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1、 薄壁圆筒剪应力薄壁圆筒剪应力 大大小：小：A0：平均半径所作圆的面积。第第3章章 杆件的应力与强度杆件的应力与强度 圆圆轴轴扭扭转转时时的的应应力力与与强强度度切应力沿着壁厚是均匀分布的切应力沿着壁厚是均匀分布的。剪应力互等定理剪应力互等定理在在两两个个互互相相垂垂直直的的平平面面上上，剪剪应应力力必必然然成成对对存存在在，且且数数值值相相等等，两两者者都都垂垂直直于于两两个个平平面面的的交交线线，方方向向则则共共同同指指向或共同背离这一交线，这就是向或共同背离这一交线，这就是剪应力剪应力互等互等定理定理。在在弹弹性性范范围围内内加加载载时时，剪剪应应力力与与剪剪应应变变之之间间存存在在成成
2、正比正比:剪切胡克定律剪切胡克定律第第3章章 杆件的应力与强度杆件的应力与强度 应应用用平平衡衡方方法法可可以以确确定定圆圆杆杆扭扭转转时时横横截截面面上上的的内内力力分分量量扭扭矩矩，但但是是不不能能确确定定横横截截面面上上各各点点剪剪应应力力的的大大小小。为为了了确确定定横横截截面面上上各各点点的的剪剪应应力力，在在确确定定了了扭扭矩矩后后，还还必必须须知知道道横横截面上的剪应力是怎样分布的。截面上的剪应力是怎样分布的。圆轴扭转时横截面上的剪应力分析圆轴扭转时横截面上的剪应力分析应力分布应力分布应力公式应力公式变变形形应变分布应变分布平面假定平面假定物性关系物性关系静力方程静力方程确定横截
3、面上剪应力的方确定横截面上剪应力的方法与过程法与过程第第3章章 杆件的应力与强度杆件的应力与强度最大剪应力最大剪应力Wp扭转截面系数扭转截面系数圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式 第第3章章 杆件的应力与强度杆件的应力与强度受扭圆轴的强度设计准则受扭圆轴的强度设计准则 为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆轴横截面上的最大剪应力横截面上的最大剪应力 max限制在一定的数值以下，即：限制在一定的数值以下，即：圆轴扭转时强度设计圆轴扭转时强度设计 第第3章章 杆件的应力与强度杆件的应力与强度注意事项注意事项 max是是指
4、指圆圆轴轴所所有有横横截截面面上上最最大大剪剪应应力力中中的的最最大大者者，对对于于等等截截面面圆圆轴轴最最大大剪剪应应力力发发生生在在扭扭矩矩最最大大的的横横截截面上的边缘各点；面上的边缘各点；对对于于变变截截面面圆圆轴轴，如如阶阶梯梯轴轴，最最大大剪剪应应力力不不一一定定发发生生在在扭扭矩矩最最大大的的截截面面，这这时时需需要要根根据据扭扭矩矩Mx和和相相应应扭扭转截面模量转截面模量WP数值综合考虑才能确定。数值综合考虑才能确定。第第3章章 杆件的应力与强度杆件的应力与强度 圆圆轴轴扭扭转转时时的的应应力力与与强强度度附录附录截面的几何性质截面的几何性质研研究究杆杆件件的的应应力力与与变变
5、形形，研研究究失失效效问问题题以以及及强强度度、刚刚度度、稳稳定定性性问问题题，都都要要涉涉及及到到与与截截面图形的几何形状和尺寸有关的量。面图形的几何形状和尺寸有关的量。这这些些量量统统称称为为截截面面的的几几何何性性质质，主主要要包包括括：形形心心、静静矩矩、惯惯性性矩矩、惯惯性性半半径径、极极惯惯性性矩矩、惯性积、形心主轴和形心主矩等。惯性积、形心主轴和形心主矩等。附录附录截面的几何性质截面的几何性质附录附录截面的几何性质截面的几何性质 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩与惯性积的平行移轴定理惯性矩与
6、惯性积的平行移轴定理 惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算组合图形形心、形心主轴和形心主矩的计算图形图形A对于对于y 轴的轴的静矩静矩同理图形同理图形A对于对于z 轴的轴的静矩静矩zyOdAyzrA 静矩、形心及其相互关系 附录附录截面的几何性质截面的几何性质 微面积dA对z轴的静矩所以v 2 2、截面对形心轴的静矩为零；、截面对形心轴的静矩为零；v 3 3、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。v 1 1、截面图形的
7、静矩是对某一坐标轴定义的，所以静、截面图形的静矩是对某一坐标轴定义的，所以静矩与坐标轴有关；矩与坐标轴有关；附录附录截面的几何性质截面的几何性质 静矩、形心及其相互关系 v 4 4、静矩的单位是长度的三次方，常用单位为、静矩的单位是长度的三次方，常用单位为m m3 3或者或者mmmm3 3.AzyO OzCC CyCzyOd dA AyzrA附录附录截面的几何性质截面的几何性质 静矩、形心及其相互关系 已知静矩可以确定图形的形心坐标；已知图形的形心坐标可以确定静矩。附录附录截面的几何性质截面的几何性质 静矩、形心及其相互关系 对于组合图形：对于组合图形：附录附录截面的几何性质截面的几何性质 静
8、矩、形心及其相互关系 8010O试确定图示截面心试确定图示截面心C的位置。的位置。附录附录截面的几何性质截面的几何性质【解解】【例例I-1】12yx将截面分为将截面分为两个矩形；两个矩形；取取x轴和轴和y轴分别与截面轴分别与截面的底边和左边缘重合的底边和左边缘重合10120试确定图示梯形面积的形心和对底边的静矩。试确定图示梯形面积的形心和对底边的静矩。abhC1C2zyO图形对底边的静矩图形对底边的静矩【解解】形心位置形心位置C【例例I-2】附录附录截面的几何性质截面的几何性质图形对图形对y轴的轴的惯性矩惯性矩图形对图形对z轴的轴的惯性矩惯性矩图形对图形对O点的点的极惯性矩极惯性矩图形对图形对
9、y z 轴的轴的惯性积惯性积附录附录截面的几何性质截面的几何性质zyOdAyzrA 惯性矩、极惯性矩、惯性半径、惯性积图形对图形对y轴的轴的惯性半径惯性半径图形对图形对z轴的轴的惯性半径惯性半径附录附录截面的几何性质截面的几何性质zyOdAyzrA 惯性矩、极惯性矩、惯性半径、惯性积惯性半径：惯性半径：任意形状的截面图形的面积为任意形状的截面图形的面积为A A，则图形对，则图形对y y轴和轴和x x轴的惯性半径分别定义为轴的惯性半径分别定义为惯性半径的特征：惯性半径的特征：1.惯性半径是对某一坐标轴定义的。惯性半径是对某一坐标轴定义的。2.惯性半径的单位为惯性半径的单位为m。3.惯性半径的数值
10、恒取正值。惯性半径的数值恒取正值。附录附录截面的几何性质截面的几何性质zyOdAyzrA 0 0 0 0,0,=0附录附录截面的几何性质截面的几何性质zyOd dA AyzrA 惯性矩、极惯性矩、惯性半径、惯性积性 质：1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯矩，是对点定义的。而极惯矩，是对点定义的。2、惯性矩和极惯矩永远为正，惯性矩和极惯矩永远为正，惯性积可能为正、为负、为零。惯性积可能为正、为负、为零。3、任何平面图形对于通过其形任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴心的对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零。的惯性积为零。4、对于面积
11、相等的截面，截面相对于坐标轴对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。分布的越远，其惯性矩越大。yy5、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积附录附录截面的几何性质截面的几何性质已知：圆截面直径已知：圆截面直径d，求：求：Iy，Iz，IPdrdrdACyz取圆环微元面积取圆环微元面积附录附录截面的几何性质截面的几何性质【解解】【例例I-3】已知：矩形截面已知：矩形截面b h。求：求：Iy，IzCyzbhz dzdA2ydydA1取平行于取平行于x轴和轴和y轴的微元面积。轴的微元面积。附录附录截面的几何性质截面
12、的几何性质【解解】【例例I-4】平行移轴定理平行移轴定理（parallel-axistheorem）是指图形对是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。对坐标的惯性矩与惯性积。附录附录截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩与惯性积的平行移轴定理惯性矩与惯性积的平行移轴定理 a、b分别为两轴之间的距离AzyOdAyzz1y1O证明：证明：Iy、Iz、Iyz与与 Iy1、Iz1、Iy1z1的关系。的关系。y1z1ab附
13、录附录截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩与惯性积的平行移轴定理惯性矩与惯性积的平行移轴定理 y1=ya，z1=zb 附录附录截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩与惯性积的平行移轴定理惯性矩与惯性积的平行移轴定理 AzyOdAyzz1y1Oy1z1ab如果如果y、z 轴通过图形形心，上述各式中的轴通过图形形心，上述各式中的SySz0，附录附录截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩与惯性积的平行移轴定理惯性矩与惯性积的平行移轴定理 因为面积及包含因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。a、b
14、为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。附录附录截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩与惯性积的平行移轴定理惯性矩与惯性积的平行移轴定理 试求图示三角试求图示三角形对形对x、x1 轴的惯性矩。轴的惯性矩。xb/2b/2h/2h/2Oyx1ydyxC附录附录截面的几何性质截面的几何性质【解解】【例例I-4】所谓所谓转轴转轴是坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标是坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐
15、标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。轴的惯性矩和惯性积的变化规律。dAyzzyOz zy yO Oz zy yO OzyOz zy yO Oz zy yO Oz zy yO O附录附录截面的几何性质截面的几何性质 惯性矩与惯性积的转轴的概念惯性矩与惯性积的转轴的概念z1y1 zyO图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直的轴的惯图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直的轴的惯性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩。性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩。附录附录截面的几何性质截面的几何性质惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式zyOz0y000如如果果图图形形对对于于过过一一点点的的一一
16、对对坐坐标标轴轴的的惯惯性性积积等等于于零零，则则称称这这一一对对坐坐标标轴轴为为过过这这一一点点的的主主轴轴。图图形形对对于于主主轴轴的的惯惯性矩称为性矩称为主主惯性矩惯性矩。附录附录截面的几何性质截面的几何性质 截截面面的的主主惯惯性性轴轴和和主主惯惯性性矩矩图形对于过一点图形对于过一点不同坐标轴的惯性矩不同坐标轴的惯性矩各不相同，而对于主各不相同，而对于主惯性矩是这些惯性矩惯性矩是这些惯性矩的极大值和极小值。的极大值和极小值。附录附录截面的几何性质截面的几何性质zyOz0y000 由由于于截截面面惯惯性性积积是是对对一一对对坐坐标标轴轴而而言言的的，截截面面主主惯惯性轴总是成对的。性轴总
17、是成对的。截截面面的的主主惯惯性性轴轴和和主主惯惯性性矩矩 主主轴轴的的方方向向角角以以及及主主惯惯性性矩矩可可以以通通过过初初始始坐坐标标轴轴的的惯惯性性矩矩和和惯惯性性积积确确定定:附录附录截面的几何性质截面的几何性质zyOz0y000 主轴与形心主轴主轴与形心主轴 主惯性矩与形心主惯性矩主惯性矩与形心主惯性矩 对对于于任任意意一一点点（图图形形内内或或图图形形外外）都都有有主主轴轴，而而通通过过形形心心的的主主轴轴称称为为形形心心主主轴轴，图图形形对对形形心心主主轴轴的的Iy惯惯性性矩矩称称为为形形心心主主惯惯性性矩矩，简简称称形形心心主主矩矩。工工程程计计算算中中最最有有意意义义的的是
18、是形形心主轴与形心主矩。心主轴与形心主矩。附录附录截面的几何性质截面的几何性质zyOz0y000 形心主轴与形心主惯性矩形心主轴与形心主惯性矩zyCdAdAyyz-z 当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。附录附录截面的几何性质截面的几何性质 有对称轴截面的惯性主轴有对称轴截面的惯性主轴 工工程程计计算算中中应应用用最最广广泛泛的的是是组组合合图图形形的的形形心心主主惯惯性性矩矩，即即图图形形对对于于通通过过其其形形心心的的主主轴轴之之惯惯性性矩矩。为为此此，必必须首先确定图形的须首先确定图形的形心形心以及以及形心主轴形心主轴的位置。的位置。组合图形的形心、形心主
19、轴、组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法形心主惯性矩的计算方法 因因为为组组合合图图形形都都是是由由一一些些简简单单图图形形（例例如如矩矩形形、正正方方形形、圆圆形形等等）所所组组成成，所所以以在在确确定定其其形形心心、形形心心主主轴轴以以至至形形心心主主惯惯性性矩矩的的过过程程中中，通通常常不不采采用用积积分分法法，而而是是利用利用简单图形的几何性质简单图形的几何性质以及平行移轴定理。以及平行移轴定理。附录附录截面的几何性质截面的几何性质将组合图形分解为若干简单图形，确定组合图形形心。将组合图形分解为若干简单图形，确定组合图形形心。以以形形心心为为坐坐标标原原点点，设设Oyz坐坐
20、标标系系y、z轴轴一一般般与与简简单单图图形形的的形形心心主主轴轴平平行行。确确定定简简单单图图形形对对自自身身形形心心轴轴的的惯惯性性矩矩，利利用用移移轴轴定定理理确确定定各各个个简简单单图图形形对对y、z轴轴的的惯惯性性矩矩和和惯惯性性积，相加（或相减）后便得到整个图形的积，相加（或相减）后便得到整个图形的Iy、Iz 和和Iyz。计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩Iy0和和Iz0。确定形心主轴的位置，即形心主轴与确定形心主轴的位置，即形心主轴与z 轴的夹角。轴的夹角。附录附录截面的几何性质截面的几何性质 组合图形的形心、形心主轴、组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法形心主惯性矩的
21、计算方法 1 1将所给图形分解为简单图形的组合将所给图形分解为简单图形的组合 C1C25027030300已知：图形尺寸如图，求：图形的形心主矩。已知：图形尺寸如图，求：图形的形心主矩。附录附录截面的几何性质截面的几何性质【解解】【例例I-6】C1C2yz2.建立初始坐标，确定形心位置建立初始坐标，确定形心位置yC1505027030300C附录附录截面的几何性质截面的几何性质 Iy0=Iy0()+Iy0(II)3.确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩 Iz0=Iz0()+Iz0()附录附录截面的几何性质截面的几何性质C1C2yzyC150C主惯性轴:图形对某对坐标轴惯性积为零,这对坐标轴称为该图
22、形的主惯性轴主惯性矩:图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩形心主轴:过形心的主轴称为主形心轴形心主矩:图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩附录附录截面的几何性质截面的几何性质课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习 I.I.在下列关于平面图形的结论中，（）是错误的。A.图形的对称轴必定通过形心；B.图形两个对称轴的交点必为形心；D.使静矩为零的轴必为对称轴。C.图形对对称轴的静矩为零；D在平面图形的几何性质中，（）的值可正、可负、也可为零。A.静矩和惯性矩；B.极惯性矩和惯性矩；C.惯性矩和惯性积；D.静矩和惯性积。D附录附录截面的几何性质截面的几何性质课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习 I.I.图示任意形状截
23、面，它的一个形心轴zc把截面分成和两部分，在以下各式中，（）一定成立。ZCC附录附录截面的几何性质截面的几何性质课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习 I.I.图a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对称轴x的惯性矩分别为 对对称轴y的惯性矩分别为 ，则（）。C附录附录截面的几何性质截面的几何性质 任意图形的面积为A，x0轴通过形心C，x1 轴和x0轴平行，并相距a，已知图形对x1 轴的惯性矩是I1，则对x0 轴的惯性矩为（）。课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习 I.I.B附录附录截面的几何性质截面的几何性质 图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则（）不是一对主轴。课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习 I.I.C附录附录截面的几何性质截面的几何性质