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1、定定积分之换元法积分之换元法与分部积分法与分部积分法广义积分广义积分例例1 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限 凑微分凑微分凑微分凑微分 另解另解另解另解 原式原式原式原式 解解解解 原式原式原式原式 例例1 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 解解解解 令令令令 原式原式原式原式 换元换元换元换元 换限换限换限换限 例例1 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 解解解解 原式原式原式原式 定积分的换元法定积分的换元法例例1换元必须换限换元必须换限 对称区间上对称区间上对称区间上对称区
2、间上偶函数的积分性质偶函数的积分性质偶函数的积分性质偶函数的积分性质解解解解 原式原式原式原式 偶次方化倍角偶次方化倍角偶次方化倍角偶次方化倍角 例例1 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 解解解解 原式原式原式原式 换元必须换限换元必须换限 另解另解另解另解 原式原式原式原式 不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限 例例例例2 2 证明证明证明证明 分析分析分析分析：（1 1）积分区间一样；（）积分区间一样；（）积分区间一样；（）积分区间一样；（2 2）被积函数不同。）被积函数不同。）被积函数不同。）被积函数不同。解决：解决：解决：解决：采用适当的换元，使
3、采用适当的换元，使采用适当的换元，使采用适当的换元，使 a+b-xa+b-x 化为化为化为化为 x.x.证明证明证明证明 令令令令 则则则则 所以所以所以所以 所以，原命题成立。所以，原命题成立。所以，原命题成立。所以，原命题成立。换元换元换元换元 换限换限换限换限 课堂思考题：课堂思考题：课堂思考题：课堂思考题：P148 26P148 26 定积分的换元积分法小结定积分的换元积分法小结定积分的换元积分法小结定积分的换元积分法小结 1 1、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；2 2、定积分的换元法，得到新
4、元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，但必须做到但必须做到但必须做到但必须做到换元同时换限换元同时换限。例例2定积分的分部积分法定积分的分部积分法解解解解 原式原式原式原式 已积出的部分已积出的部分 要求值要求值 例例3 定积分的分部积分法定积分的分部积分法已积出的部分要求值已积出的部分要求值 解解解解 原式原式原式原式 例例3 定积分的分部积分法定积分的分部积分法已积出的部分要求值已积出的部分要求值 解解解解 原式原式原式原式 例例3解解解解 原式原式原式原式 所
5、以所以所以所以 定积分的分部积分法小结定积分的分部积分法小结 1 1、u u与与与与dvdv的的的的选择规律选择规律选择规律选择规律，与不定积分的规律，与不定积分的规律，与不定积分的规律，与不定积分的规律完全相同完全相同完全相同完全相同；2 2、不同之处，仅在于：定积分的计算需要计算原函、不同之处，仅在于：定积分的计算需要计算原函、不同之处，仅在于：定积分的计算需要计算原函、不同之处，仅在于：定积分的计算需要计算原函 数的函数值之差。数的函数值之差。数的函数值之差。数的函数值之差。定积分的讨论对象是定积分的讨论对象是有限区间有限区间上的上的有界函数有界函数，但在一些实际问题中还常会遇到积分区间
6、为但在一些实际问题中还常会遇到积分区间为无穷区间无穷区间，或被积函数在积分区间上有或被积函数在积分区间上有无穷间断点无穷间断点，即函数是，即函数是无界函数无界函数的问题。因此需要对定积分的概念加以推广，的问题。因此需要对定积分的概念加以推广，从而形成的了从而形成的了“广义积分广义积分”的概念。的概念。本课程只介绍本课程只介绍本课程只介绍本课程只介绍无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分 无穷区间上的无穷区间上的广义积分广义积分无穷区间上的无穷区间上的广义积分广义积分假设被积函数假设被积函数假设被积函数假设被积函数f(x)f(x)是连续函数，则有如下定义
7、：是连续函数，则有如下定义：是连续函数，则有如下定义：是连续函数，则有如下定义：注意：注意：注意：注意：和和和和 都存在时都存在时都存在时都存在时，才存在才存在。简记为简记为简记为简记为例例1 解解解解 原式原式原式原式 广义积分即为广义积分即为广义积分即为广义积分即为定积分的极限值定积分的极限值定积分的极限值定积分的极限值所以，此广义积分发散。所以，此广义积分发散。简记为简记为简记为简记为例例1 解解解解 原式原式原式原式 所以，此广义积分发散。所以，此广义积分发散。例例1 因为因为因为因为解解解解 原式原式原式原式 解解解解 原式原式原式原式 错错 误误 另解另解另解另解 原式原式原式原式发散？发散？例例1 解解解解 原式原式原式原式 解解 当当 时，时，当当 时，时，若若 则广义积分发散；则广义积分发散；若若 则广义积分收敛于则广义积分收敛于的敛散的敛散性。性。例例2 讨论广义积分讨论广义积分 综上所述：当综上所述：当综上所述：当综上所述：当 时，广义积分发散；当时，广义积分发散；当时，广义积分发散；当时，广义积分发散；当 时，广义积分收敛。时，广义积分收敛。时，广义积分收敛。时，广义积分收敛。定积分分部积分公式定积分分部积分公式 返回返回返回返回定积分换元法定积分换元法 返回返回返回返回 再见！再见！