假设换路换路都是在都是在t=0时刻进行，把换路前一瞬间时刻进行，把换路前一瞬间记为记为t=0-，换路换路后一瞬间后一瞬间记为记为t=0+。什么是什么是电路电路暂态暂态呢呢 稳态稳态:电路中的激励及响应均是恒定量或按某种周电路中的激励及响应均是恒定量或按某种周期规律变化。期规律变化。U暂态暂态暂态（暂态（过渡）过程过渡）过程:旧稳态旧稳态 新稳态新稳态 t电路暂态：电路暂态：RkU+_Ct=0开关开关K合下合下电路处于稳态电路处于稳态RU+_C+_稳态稳态稳态稳态(1)电
3、容电压的连续性电容电压的连续性令令t0=0-，t=0+有：有：(2)电感电流的连续性电感电流的连续性令令t0=0-，t=0+有：有：换路定律换路定律2、动态电路的初始条件、动态电路的初始条件求解求解n阶微分方程时，需要知道阶微分方程时，需要知道n个初始条件。利个初始条件。利用电感电流和电容电压的连续性，可以求出动态电路用电感电流和电容电压的连续性，可以求出动态电路在电路结构和元件参数变化在电路结构和元件参数变化(换路换路)后，电路变量（电后，电路变量（电压、电流）的初始值。压、电流）的初始值。由于由于电感中电流恒定时，电感电压等于零，电感电感中电流恒定时，电感电压等于零，电感相当于短路；由于电
4、容上电压恒定时，电容电流等于相当于短路；由于电容上电压恒定时，电容电流等于零，电容相当于开路零，电容相当于开路。我们用短路代替电感以及用开。我们用短路代替电感以及用开路代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可路代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可以求出以求出t=0-的各电压电流。的各电压电流。在开关转换后的一瞬间在开关转换后的一瞬间t=0+，根据电感电流和电，根据电感电流和电容电压不能跃变的连续性质，我们可以得到此时刻的容电压不能跃变的连续性质，我们可以得到此时刻的电感电流电感电流iL(0+)=iL(0-)和电容电压和电容电压uC(0+)=uC(0-)用数值为用数值为iL(0+)的
5、电流源代替电感以及用数值为的电流源代替电感以及用数值为uC(0+)的电压源代替电容后，得到一个直流电阻电路，的电压源代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可以求出由此电路可以求出t=0+时刻各电压电流值，根据这些时刻各电压电流值，根据这些数值可以得到求解微分方程所需的初始条件。下面举数值可以得到求解微分方程所需的初始条件。下面举例加以说明。例加以说明。例例2图图(a)所示电路的开关闭合已久，求开关在所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0断断开时电容电压和电感电流的初始值开时电容电压和电感电流的初始值uC(0+)和和iL(0+)。解：由于开关打开前各电压电流均为恒定值，电感相解：由于开关打开
6、前各电压电流均为恒定值，电感相当于短路；电容相当于开路，如图当于短路；电容相当于开路，如图(b)所示。所示。当当开开关关断断开开时时，电电感感电电流流不不能能跃跃变变；电电容容电电压压不不能跃变。能跃变。初始条件是电路中所求解的变量在初始条件是电路中所求解的变量在t=0+时的值时的值。2、利用换路定律求得、利用换路定律求得iL(0+)或或uC(0+)3、通过已知的、通过已知的iL(0+)和和uC(0+)画出画出0+等效电路，求出电等效电路，求出电路中其它的电流、电压，称之为路中其它的电流、电压，称之为0+等效电路法。等效电路法。0+等效电路：等效电路：把把t=0+时的电容电压、电感电流分别用独
7、立电压源时的电容电压、电感电流分别用独立电压源uC(0+)和独立电流源和独立电流源iL(0+)等效替代，原电路中独立源等效替代，原电路中独立源取取t=0+时的值，其它元件照搬。时的值，其它元件照搬。小结：小结：1、在、在t=0-时的等效电路中求得时的等效电路中求得iL(0-)或或uC(0-)7.2 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应零输入响应：零输入响应：外施激励外施激励(电源电源)为零，由动态元件初为零，由动态元件初始储能引起的响应。始储能引起的响应。1 1、RC电路的零输入响应电路的零输入响应(C对对R放电放电)iK(t=0)+uRC+uCRuC(0-)=U0i=-CuC+R
8、C=0uC(t)=Aept特征方程特征方程RCp+1=0电路电路微分微分方程：方程：其解的形式为：其解的形式为：初始值初始值uC(0+)=uC(0-)=U0A=U0令令 =RC,具有时间的量纲具有时间的量纲,称称 为时间常数为时间常数量纲量纲：欧欧 法法=欧欧 库库/伏伏=欧欧 安安 秒秒/伏伏=秒秒I0tic0U0tuc0 越大，过渡过程时间越长（放电的速度越慢）。越大，过渡过程时间越长（放电的速度越慢）。CRC不断释放能量被不断释放能量被R吸收吸收,直到全部直到全部消耗完毕消耗完毕.t0 2 3 5 U00.368U00.135U00.05U00.007U0能量关系：能量关系：理论上过渡过
9、程需很长时间才能到达稳态，理论上过渡过程需很长时间才能到达稳态，工程上一工程上一般认为般认为 就可认为电路已进就可认为电路已进入稳态。入稳态。2、RL电路的零输入响应电路的零输入响应iK(t=0)USL+uLR2R1iL(0+)=iL(0-)=uL=L其解的形式为：其解的形式为：i(t)=Aept特征方程特征方程Lp+R=0 L+Ri=0i(0+)=i(0-)=I0i(0+)=A=I0电路电路微分微分方程：方程：uL=L量纲量纲：L/R=亨亨/欧欧=韦韦/安安*欧欧=韦韦/伏伏=伏伏*秒秒/伏伏=秒秒令令=L/R,称为称为RL电路的电路的时间常数时间常数一般认为，一般认为，t=3-5 过渡过程
10、结束过渡过程结束。I0tiL0-I0RuLtt=0 0时时,打开开关打开开关K,iL(0+)=iL(0-)=1A=I0uV=-RViLuV(0+)=-10000V造成造成V击穿击穿。例例3iLK(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10V现象：电压表烧坏现象：电压表烧坏电压表量程电压表量程：50VV(t 0)零状态响应：零状态响应：动态元件初始储能为零，电路在外施动态元件初始储能为零，电路在外施激励（电源）作用下，激励（电源）作用下，产生的响应。产生的响应。iK(t=0)US+uRC+uCRRC+uC=US特解：特解：uC=US1 1、RC电路的零状态响应电路的零状态响应电路微分方程
11、：电路微分方程：uC(0-)=07.3一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程解答形式为：解答形式为：特解特解通解通解=US+AeuC(0+)=A+US=0A=-USuC=Ae对应齐次方程通解对应齐次方程通解uC“自由分量自由分量(暂态分量暂态分量)RC+uC=0全解全解uC=uC+uCtuc-UsuCuCUsuC(0-)=0强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态)i=CAit0能量关系能量关系：RC电源提供能量一部分消耗在电阻上电源提供能量一部分消耗在电阻上，一部分储存在电容中，且一部分储存在电容中，且WC=WR充电效率为充电效率为50
12、%iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0-)=U01.1.全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时产生的响应：非零初始状态的电路受到激励时产生的响应7.4 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应RC+uC=US电路微分方程：电路微分方程：=US+Ae全解：全解：uC=uC+uC由初始条件有由初始条件有：uC(0+)=A+US=U0(t0)强制（稳态）分量强制（稳态）分量自由（暂态）分量自由（暂态）分量也可表示为：也可表示为：2.2.三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0-)=U0解为解为
13、:更一般形式为更一般形式为零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应RL电路：电路：=L/RRC电路：电路：=RC是在经典法的基础上总结出来的一种快是在经典法的基础上总结出来的一种快捷的方法。捷的方法。只适用于只适用于一阶电路一阶电路。分分析析方方法法三要素法三要素法经典法经典法由由列解微分方程，求未知量的时间函数式。列解微分方程，求未知量的时间函数式。一阶电路暂态过程的分析方法一阶电路暂态过程的分析方法:例例41 1、求起始值、求起始值 :已知各电路参数，已知各电路参数，t=0 0时开时开关闭合；换路前关闭合；换路前求求开关闭合后开关闭合后 、的变化规律。的变化规律。CUs+_t=0R1R2u
14、R1i1i2uCt t=0=0+时的电路时的电路:CUs+_R1uR1R2i2i1uC2 2、求稳态值、求稳态值 ：激励为直流激励为直流,令令C开路。开路。例例4已知各电路参数，已知各电路参数，t=0 0时开时开关闭合；换路前关闭合；换路前求求开关闭合后开关闭合后 、的变化规律。的变化规律。CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uCCUs+_R1uR1R2i2i1uC3 3、求时间常数、求时间常数 :已知各电路参数，已知各电路参数，t=0 0时开时开关闭合；换路前关闭合；换路前求求开关闭合后开关闭合后 、的变化规律。的变化规律。CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC4、求、求开关闭合后开关
15、闭合后 、的变化规律。的变化规律。将各量的三要素代入一般表达式：将各量的三要素代入一般表达式：CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC4、求、求开关闭合后开关闭合后 、的变化规律。的变化规律。ttUsuR1、iR2、uR2 的波形图的波形图:CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC例例5 5 电路如图所示，开关合在电路如图所示，开关合在1 1时已达稳定状态。时已达稳定状态。t=0时，开关由时，开关由1 1合向合向2 2，求，求t 0时的电压时的电压uL。解解：换路后，应用戴维南定理得出其等换路后，应用戴维南定理得出其等效电路，其中效电路，其中例例5 5 电路如图所示，开关合在电路如图所示，
16、开关合在1 1时已达稳定状态。时已达稳定状态。t=0时，开关由时，开关由1 1合向合向2 2，求，求t 0时的电压时的电压uL。7.5 7.5 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应1 1、单位阶跃函数、单位阶跃函数1 1）定义定义K+uC1VRC2 2）延迟单位阶跃函数）延迟单位阶跃函数t(t-t0)t0t(t)10EE延迟单位阶跃函数可以起始任意函数延迟单位阶跃函数可以起始任意函数f(t)t0tf(t)(t-t0)t0t1t0tf(t)t0t-(t-t0)(t)求图示电路中电流求图示电路中电流 iC(t）例例6 610k10kus+-ic100FuC(0)=00.510t(s)us(V)05
17、k0.5us+-ic100FuC(0)=0等效等效应用叠加定理应用叠加定理5k+-ic100F5k+-ic100F5k+-ic100F阶跃响应为：阶跃响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：5k+-ic100F5k+-ic100F7.6 7.6 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应1 1、单位冲激函数、单位冲激函数1 1）单位脉冲函数单位脉冲函数(t t)1/tf(t)2 2）定义）定义k(t)3）函数的筛分性函数的筛分性 f(0)(t)t零状态零状态h(t)冲激响应冲激响应：激励为激励为时的零状态响应时的零状态响应方法方法1：分成二个时段来考虑，：分成二个时段来考
18、虑，求求iL(0+)、uC(0+)1 1）t 在在0-_0+间间2）t 0+4）(t t)和和(t t)的关系的关系2 2、分析冲激响应、分析冲激响应1 1）t 在在0-_0+间间uc 不可能是冲激函数不可能是冲激函数=0=1分析分析1icisRC+ucicRC+uc2）t 0+零输入响应零输入响应（RC放电放电）分析分析1icisRC+uc电容电压发生越变电容电压发生越变tuc(V)0tic分析分析1icisRC+ucL+-iLRus分析分析2 21 1）t 在在0-_0+间间iL 不可能是冲激函数不可能是冲激函数电感电流发生越变电感电流发生越变tuLtiL02）t 0+零输入响应（零输入响
19、应（RL放电）放电）RLiLL+-iLRus分析分析2 2方法方法2 2：利用阶跃响应求冲激响应：利用阶跃响应求冲激响应零状态零状态h(t)零状态零状态s(t)对于一个线性电路，可先求电路的阶跃响应对于一个线性电路，可先求电路的阶跃响应s(t)，再对，再对s(t)求一阶导数得求一阶导数得冲激响应冲激响应h(t)。求求iL和和uL的冲激响应的冲激响应。法法1 1 解：由戴维南定理将电路等效变换为解：由戴维南定理将电路等效变换为-+(t)1 1H+-uLiL1 1）t 在在0-_0+间间iL不可能是冲激函数不可能是冲激函数iL+-uL2(t)A1 1 1 2 1H例例7 72）t 0+零输入响应零
20、输入响应1 1H+-uLiL法法2 2 解：先求激励为解：先求激励为 时的响应时的响应求求iL和和uL的冲激响应的冲激响应。iL+-uL2(t)A1 1 1 2 1H例例7 7法法2 2 解：先求激励为解：先求激励为 时的响应。由戴维南定时的响应。由戴维南定理将电路等效变换为理将电路等效变换为-+(t)1 1H+-uLiL激励为激励为 的响应的响应求求iL和和uL的冲激响应的冲激响应。iL+-uL2(t)A1 1 1 2 1H例例7 7 7.7 7.7 二阶电路二阶电路 1 1 二阶电路二阶电路的零输入响应的零输入响应 2 2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应二阶电路的零状态响应和阶跃响应 *3
21、*3 二阶电路的冲激响应二阶电路的冲激响应 1 1 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 二阶电路含二个独立储能元件的电路，用二阶常二阶电路含二个独立储能元件的电路，用二阶常微分方程所描述的电路。微分方程所描述的电路。uc(0-)=U0 i(0-)=0已知：已知：零状态响应的三种情况零状态响应的三种情况:过阻尼状态过阻尼状态临界阻尼临界阻尼状态状态欠阻尼欠阻尼状态状态设设|P2|P1|过阻尼过阻尼状态，非振荡衰减过程状态，非振荡衰减过程t=0+ic=0,t=i c=0ic0t=tm 时时ic 最最大大tU0uctm2tmuLic0t0t tm i减小减小,uL|P1|tm为为uL=0时的时
22、的 t,计算如下计算如下:由由duL/dt可确定可确定uL为极小时的为极小时的t.能量转换关系能量转换关系tU0uctm2tmuLic0ttm uc减小减小，i 减小减小，电感释放能量，磁场逐渐电感释放能量，磁场逐渐衰减。衰减。电容在整个过程中一直释放储存的电能电容在整个过程中一直释放储存的电能,是非振是非振荡放电过程。荡放电过程。特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根uc的解答形式的解答形式：欠阻尼欠阻尼状态，振荡衰减过程状态，振荡衰减过程A1，A2为一对共轭复数为一对共轭复数经常写为经常写为：A，为待定常数为待定常数B1，B2为为待定常数待定常数0，间的关系间的关系:B1B2uc t-2
23、-2 0U0t=0时时uc=U0uc零点零点：t=-，2-.n-uc极值点极值点：t=0，2 .n uL零点零点：t=，+，2+.n+ic零点零点：t=0，2 .n，ic极值点为极值点为uL零点零点。t-2-2 0U0uc icuL能量转换关系：能量转换关系：0 t t -t RL LC+-RL LC+-RL LC+-t-2-2 0U0uc icuL特例特例：R=0时时等幅振荡等幅振荡tL LC+-解出：解出：临界阻尼临界阻尼状态，振荡衰减过程状态，振荡衰减过程 二阶电路的性质取决于特征根，特征根仅仅取二阶电路的性质取决于特征根，特征根仅仅取决于电路结构和参数决于电路结构和参数，与激励和初值无
24、关。与激励和初值无关。已知如图，已知如图，t=0=0时打开时打开开关。求开关。求uc并画出其并画出其变化曲线。变化曲线。解解：(1)uc(0-)=25V iL(0-)=5A特征方程为特征方程为：50P2+2500P+106=0例例(3)t0uc35525uc(0-)=0,iL(0-)=0微分方程为：微分方程为：特解特解通解通解特解特解:求通解的特征方程求通解的特征方程为：为：2 2 二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应uc解答形式为解答形式为：tucUS结结 束束第七章第七章此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢