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1、第第7章章 离散控制系统离散控制系统 计算机被引入控制系统后，控制系统中有一部分信号不再是时间的连续函数，而是一组离散的脉冲序列或数字序列，这样的系统称为离散控制系统。7.1 离散控制系统基本概念离散控制系统基本概念离散控制系统是指系统内的信号在某一点上是不连续的。仔细区分时，又可以把离散控制系统进一步分为采样控制系统和数字控制系统两大类。7.1.1 采样控制系统采样控制系统图7-1所示为多点温度采样控制系统。系统内的控制器和对象均是连续信号处理器，用采样开关来解决多个对象共享一个控制器问题。类似的系统称为采样控制系统图7-1多点温度采样控制系统7.1.2 数字控制系统数字控制系统图7-2所示
2、为数字闭环控制系统。控制器只能处理数字（离散）信号，控制系统内必有A/D、D/A转换器完成连续信号与离散信号之间的相互转换。类似的系统称为数字控制系统。图7-2数字闭环控制系统7.2 信号的采样与复现信号的采样与复现7.2.1 香农采样定理香农采样定理1数学描述将连续信号f(t)加到采样开关的输入端，采样开关每T秒闭合一次，闭合的持续时间为秒，在闭合期间，截取被采样的f(t)的幅值，作为采样开关的输出。在断开期间，采样开关的输出为零。于是在采样开关的输出端就得到宽度为的脉冲序列f*(t)，如图7-3所示。（以带“*”表示采样信号。）由于开关闭合的持续时间很短，远小于采样周期T，即T，可以认为f
3、(t)在时间内变化甚微，所以f*(t)可以近似表示高为f(kT)、宽为的矩形脉冲序列。即（7-1）图7-3采样过程由于在控制系统中，当t0时，f(t)=0，所以序列k取0+。式中1(tkT)1(tkT)为两个阶跃函数之差，表示一个在kT时刻，高为1、宽为、面积为的矩形，如图7-4所示。由于很小，比采样开关以后系统各部分的时间常数小很多，即可认为0，则此矩形可近似用发生在kT时刻的函数表示1(tkT)1(tkT)=(tkT)式中(tkT)为t=kT处的函数。于是式（7-1）可表示为（7-2）（7-3）由于为常数，为了方便，把归到采样开关以后的系统中去，则采样信号可描述为（7-4）由于t=kT处的
4、f(t)值就是f(kT)，所以式（7-4）可写作（7-5）式中称为单位理想脉冲序列，若用 T(t)表示，则式（7-5）可写作f*(t)=f(t)T(t)（7-6）式（7-6）就是信号采样过程的数学描述图7-4kT时刻的矩形波从物理意义上看，式（7-6）所描述的采样过程可以理解为脉冲调制过程。采样开关即采样器是一个幅值调制器，输入的连续信号f(t)为幅值调制信号，而单位理想脉冲序列T(t)则为载波信号，采样器的输出则为一串调幅脉冲序列f*(t)，如图7-5所示。图7-5采样器相当于幅值调制器2采样定理首先将式（7-5）中的T(t)展开成傅氏级数，即式中，s采样角频率；Fs采样频率；T采样周期；c
5、k傅氏级数的系数，由下式决定（7-8）（7-7）由于在到区间仅在时取值为1，所以（7-9）因为当t0时，f(t)=0，所以由式（7-4）、式（7-7）和式（7-9）可得（7-10）这是采样信号f*(t)的傅氏级数表达式。对此式进行拉氏变换，可得采样信号的拉氏变换式（7-11）于是，得到采样信号的频率特性为（7-12）式中，F(j)原输入信号f(t)的频率特性；F*(j)采样信号f*(t)的频率特性。假定|F(j)|为一孤立的频谱，它的最高角频率为max，如图7-7（a）所示采样信号f*(t)的频谱|F*(j)|为无限多个原信号f(t)的频谱|F(j)|之和，且每两条频谱曲线的距离为s，如图7-
6、7（b）所示。如果s/2max，就会使|F*(j)|中各个波形互相搭接如图7-7（c）所示，就无法通过滤波器滤除F*(j)中的高频部分并复现为F(j)，也就不能从f*(t)恢复为f(t)。图7-7原连续信号与采样信号的频谱采样定理可叙述如下：如果采样周期满足下列条件，即s=2/T2max（7-14）或T/max需要指出的是，采样定理只是在理论上给出了信号准确复现的条件，但还有两个实际问题需要解决。其一，实际的非周期连续信号的频谱中最高频率是无限的，如图7-8（a）所示。因此就不可能选择一个有限采样频率，使信号采样后频谱波形不重复搭接。即不论采样频率选择多高，采样后信号频谱波形总是重复搭接的，如
7、图7-8（b）所示。其二，需要一个幅频特性为矩形的理想低通滤波器，才能把原信号不失真地复现出来，而这样的滤波器实际上是不存在的。因此复现的信号与原信号是有差别的。图7-8非周期连续信号采样前后的频谱【例7-1】设连续信号f(t)=e2t，试选择采样频率，使信息损失不超过5%。解：取f(t)=e2t的拉氏变换得则其幅频特性为其零频振幅为若b=0.05，则max可由下式确定=0.05|F(0)|=0.050.5=0.025所以max40，根据采样定理应取s80。7.2.2 零阶保持器的原理零阶保持器的原理为了从采样信号复现出原连续信号，而又不使上述高频分量进入系统，应在采样开关后面串联一个信号复现
8、滤波器，它的功能是滤去高频分量，而无损失地保留原信号频谱。能使采样信号不失真地复现为原连续信号的低通滤波器应具有理想的矩形频率特性，即（7-15）其图形如图7-9所示。且式中s满足采样定理，即s2max，max为原连续信号频谱的最高频率。经过这样的滤波器滤波之后，信号的频谱变为（7-16）上式意味着，经过理想滤波以后，脉冲序列的频谱与原连续信号的频谱一样，只是幅值为原来的1/T。实际上，具有图7-9所示理想频率特性的滤波器是不存在的，工程上只能采用具有低通滤波功能的保持器来代替。图7-9理想滤波器的频率特性保持器是将采样信号转换成连续信号的装置，其转换过程恰好是采样过程的逆过程。f(kT+t)
9、=f(kT)0tT（7-19）上式表明，零阶保持器的作用是把kT时刻的采样值保持到下一个采样时刻(k+1)T到来之前，或者说按常值外推，如图7-10所示。图7-10零阶保持器的作用据此可绘出零阶保持器的幅频特性和相频特性曲线，如图7-11所示。图7-11零阶保持器的频率特性由图可见，其幅值随频率增高而减小，所以零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想低通滤波器。7.3 离散控制系统的数学模型离散控制系统的数学模型离散控制系统的数学模型，它包含以下3个基本内容。（1）差分方程。（2）z变换。（3）脉冲传递函数。7.3.1 差分方程差分方程1差分的概念差分与连续函数的微分相对应。不同的是差分有前向差
10、分和后向差分之别。如图7-12所示，连续函数f(t)经采样后为f*(t)，在kT时刻，其采样值为f(kT)，为简便计，常写作f(k)。图7-12前向差分与后向差分一阶前向差分的定义为f(k)=f(k+1)f(k)（7-23）二阶前向差分的定义为（7-24）n阶前向差分的定义为nf(k)=n1f(k+1)n1f(k)（7-25）同理，一阶后向差分的定义为f(k)=f(k)f(k1)（7-26）二阶后向差分的定义为（7-27）n阶后向差分的定义为nf(k)=n1f(k)n1f(k1)（7-28）2差分方程若方程的变量除了含有f(k)本身外，还有f(k)的各阶差分f(k)，2f(k)，nf(k)，则
11、此方程称为差分方程。7.3.2 z变换与反变换与反z变换变换1定义z变换实质上是拉氏变换的一种扩展，也称作采样拉氏变换。在采样系统中，连续函数信号f(t)经过采样开关，变成采样信号f*(t)，由式（7-4）给出对上式进行拉氏变换F*(s)=（7-30）由上式可以看出，任何采样信号的拉氏变换中，都含有超越函数e，因此，若仍用拉氏变换处理采样系统的问题，就会给运算带来很多困难。为此，引入新变量z，令z=e（7-31）则将F*(s)记作F(z)，则式（7-30）可以改写为（7-32）这样就变成了以复变量z为自变量的函数，称此函数为f*(t)的z变换。记作F(z)=Zf*(t)因为z变换只对采样点上信
12、号起作用，所以上式也可以写为F(z)=Zf(t)应注意，F(z)是f(t)的z变换符号，其定义就是式（7-32），不要误以为它是f(t)的拉氏变换式F(s)中的s以z简单置换的结果。将式（7-32）展开，有F(z)=f(0)z+f(T)z+f(2T)z+f(kT)z+（7-33）可见，采样函数的z变换是变量z的幂级数。正因为z变换只对采样点上信号起作用，因此，如果两个不同的时间函数f1(t)和f2(t)，它们的采样值完全重复（见图7-13），则其z变换是一样的。即f1(t)f2(t)，但由于f1*(t)=f2*(t)，则F1(z)=F2(z)，就是说采样函数f*(t)与其z变换函数是一一对应的
13、。但采样函数所对应的连续函数不是唯一的。图7-13正反z变换的非一一对应2z变换的性质z变换与拉氏变换的性质相类似，z变换有线性，位移（时位移、复位移），初、终值定理等，如表7-1所示。表7-1z变换线性，位移，初、终值定理表和差Zu1(kT)u2(kT)=U1(z)U2(z)乘常数Zau(kT)=aZu(kT)=aU(z)时位移Zu(kTnT)=znU(z)初值定理终值定理3z变换的求法（1）用定义求。已知时函数f(t)，则，展开后，根据无穷级数求和公式a+aq+aq2+=(|q|1)即可求出函数的z变换。【例7-2】考虑下列序列u(kT)=e(k=0,1,2)其中a为常数，求u*(t)的z
14、变换解：则将上式两边同时乘以e，得到的结果再与上式两边对应相减，若满足|e(s+a)T1|，则可以得到其中，是s的实部，由此可以得到u*(t)的z变换为 (|eaT z1|14z反变换z反变换可以记作z1F(z)=f*(t)（7-34）求z反变换的方法通常有3种：部分分式展开法、级数展开法（综合除法）积留数法。在求z反变换时，仍假定当k0时，f(kT)=0。（1）部分分式展开法。此法是将F(z)通过部分分式分解为低阶的分式之和，直接从z变换表中求出各项对应的z反变换，然后相加得到f(kT)。【例7-4】已知，求f(kT)。解：由于F(z)中通常含有一个z因子，所以首先将式F(z)/z展成部分分
15、式较容易些。再求F(z)的分解因式查z变换表，得到所以f(kT)=1+2k即f(0)=0，f(T)=1，f(2T)=3，f(3T)=7，f(4T)=15，f(5T)=31（2）级数展开法。级数展开法又称综合除法，即把式F(z)展开成按z1升幂排列的幂级数。因为F(z)的形式通常是两个z的多项式之比，即所以很容易用综合除法展成幂级数。对上式用分母去除以分子，所得之商按z1的升幂排列F(z)=c0+c1 z1+c2 z2+ck zk+=（7-35）这正是z变换的定义式。zk项的系数ck就是时间函数f(t)在采样时刻t=kT的值。【例7-5】试用幂级数展开法求的z反变换。解：进行综合除法运算得到F(
16、z)=0+z+3z+7z+15z+31z+63z+由上式的系数可知f(0)=0，f(T)=1，f(2T)=3，f(3T)=7，f(4T)=15，f(5T)=31，f(6T)=63结果与例7-4所得结果相同。5用z变换法解差分方程应用z变换的线性定理和时移定理，各阶前向差分的z变换函数为Zf(k)=Zf(k+1)f(k)=(z1)F(z)zf(0)Zf(k)=(z1)F(z)z(z1)f(0)zf(0)Z n f(k)=(z 1)n F(z)z(z1)n1f(c)（7-36）（7-37）（7-38）其中，f(0)=f(0)。同理，各阶后向差分的z变换函数为Zf(k)=Zf(k)f(k1)=(1z
17、1)F(z)（7-39）Zf(k)=(1z1)F(z)（7-40）Zf(k)=(1z1)nF(z)（7-41）式中，t0或f(t)=0。与微分方程的解法类似，差分方程也有3种解法：常规解法、z变换法和数值递推法。【例7-6】已知一阶差分方程为y(k+1)ay(kT)=bu(kT)设输入为阶跃信号u(kT)=A，初始条件y(0)=0，试求响应y(kT)。解：将差分方程两端取z变换，得zY(z)zc(0)aY(z)=bA代入初始条件，求得输出的z变换为为求得时域响应y(kT)，需对Y(z)进行反变换，先将Y(z)/z展成部分分式于是查变换表，求得上式的反变换为 (k=0,1,2)【例7-7】试用z
18、变换法解下列差分方程y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0已知初始条件为y(0)=0，y(1)=1，求y(k)。解：对方程两边取z变换，并应用时移定理，得z2Y(z)z2y(0)zy(1)+3zY(z)3zy(0)+2Y(z)=0代入初始条件，整理后得(z2+3z+2)Y(z)=z查变换表，进行反变换得y(k)=(1)k(2)k(k=0,1,2)7.3.3 脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义对于图7-14所示的离散系统结构图，定义脉冲传递函数式中，g(kT)是单位脉冲响应g(t)的离散表示；U(z)、Y(z)分别是离散过程输入离散信号和输出离散信号的z变换，即U(z)=Zu*(t)Y(
19、z)=Zy*(t)如果一个系统如图7-15表示，此时有Y(s)=G(s)U*(s)，Y(s)=Ly(t)。图7-14离散过程的结构图图7-15开环采样系统方框图严格说，G(s)和U*(s)表示不同类型的函数，不能直接用拉氏变换求出其对应的时间函数。作为一种转换，可以假定在输出端存在一个采样开关S2，其采样周期与S1相同，且S2与S1同步动作，则在S2后可表示为y*(t)，上式可转换为Y*(s)=G(s)U*(s)则有Y(z)=G(z)U(z)即当一个环节的输出不是离散信号时，严格说来，不能求出其脉冲传递函数，但可采用虚拟开关的办法转换求解。7.3.4 开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函
20、数假定输出变量前有采样开关（或有一理想的虚拟采样开关），或者输入变量后有采样开关，则分析下面两种情况。1两串联环节间有采样开关图7-16（a）所示两个串联环节间有采样器隔开，所以有U1(z)=G1(z)U(z)（7-42）Y(z)=G2(z)U1(z)（7-43）式中，G1(z)、G2(z)分别为线性环节G1(s)、G2(s)的脉冲传递函数，即G1(z)=ZG1(s)，G2(z)=ZG2(s)。则由式（7-42）和式（7-43）可得Y(z)=G1(z)G2(z)U(z)所以，图7-16（a）所示系统的脉冲传递函数为可见，两个环节间有采样器隔开时，环节串联等效脉冲传递函数为两个环节的脉冲传递函数
21、的乘积。同理，n个环节串联，且所有环节之间均有采样器隔开时，则等效脉冲传递函数为所有环节的脉冲传递函数的乘积，即G(z)=G1(z)G2(z)Gn(z)（7-44）2串联环节间无采样器时如图7-16（b）所示，由于环节间没有采样器，因而G2(s)环节输入的信号不是脉冲序列，而是连续函数，所以不能像图7-16（a）那样求G2(z)=Y(z)/U1(z)，而应先把G1(s)、G2(s)进行串联运算求出等效环节G1(s)G2(s)，则G1(s)G2(s)的z变换才是U(z)、Y(z)之间的脉冲传递函数，即G(z)=Z G1(s)G2(s)=G1G2(z)（7-45）式中，G1G2(z)表示G1(s)
22、G2(s)经采样后的z变换。显然ZG1(s)G2(s)=G1G2(z)G1(z)G2(z)（7-46）即各环节传递函数乘积的z变换，不等于各环节传递函数z变换的乘积。图7-16环节串联的开环系统由此可知，两个串联环节间无采样器隔开时，等效脉冲传递函数等于两个环节传递函数乘积经采样后的z变换。同理，此结论也适用于多个环节串联而无采样器隔开的情况，即有G(z)=ZG1(s)G2(s)Gn(s)=G1G2Gn(z)（7-47）如果串联的多个环节中存在上述两种情况，则按上述原则分段处理。如果把离散后的传递函数或变量记为G*(s)，则可以把上述两种情况简单归纳为下面两个重要公式若Y(s)=E*(s)G(
23、s)，则Y*(s)=E*(s)G(s)*=E*(s)G*(s)（7-48）即Y(z)=E(z)G(z)。若Y(s)=E(s)G(s)，则Y*(s)=E(s)G(s)*=EG*(s)=GE*(s)（7-49）即Y(z)=EG(z)=GE(z)。【例7-8】求零阶保持器与环节串联时的脉冲传递函数，系统结构图如图7-17（a）所示。解：已知G(s)，由于Gh(s)与Gp(s)之间无采样开关，因此串联环节的z变换不等于单个环节z变换后的乘积。为分析方便起见，将图7-17（a）等效为图7-17（b）所示形式。由图可见，采样信号u*(t)分两条通道作用于开环系统，一条直接作用于；另一条通过纯滞后环节，滞后
24、一个采样周期作用于，其响应分别为所以(z)=Y1(z)Y2(z)=(1z1)(z)U(z)最后求得开环脉冲传递函数为（7-50）图7-17有零阶保持器的开环系统【例7-9】如图7-17所示系统中试求开环系统的脉冲传递函数G(z)=Y(z)/U(z)。解：查变换表，进行z变换，得根据式（7-50）得（7-51）3并联环节的脉冲传递函数先介绍两个等效图形，如图7-18所示。图7-18并联环节的等效注意：并联环节中的变量是相加减关系，只有同类型的变量才能相加减。因此我们讨论如图7-19所示的并联环节图7-19并联环节方框图显然有Y(s)=U*(s)G1(s)G2(s)Y*(s)=U*(s)G1(s)
25、G2(s)*Y(z)=U(z)G1(z)U(z)G2(z)即（7-52）7.3.5闭环系统的脉冲传递函数根据不同结构，把离散系统分为下面两种情况。（1）输入信号在进入反馈回路后，至回路输出节点前，至少有一个真实的采样开关，则可用简易法计算。（2）不满足（1）条件的一般不能用简易法计算。1闭环系统脉冲传递函数的一般计算方法表7-2列出了部分离散系统结构图及其脉冲传递函数。表7-2部分离散系统结构图及其脉冲传递函数序号结构图Y(z)123456782闭环系统脉冲传递函数的简易计算方法下面介绍一种脉冲传递函数的简易计算方法，具体如下。（1）去掉离散系统中的采样开关，求出对应连续系统的输出表达式。（2
26、）表达式中各环节乘积项需逐个决定其“*”号。方法是：乘积项中某项与其余相乘项两两比较，当且仅当该项与其中任一相乘项均被采样开关分隔时，该项才能打“*”号，否则需相乘后才打“*”号。（3）取z变换，把有“*”号的单项中的变换为，多项相乘后仅有一个“*”号的，其变换等于各项传递函数乘积的z变换。【例7-10】系统如图7-21所示，求该系统的脉冲传递函数。解：显然该系统可用简易法计算，去掉采样开关后，连续系统的输出表达式为对上式进行脉冲变换（加“*”），则有变量置换后得插入该系统的脉冲传递函数图7-21系统结构图解：由梅逊增益公式可求得与图7-22对应的连续系统的输出为Y(s)G1G2G3+G4G3
27、(1G2H2)U(s)其中，=1G2H2 G3H3 G1G2G3H1+G2H2(G3H3)。所以离散化得变量置换得【例7-11】系统如图7-22所示，求该系统的脉冲传递函数。图7-22系统结构图图7-23 系统结构图【例7-12】系统如图7-23所示，求此系统的脉冲传递函数。图7-23系统结构图解：用代数消元法求出系统输入、输出关系式为Y(s)=Gc(s)E(s)E(s)=U(s)B(s)=U(s)H1(s)U1*(s)则Y(s)=Gc(s)U(s)Gc(s)H1(s)U1*(s)Y*(s)=Gc(s)U(s)*Gc(s)H1(s)*U1*(s)U1*(s)=H2(s)Y(s)*=H2(s)G
28、c(s)E(s)*=H2(s)Gc(s)U(s)H1(s)U1*(s)*=H2(s)Gc(s)U(s)*H1(s)H2(s)Gc(s)*U1*(s)则则即其中关键是求出U1*(s)。如果图7-23中，在Gc(s)前增加采样开关根据图7-18（a），此时等价于在综合点前分别增加两个采样开关，则该结果与用简易法获得的结果一致（此时满足简易法计算条件）。如果图7-23中，在Gc(s)后增加采样开关根据图7-18（b），此时等价于在H2(s)前增加采样开关，则该结果仍与用简易法计算得到的结果一致（此时仍满足简易法计算条件）。【例7-13】系统如图7-24所示，求该系统的脉冲传递函数。图7-24系统结构
29、图解：用代数消元法求得7.4 离散系统的性能分析离散系统的性能分析7.4.1 离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析1离散系统的零、极点概念离散系统零、极点的含义与连续系统的相类似。离散系统的极点是指，特征方程的根或无零、极点相消时脉冲传递函数的极点。离散系统的特征方程(z)=0有以下3种表示形式。（1）根据输入输出差分方程式（7-35）齐次部分的系数表示为(z)=z+an1zn1+a1z+a0=0（2）根据状态方程的系数矩阵A表示为(z)=det(zIA)=0（3）当无零、极点相消时根据系统的开环脉冲传递函数Gk(z)表示为(z)=1+G(z)=0以上3种表示形式是等价的。2z平面与s平面
30、的映射关系在定义z变换时，因为令z=e，即rej=e(+j)T=eTe所以r=eT，=T=2（1）s平面的虚轴在z平面上的映射。如图7-25（a）所示（2）对于s平面的左半部分，由于所有复变数s=+j均具有0的性质，所以映射到z平面上z=eTejT的模eT均小于1，并且不论取何值，相应的点z均处在上述单位圆内。因此得出结论：整个s平面的左半部分在z平面的映射，是以原点为圆心的单位圆内部区域。由于实际采样系统的截止频率很低（远低于采样频率s），所以一般把从到的带状区域称为主频区，如图7-25（b）所示。其他的则称为次频区。（3）s平面右半部分在z平面上的映射。图7-25s平面到z平面的映射表7-
31、3z平面与s平面的映射关系对应表s平面z平面稳定性讨论=0，虚轴r=1，单位圆稳定边界0，左半部分r1，单位圆内稳定为负常数，虚轴的平行线r为常数，圆心圆稳定0，右半部分r1，单位圆外不稳定=0，实轴正实轴不稳定为常数，实轴的平行线端点为原点的射线不稳定3离散系统稳定的充要条件根据在s平面系统稳定的条件是极点0可知，离散系统稳定的条件是r1，即所有的闭环极点均应分布在z平面的单位圆内；只要有一个在单位圆外，系统就不稳定；有一个在单位圆上时，系统处于稳定边界。【例7-14】图7-26所示系统中，设采样周期T=1s，试分析当K=4和K=5时系统的稳定性。图7-26采样系统解：系统连续部分的传递函数
32、为则所以，系统的闭环脉冲传递函数为系统的闭环特征方程为(z1)(zeT)+Kz(1eT)=0（1）将K=4，T=1代入方程，得z2+1.16z+0.368=0解得z1=0.580+j0.178，z2=0.580j0.178z1、z2均在单位圆内，所以系统是稳定的（2）将K=5、T=1代入方程，得z2+1.792z+0.368=0解得z1=0.237，z2=1.555因为z2在单位圆外，所以系统是不稳定的。7.4.2 离散系统稳定性的代数判断依据离散系统稳定性的代数判断依据1朱利（Jury）判断依据此判断依据是根据Z平面内特征式D(z)的系数来判别特征根是否全位于单位圆内，从而判别系统是否稳定。
33、设系统的闭环特征式为D(z)=a0+a1z+a2z2+anzn（7-58）式中，ai(i=0,1,2)为系数，n为阶次，且有an0。首先将各系数排成朱利阵列，如表7-4所示。表7-4朱利阵列行数z0z1z2znkzn1zn1a0a1a2ankan1an2anan1an2aka1a03b0b1b2bnkbn1/4bn1bn2bn3bk1b0/5c0c1c2cnkcn2/6cn2cn3cn4ck2c0/2n5p0p1p2P3/2n4p3p2p1p0/2n3q0q1q2/2n2q2q1q0/表中k=0,1,n。第一行为对应的方程系数，第二行及后面的偶次行的元素，分别为其前一行元素反顺序排列而得到。阵
34、列中各元素定义如下，系统稳定的充要条件是D(1)0,D(1)且满足当上述条件均满足时，系统是稳定的。【例7-15】已知采样系统的闭环特征方程为D(z)=z3+2z2+1.31z+0.28=0试判别该系统的稳定性。解：D(1)=4.590，D(1)=2.31+2.28=0.030，n=3，朱利阵列如下表所示。行数z0z1z2z310.281.31212121.310.2830.921.630.7540.751.630.92表中第三行元素为第四行只要将第三行元素反顺序排列即可。现由式（7-59）判别n1个约束条件：|a0|=0.28，an=1，所以|a0|an；|b0|=0.92，|b2|=0.7
35、5，所以|b0|bn1|。所有条件均满足，因此系统是稳定的。【例7-16】已知系统的闭环特征方程为D(z)=45z3117z2+119z39=0试判别该系统的稳定性。解：D(1)=80，D(1)0，n=3，朱利阵列如下表所示。行数z0z1z2z3139119117452451171193935046247924792624504表中第三行元素为又因为|a0|=39an=45，而|b0|=504，|b2|=792，|b0|b2|，所以此条件不满足，系统是不稳定的。2劳斯判断依据在z域中的应用如果将z平面再复原到s平面，则系统的方程中又将出现超越函数。所以要设法再寻找一种新的变换，使z平面的单位圆
36、内映射到一个新的平面的虚轴之左。此新的平面称为w平面，在此平面上，可直接应用劳斯稳定判断依据。【例7-17】设系统的特征方程为D(z)=45z3117z2+119z39=0试用w平面的劳斯判断依据判别系统的稳定性。解：将代入特征方程得两边乘(w1)3，化简后得D(w)=w3+2w2+2w+40=0求得劳斯表如下所示w3120w22400w1180w040因为第一列元素有两次符号改变，所以系统不稳定，结论同上例。正如连续系统中介绍的那样，用劳斯判断依据还可以判断出有多少个根在右半平面。本例有两次符号改变，即有两个根在w右半平面，也即有两个根在z平面的单位圆外。这是劳斯判断依据的优点之一。【例7-
37、18】已知系统结构如图7-29所示，采样周期T=0.1s。试判别系统稳定时，K的取值范围。图7-29系统结构图解：因为查表得因为T=0.1s，e1=0.368，所以单位反馈系统的闭环传递函数为特征方程为D(z)=1+G(z)=0即z2+(0.632K1.368)z+0.368=0朱利判断依据的稳定条件如下。由D(a)0，得1+0.632K1.368+0.3680，则0.362K0，所以K0。由D(1)0，n=2，得1(0.632K1.368)+0.3680，则0.632K2.736，所以K4.32。由|a0|=0.368an=1，因此系统稳定时，K的取值范围为0K4.32。由于此例中，采样信号
38、未经过保持器直接加到系统中，故实际上应取0K/4.32，其中为脉冲宽度。可以看出，当系统中没有采样器时，二阶连续系统K0总是稳定的。有了采样器后，系统稳定时K的范围就有了限制，加大K会导致系统不稳定。7.4.3 离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差一般来说分为采样时刻处的稳态误差与采样时刻之间纹波引起的误差两部分。设采样系统的结构图如图7-30所示。图中G(s)是系统连续部分的传递函数，e(t)为连续误差信号，e*(t)为采样误差信号。图7-30单位反馈采样系统系统的误差脉冲传递函数为由此可得误差信号的z变换为假定系统是稳定的，即cr(z)的全部极点均在z平面的单位圆内，则可
39、用终值定理求出采样时刻处的稳态误差，为（7-65）下面分别讨论3种典型输入信号作用下的系统的稳态误差。1单位阶跃输入信号作用下的稳态误差由u(t)=1(t)可得将此式代入式（7-65），得稳态误差为（7-66）与连续系统类似，定义（7-67）为静态位置误差系数，则稳态误差为（7-68）从Kp定义式中可以看出，当G(z)中有一个以上z=1的极点时，Kp=，则稳态误差为零。也就是说，系统在阶跃输入信号作用下，无差的条件是G(z)中至少要有一个z=1的极点。2单位斜坡输入信号作用下的稳态误差由u(t)=t可得将上式代入式（7-65），得稳态误差为（7-69）定义（7-70）为静态速度误差系数，则稳态
40、误差为从Kv定义式中可以看出，当G(z)中有2个以上z=1的极点时，Kv=，则稳态误差为零。也就是说，系统在斜坡输入信号作用下，无差的条件是G(z)中至少要有两个z=1的极点。（7-71）3单位抛物线输入信号作用下的稳态误差由可得将上式代入式（7-65），得稳态误差为（7-72）定义（7-73）为静态加速度误差系数，则稳态误差为（7-74）从Ka定义式中可以看出，当G(z)中有3个以上z=1的极点时，Ka=，则稳态误差为零。也就是说，系统在抛物线函数输入信号作用下，无差的条件是G(z)中至少要有3个z=1的极点。表7-5采样时刻处的稳态误差系统型别u(t)=1(t)u(t)=(t)01/(1+
41、Kp)0T/Kv00T2/Ka图7-31 采样系统方框图【例7-19】采样系统的方框图如图7-31所示。设采样周期T=0.1s，试确定系统分别在单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线函数输入信号作用下的稳态误差。解：系统的开环传递函数为系统的开环脉冲传递函数为为应用终值定理，必须判别系统是否稳定，否则求稳态误差没有意义。系统闭环特征方程为D(z)=1+G(z)=0即(z1)(z0.368)+0.632z=0z20.736z+0.368=0令，代入上式，求得D(w)=0.632w2+1.264w+2.104=0由于系数均大于零，所以系统是稳定的。先求出以下静态误差系数：静态位置误差系数为静态速度误差系数
42、为静态加速度误差系数为所以，不同输入信号作用下的稳态误差如下：单位阶跃输入信号作用下单位斜坡输入信号作用下单位抛物线输入信号作用下实际上，若从结构图鉴别出系统属型系统，则可根据表7-5直接得出上述结果，而不必逐步计算。7.4.4 离散系统的动态性能离散系统的动态性能如果采样系统的闭环脉冲传递函数已知，则不难求出在一定的输入信号u(t)或u*(t)作用下，系统输出的z变换Y(z)，再经过z反变换，求得系统输出的时间序列y(kT)或y*(t)，即采样系统的过渡过程。有了过渡过程y(kT)，便可确定系统的稳态和动态性能指标，例如超调量、衰减比、稳定时间以及稳态误差等。下面分析采样系统在单位阶跃输入信
43、号作用下的过渡过程。设采样系统的结构图如图7-32所示。图中Gp(s)和Gh(s)分别为被控对象与零阶保持器的传递函数。假定控制器的传递函数Gc(s)=Kp=1，采样周期T=1s。图7-32采样系统方框图因为保持器与被控对象之间没有采样器，所以系统的闭环脉冲传递函数为又因为Gh(s)Gp(s)=(1eTs)进行z变换，并将T=1代入，得因此求得系统输出的z变换为因为u(t)=1(t)，所以U(z)=z/(z1)，代入上式，求得系统输出的z变换为用综合除法进行幂级数展开，得Y(z)=0.368z1+z2+1.4z3+1.4z4+1.147z5+0.895z6+0.803z7+0.871z8+0.
44、998z9+1.082z10+1.085z11+1.035z12+取Y(z)的z反变换，求得系统的单位阶跃响应序列值为c(0)=0 c(1)=0.368c(2)=1c(3)=1.4c(4)=1.4c(5)=1.147c(6)=0.895c(7)=0.863c(8)=0.871c(9)=0.998c(10)=1.082c(11)=1.085c(12)=1.035根据这些系统输出的采样时刻的值，可以大致描绘出系统单位响应的近似曲线（因为不能确定采样时刻之间的输出值），如图7-33所示。图7-33系统的单位响应近似曲线设采样系统的典型方框图如图7-34所示，则其闭图7-34典型采样系统环特征方程为1
45、+GH(z)=0（7-75）系统的开环脉冲传递函数GH(z)一般是z的有理分式，即式中，p1,p2,pn采样系统的开环极点；z1,z2,zm采样系统的开环零点；KL根轨迹增益，是和开环放大系数成比例的。根据开环零、极点确定系统的闭环极点，应求解系统的特征方程式（7-75）。从该式可得出在z平面上绘制采样系统根轨迹的条件如下：幅值条件|GH(z)|=1 相角条件（7-76）从式（7-75）可以看出，采样系统中闭环特征方程与开环脉冲传递函数之间的联系，与连续系统中完全相同。所以，采样系统z平面根轨迹的绘制，完全可以套用连续系统的s平面根轨迹的绘制规则与步骤，这里不再重复。但有一点需要注意，采样系统
46、的稳定边界是单位圆。在求根轨迹与单位圆的交点时，不能直接利用劳斯判断依据。在具体讨论根轨迹分析法以前，需要了解以下两个问题。1闭环极点位置与系统过渡过程的关系设系统的方框图如图7-34所示，则系统的闭环脉冲传递函数为一般情况下，闭环脉冲传递函数(z)可以表示为两个多项式之比的形式，即（7-77）式中，zi(i=1,2,m)系统的闭环零点；pj(j=1,2,n)系统的闭环极点；K常系数，即系统稳态放大系数。对于实际系统来说，有nm，式中zi和pj可以是实数或复数。为了简化讨论，假定(z)无相重极点，则系统在单位阶跃输入信号作用下，输出的z变换为进行部分分式展开取Y(z)的z反变换，即可求得系统输
47、出在采样时刻的离散值为式中第一项为c(kT)的稳态分量；第二项为c(kT)的暂态分量，其中各子分量的形式决定于闭环极点的性质及其在z平面上的位置。闭环极点位置与系统过渡过程之间的关系如图7-35及图7-36所示，现分别讨论如下。（1）设pj为正实数，则对应的暂态分量按指数规律变化当pj1时，系统将是不稳定的。当pj=1时，极点在单位圆与正实轴的交点上，则对应的响应分量为等幅序列，系统则处于稳定边界当pj1时，极点在单位圆内的正实轴上，则对应的响应分量按指数规律衰减，极点越靠近原点，其值越小且衰减越快。（2）设pj为负实数，则对应的暂态分量按正负交替方式振荡。因为当k为偶数时，为正值；而当k为奇
48、数时，为负值。振荡角频率为采样频率的一半，即。这种情况下，过渡过程特性最坏。当pj1时，极点在单位圆外的负实轴上，对应的响应分量为正负交替发散振荡形式。当pj=1时，极点在单位圆与负实轴的交点上，对应的响应分量为正负交替等幅振荡形式。当1pj0时，极点在单位圆内的负实轴上，对应的响应分量为正负交替收敛振荡形式实数极点对应的暂态分量如图7-35所示。图7-35实数极点对应的暂态分量（3）当pj为复数时，则必为共轭复数，pj和pj+1成对出现，pj，pj+1=|pj|。则对应的暂态响应分量为余弦振荡形式，振荡角频率与共扼复数极点的幅角j有关（=j/T），j越大，振荡角频率越高。当|pj|1时，极点
49、在单位圆外的z平面上，则对应的响应分量为增幅振荡形式，系统将是不稳定的。当|pj|=1时，极点在单位圆上，则对应的响应分量为等幅振荡形式，系统处于稳定边界。当|pj|1时，极点在单位圆内，则对应的响应分量为衰减振荡形式。通过以上分析可知，为了使采样系统具有良好的过渡过程，其闭环极点应尽量避免配置在单位圆的左半部，尤其不要靠近负实轴。闭环极点最好配置在单位圆的右半部，而且是靠近原点的地方。这样，系统的过渡过程进行得较快，因而系统的快速性较好。复数极点及其对应的暂态分量如图7-36所示。图7-36复数极点对应的暂态分量2s平面等阻尼比线在z平面上的映射阻尼比是二阶系统最重要的特征参数，它对系统的动
50、态性能有决定性的影响。对于高阶系统，由于其主导极点一般是共轭复数极点，与其相应的阻尼比则对高阶系统的动态性能起着主要作用。对于采样系统闭环极点在z平面的分布，若仅从系统的绝对稳定性方面考虑，则只要位于单位圆内就可以了。但是，一般对控制系统都要求有一定的稳定裕量，因而要求闭环极点左离s平面虚轴有一定的距离，与之相对应，在z平面上的闭环极点则应限制在以原点为圆心、半径小于1的圆内。不仅如此，一般还要求控制系统的过渡过程具有一定的衰减程度，即要求系统的阻尼比不小于某值，于是又把系统在s平面的极点限制在两条等阻尼比线所形成的夹角之间。那么，与此相应，在z平面上，系统极点应处于什么位置才能满足阻尼比的要