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1、15-2 留数和留数定理一一、留数的定义和计算、留数的定义和计算二、二、留数定理留数定理三三*、函数在无穷远点的留数、函数在无穷远点的留数2设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点;内的内的 Laurent 级数级数:在在.的某去心邻域的某去心邻域包含包含的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线C.一一 、留数的定义和计算、留数的定义和计算30(高阶导数公式高阶导数公式)0(柯西积分定理柯西积分定理)41.定义定义 记作记作包含包含的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分的值的值后所得的数后所得的数以以的一个孤立奇点的一个孤立奇点,如果如果(Residue)则沿则沿内，内，除
2、除称为称为52.计算留数的一般公式计算留数的一般公式由由Laurent级数展开定理级数展开定理,定义留数的积分值是定义留数的积分值是f(z)在环在环域域 内内Laurent级数的负一次幂系数级数的负一次幂系数c-1(1)(1)若若z0为函数为函数f(z)的可去奇点的可去奇点,(负幂项的项数为零个负幂项的项数为零个),则它在点则它在点z0的留数为零的留数为零.注：注：当当z0为为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时的孤立奇点时,若若 为偶函为偶函数数,则则f(z)在点在点z0的去心邻域内的去心邻域内Laurent级数只含级数只含z-z0的偶次幂的偶次幂,其奇次幂系数都为其奇次幂系数都为0,得得6
3、如果如果 为为 的一级极点的一级极点,那么那么规则规则1 1成成Laurent级数求级数求(2)如果如果为为的本性奇点的本性奇点,(3)如果如果为为的极点的极点,则有如下计算规则则有如下计算规则展开展开则需将则需将7规则规则2 2 若若z0为为f(z)的的m级极点级极点,则对任意整数则对任意整数 有有说明说明 将函数的零阶导数看作它本身将函数的零阶导数看作它本身,规则规则1可可看作看作规则规则2当当n=m=1时的特殊情形时的特殊情形,且规则且规则2可取可取m=1.8规则规则3 3 如果如果设设及及在在都解析，都解析，那么那么为为的一级极点的一级极点,且有且有103.3.典型例题典型例题例例1
4、求求在在的留数的留数.解解11例例2 求求在在的留数的留数.分析分析是是的三级零点的三级零点由规则由规则2得得计算较麻烦计算较麻烦.12如果利用如果利用Laurent展开式求展开式求较方便较方便:解解13注意注意:如如 为为 m 级极点，当级极点，当 m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时,可直接展开可直接展开Laurent级数求级数求来计算留数来计算留数.2.在应用规则在应用规则2时时,取得比实际的级数高取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便级数高反而使计算方便.1.在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般不要将为了计算方便一般不要将m但有时
5、把但有时把m取得比实际的取得比实际的如上例取如上例取1414例例3 3求下列函数在指定点处的留数求下列函数在指定点处的留数(1),;(1),;解解：是函数是函数 的一级零点的一级零点,又是函数又是函数 的五级零点的五级零点.于是它是于是它是 的四级极点的四级极点,可用可用规则规则 计算计算其留数其留数,其中其中 ,为了为了计算简便计算简便应当应当取其中取其中 ,这时有这时有 1515另另解解：在在点点 的的去去心心邻邻域域 内内的的Laurent级数为级数为 ,其中其中 的项的系数为的项的系数为 ,从而也从而也有有 .例例3 3求下列函数在指定点处的留数求下列函数在指定点处的留数(1),;(1
6、),;16(2),;(2),;解解：在在点点 的的去去心心邻邻域域 内内的的LaurentLaurent级数为级数为 显然显然 为它的本性奇点为它的本性奇点,其中其中 的项的系的项的系数为数为 ,于是得于是得17(3),.(3),.解解：显显然然 是是 的的一一级级极极点点;可可是是不能用规则不能用规则 求其留数求其留数,由规则由规则 得得19二、留数定理二、留数定理定理定理1 若函数若函数f(z)在正向简单闭曲线在正向简单闭曲线C上处处解析，上处处解析，在在C的内部除有限个孤立奇点的内部除有限个孤立奇点z1,z2,zn外解析，外解析，则有则有留数概念的重要性在于下面的留数定理留数概念的重要性
7、在于下面的留数定理.它使它使得一些积分的计算变得十分容易得一些积分的计算变得十分容易.20例例4.4.计算下列积分计算下列积分(1)(1)解解：被积函数：被积函数 的奇点的奇点 和和 都在圆都在圆 的内部的内部,由规则由规则1,21,2可得以下结果可得以下结果 ;于是由留数定理得积分值为于是由留数定理得积分值为21(2)(2)解解：在在圆圆 的的内内部部有有一一个二级极点个二级极点 和两个一级极点和两个一级极点 ,于是利用留数的计算规则于是利用留数的计算规则 和和 得得22(2)(2)最后由留数定理得积分值为最后由留数定理得积分值为23例例5 计算计算积分积分C为正向圆周为正向圆周:解解 被积
8、函数被积函数有四个一级极点有四个一级极点都都在圆周在圆周的内部的内部,所以所以由规则由规则3 24例例6 计算积分计算积分C为正向圆周为正向圆周:解解 除除被积函数被积函数点外点外,无其他奇点，无其他奇点，在圆外。在圆外。所以所以25因此因此261 1 若若z0为函数为函数f(z)的的可去奇点可去奇点，(负幂项的项数为零个负幂项的项数为零个)，则它在点，则它在点z0的留数为零的留数为零.2 2 当当z0为为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若的孤立奇点时，若 为偶函为偶函数，则数，则f(z)在点在点z0的留数为零的留数为零.小结：留数的计算小结：留数的计算 3 若若z0为为f(z)的一级极点，则有的一级极点，则有4 若若z0为为f(z)的的m级极点，则对任意整数级极点，则对任意整数 有有275 设设f(z)=P(z)/Q(z)，其中，其中P(z)和和Q(z)在点在点z0都解析。都解析。若若 ，Q(z0)=0且且 ，则，则z0为为f(z)的一级极的一级极点，且有点，且有6 由由Laurent级数展开定理，级数展开定理，留数等于留数等于f(z)在环域在环域 内内Laurent级数的负一次幂系数级数的负一次幂系数c-128第第五五章章作业作业：P1831.（1）（2）（6）（7）8.（1）（2）（4）（7）9.（1）（）（2）13.（1）（）（3）（5）