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1、新浙教版数学九年级（上）新浙教版数学九年级（上）4.5 4.5 相似三角形的性质及其应用（相似三角形的性质及其应用（2 2）同学们:还记得相似三角形的定义吗?还记得相似多边形的对应边、对应角有什么关系吗？相似三角形的对应边成相似三角形的对应边成比例、对应角相等。比例、对应角相等。在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.算一算：算一算：ABC与与ABC的相似比是多少？的相似比是多少？ABC与与ABC的周长比是多少的周长比是多少?面积比是多少？面积比是多少？44正方形网格正方形网格看一看：看一看：ABCABC与与A AB BC C有什么关
2、系？有什么关系？为什么？为什么？验一验：验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？你能加以验证吗？想一想：想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？（相似）（相似）周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方101022215522ABCACBABCABCDD相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的面积比等于相似比的平方平方已知已知 ABC A B
3、 C，相似比为，相似比为k，求证，求证:已知：已知：如图，如图，ABC ABC AAB BC C,ABC,ABC与与 A AB BC C的相的相似比是似比是k,ADk,AD、A AD D是对应高。是对应高。求证：求证：ABCBACDD证明：证明：ABCABCB=B ABD=ABD=90O ABDABD两个相似三角形的两个相似三角形的对应高之比等于相似比对应高之比等于相似比。大家一起来思考！大家一起来思考！那么相似三角形对应角平分线的比,对应中线的比会等于相似比？ABCD EA/B/C/D/E/FF相似三角形性质定理：相似三角形性质定理：相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于
4、相似比。ABCABC ABCD EA/B/C/D/E/FF巩固提问巩固提问:我们已经学习相似三角形的性质有哪些？我们已经学习相似三角形的性质有哪些？1、相似三角形对应角相等。、相似三角形对应角相等。2、相似三角形对应边成比例。、相似三角形对应边成比例。3、相似三角形的周长之比等于相似比；、相似三角形的周长之比等于相似比；4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。5、相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比、相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比等于相似比。等于相似比。已知两个三角形相似，请完成下列表格已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比相似比周长比
5、周长比面积比面积比注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要求面积比要平方平方，而已知面积比，求相似比或，而已知面积比，求相似比或周长比则要周长比则要开方开方。241001001000019131321.1.如图如图,铁道口的栏杆短臂长铁道口的栏杆短臂长1m,1m,长臂长长臂长16m,16m,当当短臂端点下降短臂端点下降0.5m0.5m时时,长臂端点升高长臂端点升高 m m。OBDCA1m16m0.5m8给我一个支点我可以撬起整个地球给我一个支点我可以撬起整个地球!-阿基米德阿基米德？校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，校园里有一棵大铁树，要
6、测量树的高度，你有什么方法？你有什么方法？把一小镜子放在离树（把一小镜子放在离树（AB）8米的点米的点E处，处，然后沿着直线然后沿着直线BE后退到点后退到点D，这时恰好在镜子，这时恰好在镜子里看到树梢顶点里看到树梢顶点A，再用皮尺量得，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高观察者目高CD=1.6m。这时树高多少？你能解。这时树高多少？你能解决这个问题吗？决这个问题吗？ABEDC 把长为把长为2.40m的标杆的标杆CD直立在地面上，直立在地面上，量出树的影长为量出树的影长为2.80m，标杆的影长为，标杆的影长为1.47m。这时树高多少？你能解决这个问。这时树高多少？你能解决这个问题吗？题吗？（精
7、确到（精确到0.1M）ABCDEF巩固提高巩固提高 如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，边是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这上，这个正方形零件的边长是多少？个正方形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：解：设正方形设正方形PQMN是符合要求的是符合要求的ABC的高的高AD与与PN相交于点相交于点E。设正方形。设正方形PQMN的边长为的边长为x毫米。毫米。因为因为PNBC，所以，所以APN ABC所以所以AE
8、AD=PNBC因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：（毫米）。答：-。80 x80=x12012080 x 如图，已知零件的外径为如图，已知零件的外径为a a，要求它的，要求它的厚度厚度x x，需先求出内孔的直径，需先求出内孔的直径ABAB，现用一个，现用一个交叉卡钳（两条尺长交叉卡钳（两条尺长ACAC和和BDBD相等）去量，若相等）去量，若OAOA:OC=OB:OD=nOC=OB:OD=n，且量得，且量得CD=bCD=b，求厚度，求厚度x x。O O（分析：如图，要想求厚度（分析：如图，要想求厚度x x，根据条件可知，首先得，根据条件可知，首先得求出内孔直径求出内孔直径ABAB。而在图。
9、而在图中可构造出相似形，通过相中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出似形的性质，从而求出ABAB的长度。）的长度。）O O解：解：AOBCODAB=CD n=nb又又CD=b且且AOB=COD OA:OC=OB:OD=n OA:OC=AB:CD=n 又又x=(a AB)2 =(a nb)2BACDE如图，已知如图，已知DE/BC,AB=30m,BD=18m,ABC的周长为的周长为80m，面积为，面积为100m2,求求ADE的周长和面积的周长和面积30m18mADE1.过过E作作EF/AB交交BC于于F,其他条件不变，则其他条件不变，则EFC的面积等于多少？的面积等于多少？BDEF面积为多少？面积为多少？2.若设若设SABC=S,SADE=S1,SEFC=S2。请猜想：。请猜想：S与与S1、S2之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？S =S1+S2BCF48m236m2163630m18mACBPFMNGEDS3S1S2 如图如图，DE/BC,FG/AB,MN/AC,且且DE、FG、MN交于点交于点P。若记若记SDPM=S1,SPEF=S2,SGNP=S3SABC=S、S与与S1、S2、S3之间是否也有之间是否也有类似结论类似结论？猜想并加以验证？猜想并加以验证。探究探究