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1、附录 截面的几何性质-1 截面的静矩和形心位置设设任意形状截面如图所示。任意形状截面如图所示。1.静矩（或一次矩）静矩（或一次矩）(常用单位：常用单位：m m3 3 或或mmmm3 3 。值：可为正、负或值：可为正、负或 0 0。）。）2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）OxdAyyxC西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室3.静矩与形心坐标的关系静矩与形心坐标的关系结论：截面对形心轴的静矩恒为结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。，反之，亦然。4.组合截面的静矩组合截面的静矩 由静
2、矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:5.组合截面的形心坐标公式组合截面的形心坐标公式将将代入代入解得解得组合截面的形心坐标公式为：组合截面的形心坐标公式为：（注：被注：被“减去减去”部分图形的面积应代入负值）部分图形的面积应代入负值）例例 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的轴的静矩。静矩。解：解：取取平行于平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，所以对所以对x轴的静矩为轴的静矩为Oxyb(y)yd yhb例：试计算图示截面形心例：试计算图
3、示截面形心C的位置。的位置。解：将截面分为解：将截面分为1、2两个矩形。两个矩形。建立坐标系如图示。建立坐标系如图示。各各矩形的面积和形心坐标如下：矩形的面积和形心坐标如下：Oxyy112010 xx8010yC(y,x)矩形矩形I矩形矩形II代入代入组合截面的形心坐标公式组合截面的形心坐标公式解解得：得：I2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 设设任意形状截面如图所示。任意形状截面如图所示。1.1.极惯性矩（或截面极惯性矩（或截面二次极矩）二次极矩）2.惯性矩（或截面二次惯性矩（或截面二次轴矩）轴矩）（为（为正值，单位正值，单位m4 或或 mm4)所以所以（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为
4、原（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）OxyyxdA3.惯性积惯性积（其值可（其值可为正、负或为正、负或0，单位单位:m4 或或 mm4)截面对于包含截面对于包含对称轴对称轴在内的一对正交轴的惯性积为在内的一对正交轴的惯性积为0 0。结论：结论：4.4.惯性半径惯性半径（单位单位m 或或 mm）OxyyxdA例例 试计算图试计算图a所示矩形截面对于其对称轴所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）（即形心轴）x和和y的惯性矩。的惯性矩。解：解：取取平行于平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，则则 dA=b dy同理同理yhC
5、x dyyb(a)若截面是高度为若截面是高度为h的平行的平行四边形（图四边形（图b），），则其对形心则其对形心轴轴x 的的惯性矩惯性矩同样为同样为hxyb(b)C例：试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的例：试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。惯性矩。xdyyx解：解：由于圆截面有极对称性，由于圆截面有极对称性，所以所以所以所以-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积1.1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 设有面积为设有面积为A的任意形状的截面。的任意形状的截面。C为为其其形形心心，Cxcyc为为形形心心坐坐标标系系。与与该该形形心
6、心坐坐标标轴轴分分别别平平行行的的任任意意坐坐标标系系为为Oxy,形形心心C在在Oxy坐标系下的坐标为坐标系下的坐标为(b,a)任任意意微微面面元元dA在在两两坐坐标标系系下的坐标关系为：下的坐标关系为：aycyxcxCObdAxcycyx同理，有：同理，有：（此此为为平行移轴公式平行移轴公式 ）注意：注意：式式中的中的a、b代表代表坐标值坐标值，有时可能取负值。，有时可能取负值。等号右边各首项为相对于等号右边各首项为相对于形心轴形心轴的量。的量。2.2.组合截面的惯性矩和惯性积组合截面的惯性矩和惯性积 根据根据惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积的定义易得的定义易得组合截面对于某组合截面对于某轴的轴
7、的惯性矩（或惯性积）惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一等于其各组成部分对于同一轴的轴的惯性矩（或惯性积）惯性矩（或惯性积）之和之和：例：求图示直径为例：求图示直径为d的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴xc的的惯性矩。惯性矩。解：解：（1）求形心坐标）求形心坐标xyb(y)ycCdxc（2）求对形心轴）求对形心轴xc的的惯性矩惯性矩由由平行移轴公式得：平行移轴公式得：xyb(y)ycCdxc例：试求图例：试求图a 所示截面对于对称轴所示截面对于对称轴x的的惯性矩。惯性矩。解：将截面看作一个矩形和解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。两个半圆组成。（1）矩形对）矩形对x的的惯性矩：惯
8、性矩：（2）一个半圆对其自身形）一个半圆对其自身形心轴心轴xc的的惯性矩（见上例）惯性矩（见上例）xyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3p（3）一个半圆对）一个半圆对x的的惯性矩：惯性矩：由由平行移轴公式得：平行移轴公式得：（4）整个截面对于对称轴）整个截面对于对称轴x的的惯性矩：惯性矩：-4 惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩1.1.惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 任意面元任意面元dA 在旧坐标系在旧坐标系oxy和新和新坐标系坐标系ox1y1的的关系为：关系为：代入代入惯性矩惯性矩的定义式：的定义式：xyOxyaxya11ABCDEdAxy1
9、1 利用二倍角函数代入上式，得利用二倍角函数代入上式，得转轴公式转轴公式：注：注：上式上式中的中的 的符号为：从旧轴的符号为：从旧轴x至新轴至新轴x1逆时逆时针为正，顺时针为负。针为正，顺时针为负。（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩并等于截面对该坐标原点的极惯性矩 ）将前两式相加得将前两式相加得 由由惯惯性性积积的的转转轴轴公公式式可可知知，当当坐坐标标轴轴旋旋转转时时，惯惯性性积积将将随随着着 角角作作周周期期性性变变化化，且且有有正正有
10、有负负。因因此此，必必有有一一特特定定的的角角度度 0，使使截截面面对对于于新新坐坐标标轴轴x0、y0的的惯性积等于零。惯性积等于零。2.2.截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩(1)主惯性轴主惯性轴:截面对其惯性积等于截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。的一对坐标轴。(2)主惯性矩主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。截面对于主惯性轴的惯性矩。(3)形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。形心重合时。(4)形心主惯性矩形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。截面对于形心主惯性轴的惯性矩。(5)确定确定主惯性轴主惯性轴的位置的
11、位置 设设 0 0是是旧轴旧轴x 逆时针转向逆时针转向主惯性主惯性轴轴x0的的角度，则角度，则由由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得可可改写为改写为（注：将负号置于分子上有利于确定注：将负号置于分子上有利于确定2 0 0角的象限）角的象限）(5)由上面由上面tan2 0的表达式求出的表达式求出cos2 0、sin2 0后，后，再代入再代入惯性矩的转轴公式惯性矩的转轴公式，化简后可得，化简后可得主惯性矩的主惯性矩的计算公式：计算公式：极大值Imax极小值Imin(6)几个结论几个结论若若截面有一根对称轴，则此轴即为形心截面有一根对称轴，则此轴即为形心主主惯性
12、轴之一，另一惯性轴之一，另一形心形心主惯性轴为通过形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。并与对称轴垂直的轴。若若截面有二根对称轴，则此二轴即为形截面有二根对称轴，则此二轴即为形心心主惯性轴。主惯性轴。若若截面有三根对称轴，则通过形心的任一截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。主惯性轴，且主惯性矩相等。xyC10b10b40120a2080CCa 例：试计算截面的形心主例：试计算截面的形心主惯性矩。惯性矩。解：作与上、左边平行解：作与上、左边平行的形心坐标轴的形心坐标轴xcyc。（1）求形心坐标：）求形心坐标：（2）求对自身形心轴的）求对自身形心轴的惯性矩。惯性矩。（3）由）由平行移轴公式平行移轴公式求整个截面的求整个截面的xc0yc0a=113.8（4）由转轴公式得）由转轴公式得xyC10b10b40120a2080CCa