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1、实验六实验六 方程及方程组的解方程及方程组的解实验实验6.1 线性方程组的解线性方程组的解实验实验6.2 非线性方程的解非线性方程的解一、二分法一、二分法二、简单迭代法二、简单迭代法三、牛顿迭代法三、牛顿迭代法四、应用举例四、应用举例一、求线性方程组的唯一解或特解一、求线性方程组的唯一解或特解二、求线性齐次方程组的通解二、求线性齐次方程组的通解三、求非齐次线性方程组的通解三、求非齐次线性方程组的通解1实验实验6.1 线性方程组的解线性方程组的解 我们将线性方程组的求解分为两类：一类是求方程组我们将线性方程组的求解分为两类：一类是求方程组的唯一解或特解，另一类是求方程组的无穷解即通解。可的唯一解
2、或特解，另一类是求方程组的无穷解即通解。可通过系数矩阵的秩来判断：通过系数矩阵的秩来判断：若系数矩阵的秩若系数矩阵的秩 r=n,则有唯一解；则有唯一解；若系数矩阵的秩若系数矩阵的秩 rn,则可能有无穷解；则可能有无穷解；线性方程组的无穷解线性方程组的无穷解=对应齐次方程组的通解对应齐次方程组的通解+非齐次方非齐次方 程组的一个特解程组的一个特解2一、求线性方程组的唯一解或特解一、求线性方程组的唯一解或特解 若若AX=b是线性方程组的矩阵形式，可以直接用矩阵是线性方程组的矩阵形式，可以直接用矩阵除法或初等变换法求线性方程组的唯一解或特解。除法或初等变换法求线性方程组的唯一解或特解。例例1 求方程
3、组求方程组的解。的解。解解：用矩阵除法求解如下：用矩阵除法求解如下：3A=5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5;B=1 0 0 0 1;R_A=rank(A)%求秩求秩R_A=5X=AB%求解求解X=2.2662 -1.7218 1.0571 -0.5940 0.31884也可以通过初等变换方法，用函数也可以通过初等变换方法，用函数reff求解，求解，rref是将一个是将一个矩阵化成行最简形。矩阵化成行最简形。C=A,B;%C为方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵R=rref(C)%将将C化成行最简形化成行最简形R=1.0000 0
4、0 0 0 2.2662 0 1.0000 0 0 0 -1.7218 0 0 1.0000 0 0 1.0571 0 0 0 1.0000 0 -0.5940 0 0 0 0 1.0000 0.3188则则R的最后一列元素就是所求之解。的最后一列元素就是所求之解。5例例2 求方程组求方程组的一个特解。的一个特解。解解：用矩阵除法求解如下：用矩阵除法求解如下：A=1 1-3-1;3-1-3 4;1 5-9-8;B=1 4 0;X=AB Warning:Rank deficient,rank=2,tol=8.8373e-015.X=0 0 -0.5333 0.60006上述做法由于系数矩阵上述做
5、法由于系数矩阵不满秩不满秩，可能存在误差，得到的，可能存在误差，得到的只是一个只是一个特解近似值特解近似值，若用，若用rref求解，则比较精确：求解，则比较精确：C=A,B;R=rref(C)R=1.0000 0 -1.5000 0.7500 1.2500 0 1.0000 -1.5000 -1.7500 -0.2500 0 0 0 0 0由此得解向量由此得解向量X=1.2500 -0.2500 0 0(一个特解一个特解)。7二、求线性齐次方程组的通解二、求线性齐次方程组的通解在在MATLAB中，函数中，函数 null 用来求解零空间，即满足用来求解零空间，即满足AX=0的解的解空间，实际上是
6、求出解空间的一组基（基础解系）。空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）。例例3 求方程组求方程组的通解。的通解。A=1 2 2 1;2 1-2-2;1-1-4-3;format rat%指定有理式格式输出指定有理式格式输出B=null(A,r)%求解空间的有理基求解空间的有理基B=2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 8也可通过行最简形得到基：也可通过行最简形得到基：B1=rref(A)B1=1 0 -2 -5/3 0 1 2 4/3 0 0 0 0 即可写出其基础解系，方程组的通解为：即可写出其基础解系，方程组的通解为：syms k1 k2X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2
7、);%通解通解pretty(X)%美化表达式美化表达式 2 k1+5/3 k2 -2 k1-4/3 k2 k1 k2 9三、求非齐次线性方程组的通解三、求非齐次线性方程组的通解Step1：判断判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；是否有解，若有解则进行第二步；Step2：求求AX=b的一个特解；的一个特解；Step3：求求AX=0的通解；的通解；Step4：AX=b的通解为的通解为AX=0的通解的通解+AX=b的一个特解。的一个特解。例例4 解方程组解方程组解解：在：在MATLAB中建立中建立M文件文件fangcheng1.m如如下：下：10A=1-2 3-1;3-1 5-3;2 1 2-
8、2;b=1 2 3;B=A,b;n=4;R_A=rank(A)R_B=rank(B)format rat if R_A=R_B&R_A=n%判断有唯一解判断有唯一解 X=Abelseif R_A=R_B&R_An%判断有无穷解判断有无穷解 X=Ab%求特解求特解 C=null(A,r)%求求AX=0的基础解系的基础解系else X=equation no solve%判断无解判断无解end11 fangcheng1 R_A=2 R_B=3 X=equation no solve运行后结果显示：运行后结果显示：说明该方程组无解说明该方程组无解12实验任务实验任务解下列方程组：解下列方程组：13实
9、验实验6.2 6.2 非线性方程的解非线性方程的解一、二分法一、二分法1.数学原理数学原理设设在区间在区间上连续，上连续，且方程且方程 在在内仅有一个实根内仅有一个实根 则称则称是这个根的一个是这个根的一个隔离区间隔离区间.取取的中的中 点点计算计算 若若那么那么 若若与与同号，同号，取取由由即知即知且且14若若与与同号，同号，取取也有也有及及总之，当总之，当时，时，可求得可求得且且如此重复如此重复n次，次，可求得可求得且且由此可知，由此可知，如果以如果以或或作为作为的近似值，的近似值，误差小于误差小于以以作为新的隔离区间，作为新的隔离区间，重复上述做法，重复上述做法，可求得可求得且且时，时，
10、152 2、MATLAB实现实现用二分法求方程用二分法求方程根的近似值，一般分为两步：根的近似值，一般分为两步：第一步第一步 根的隔离根的隔离在在内有唯一根内有唯一根.的根的根.确定根的存在区确定根的存在区间间（即根的隔离区间），（即根的隔离区间），使方程使方程用用fplot函数作出函数作出的的图图形，它与形，它与轴轴的交点就是方程的交点就是方程第二步第二步 根的逐次逼近根的逐次逼近在根的隔离区在根的隔离区间间上上单调连续单调连续，且，且若函数若函数则则在在内方程有唯一根内方程有唯一根.我们可以反复用将根的隔离区间一分我们可以反复用将根的隔离区间一分为二为二，其中含有根的区间为新的隔离区间的方
11、法，最终搜索到达其中含有根的区间为新的隔离区间的方法，最终搜索到达到要求精度的根的近似值到要求精度的根的近似值.16function y=erfen(fun,a,b,esp)if feval(fun,a).*feval(fun,b)esp if feval(fun,a).*feval(fun,c)0 b=c;c=(a+b)/2;elseif feval(fun,c).*feval(fun,b)=1.0e-6)&(n=1.0e-4）x0=x1;x1=x0-f(x0)/df(x0);n=n+1;endx1n31四、四、应用举例应用举例一辆汽车售价一辆汽车售价元，可分元，可分m个月付款，每月需交个月
12、付款，每月需交b元，计算元，计算这种分期付款的年利率这种分期付款的年利率.利用这种方式购车，我们需要每月把利用这种方式购车，我们需要每月把b元存入汽车销售商元存入汽车销售商的账户，也就相当于汽车销售商周期的收入资金的账户，也就相当于汽车销售商周期的收入资金.设利率按每设利率按每月收款计算为月收款计算为r，为使为使m个月后存入银行个月后存入银行元，则第一个月应元，则第一个月应该交该交元，第二个月应该交元，第二个月应该交元，一元，一一次类推第一次类推第m个月应该交个月应该交元元.由公式由公式（1）可以计算出月利率，月利率乘以可以计算出月利率，月利率乘以12便可以得到年利率便可以得到年利率.32若买
13、一辆汽车若买一辆汽车32000元元,可分可分36个月付款，每月需交个月付款，每月需交1200该选择哪一种方式购车该选择哪一种方式购车.元元;也可以向银行贷款也可以向银行贷款,贷款的期限为贷款的期限为3年年,年利率为年利率为6.66%,应应例例3解解在公式在公式（1）中中,于是得于是得显然显然r=0是上述方程的根，但这里我们要求的是最小正根是上述方程的根，但这里我们要求的是最小正根.编写函数文件编写函数文件fe.mfunction y=fe(r)y=80*r*(1+r)36-3*(1+r)36+3;33由图知根的隔离区间由图知根的隔离区间0.01，0.5.确定根的隔离区间确定根的隔离区间fplo
14、t(fe,0.01,0.5),grid on 34调用二分法的程序调用二分法的程序,在命令窗口输在命令窗口输入入:erfen(fe,0.01,0.5,1.0e-6)n=20ans=0.0172用二分法求得用二分法求得取初值取初值function y=dfe(r)y=80*(1+r)36+36*(80*r-3)*(1+r)35编写导函数文件编写导函数文件dfe.m确定初值确定初值35编写牛顿迭代法程序编写牛顿迭代法程序newton.mfunction y=newton(r0)r1=r0-fe(r0)/dfe(r0);n=1;while(abs(r1-r0)=1.0e-4）r0=r1;r1=r0-
15、f(r0)/df(r0);n=n+1;endr1n36newtone(0.0172)r1=0.0172n=2于是求得月利率于是求得月利率年利率为年利率为 所以分期付款买车要付的利息高达所以分期付款买车要付的利息高达20.64,与与3年贷款的利年贷款的利率比较率比较,最好选择贷款买车最好选择贷款买车.在命令窗口输入：在命令窗口输入：37实验任务实验任务2.分别用二分法和迭代法求方程分别用二分法和迭代法求方程 在在0，1的实根，并比较两个迭代序列的收敛速度。的实根，并比较两个迭代序列的收敛速度。3.商场对电脑实行分期付款销售，一台售价为商场对电脑实行分期付款销售，一台售价为8000元的电脑，元的电脑，可分可分36个月付款，每月付款个月付款，每月付款300元；同时也可以到银行贷款，元；同时也可以到银行贷款，贷款贷款10000元以下且三年内还清的，年利率为元以下且三年内还清的，年利率为10%，你认为，你认为选择什么方式买电脑更省钱。选择什么方式买电脑更省钱。1.求方程求方程 的实根的隔离区间。的实根的隔离区间。38