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1、1一、留数的引入01010)()()(czzczzczfnn C0z)(zf设为的一个孤立奇点;内的洛朗级数:)(zfRzz 00在 nnzzczzc)()(0010z.的某去心邻域0zRzz 00邻域内包含0z的任一条正向简单闭曲线第1页/共31页第一页,共32页。212 ic zzzczzzczcnCnCCd)(d )(d0010 CCnnzzzczzzcd)(d)(1010 Czzfd)(积分积分0(高阶导数公式)0 (柯西-古萨基本定理)i 2的系数的系数洛朗级数中负幂项洛朗级数中负幂项101)( zzc第2页/共31页第二页,共32页。3zzficCd )(211 即即),(Res0
2、zzf 的留数的留数在在0)(zzf定义定义(dngy) 记作记作.),(Res0zzf域域内内的的洛洛朗朗级级数数中中负负.)(101的系数的系数幂项幂项 zzc为中心的圆环为中心的圆环在在即即0)(zzf)(0zfz 为函数为函数的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则沿则沿Rzzz 000的的某某个个去去心心邻邻域域在在内包含内包含0z的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分 Czzfd)(的值除的值除i 2后所得的数称为后所得的数称为.)(0的留数的留数在在zzf以以如果如果第3页/共31页第三页,共32页。4二、利用(lyng)留数求积分说明说明(shumng):上解析;
3、在Czf)(. 12. 留数定理(dngl)将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.1.留数定理留数定理)(zf在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤nzzz,21外处处解析外处处解析, C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线, 那末那末. ),(Res2d )(1 nkkCzzfizzf立奇点立奇点函数函数第4页/共31页第四页,共32页。5证证 nCCCzzfzzfzzfd)(d)(d)(21 zzfCd )(zzfizzfizzfinCCCd )(21d)(21d )(2121 ),(Res),(Res),(Res21nzzfz
4、zfzzf .),(Res1即即可可得得 nkkzzf证毕两边同时除以 且i 21z2znzDC.如图第5页/共31页第五页,共32页。62.留数的计算方法(1) 如果0z为)(zf的可去奇点, . 0),(Res0 zzf则则).()(lim),(Res000zfzzzzfzz如果 为 的一级极点, 那末0z)(zf规则规则(guz)1(guz)1成洛朗级数求.1 c(2) 如果0z为的本性奇点, )(zf(3) 如果0z为的极点, 则有如下计算规则)(zf)(zf展开则需将第6页/共31页第六页,共32页。7如果 为 的 级极点, 0z)(zfm).()(ddlim)!1(1),(Res0
5、1100zfzzzmzzfmmmzz 规则规则(guz)2(guz)2证证 2020)()()(zzczzczfmm )()(010101zzcczzc101010)()()()( mmmmzzczzcczfzz 10100)()(mmzzczzc那末(n m)第7页/共31页第七页,共32页。8,)!1()()(ddlim10110 cmzfzzzmmmzz10),(Res czzf所所以以+(含有 正幂的项)0zz 1)!1( cm).()(ddlim)!1(10110zfzzzmmmmzz )()(dd011zfzzzmmm 两边求1 m阶导数, 证毕得第8页/共31页第八页,共32页。
6、9规则规则(guz)3(guz)3 如果,0)(,0)(,0)(000 zQzQzP设,)()()(zQzPzf )(zP及)(zQ在0z都解析,证证0)(,0)(00 zQzQ因为因为0z所以所以的一级零点,为)(zQ)(1zQ0z的一级极点.为那末0z为的一级极点,)(zf.)()(),(Res000zQzPzzf 且有第9页/共31页第九页,共32页。10解析且0z. 0)()(00 zzP 在因此(ync),(1)(10zzzzQ 其中 在 解析且)(z 0z, 0)(0 z 0z所以所以为 的一级极点,)(zf)()(lim),(Res000zfzzzzfzz 00)()()(lim
7、0zzzQzQzPzz .)()(00zQzP . )()(1)(0zzPzzzf 第10页/共31页第十页,共32页。11三、在无穷远点的留数注意积分(jfn)路线取顺时针方向1 c1),(Res czf说明说明(shumng) Czzfid)(21记作记作 Czzfizfd)(21),(Res1.1.定义定义(dngy)(dngy)设函数设函数)(zf在圆环域在圆环域 zR内解析,内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线,为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线,11( )d2Cf zzi 那末积分的值与C无关,则称此定值则称此定值点的留数,点的留数,在在为为 )(zf第11页/
8、共31页第十一页,共32页。12.1z.2z.kz .证证 nkkzzfzf1),(Res),(Res CCzzfizzfid)(21d)(211. 0 由留数定义(dngy)有:(绕原点的并将kz内部的正向简单闭曲线)C包含在 2.定理二定理二如果函数如果函数)(zf在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只有有限个孤立奇点孤立奇点, 那末那末在所有各奇点在所有各奇点 (包括包括 点点) 的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.)(zf证毕第12页/共31页第十二页,共32页。13说明说明(shumng): 由定理得由定理得,),(Res),(Res1 zfzzfnkk nkkCzzfizz
9、f1),(Res2d )(留数定理(dngl).),(Res2 zfi计算(j sun)积分计算无穷远点的留数.zzfCd )( 优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数)第13页/共31页第十三页,共32页。143.在无穷远点处留数的计算(j sun)规则规则(guz)4(guz)4 0 ,11Res),(Res2zzfzf说明说明: 定理定理(dngl)二和规则二和规则4提供了计算函数沿闭曲线提供了计算函数沿闭曲线 0 ,11Res2d)(2zzfizzfC积分的又一种方法: 此法在很多情况下此法更为简单.第14页/共31页第十四页,共32页。15现取正向(zhn
10、xin)简单闭曲线C为半径足够大的正向(zhn xin)圆周 :. z,1 z令令, iireez 并设并设,1 r那末那末于是(ysh)有 Czzfizfd)(21),(Res 20d)(21 iiieefi证证.d12120 iireirefi第15页/共31页第十五页,共32页。16 202d)(121 iiirereirefi 12d1121fi. )1(为正向为正向 内除在 1 0 外无其他奇点 .0 ,11Res2 zzf证毕第16页/共31页第十六页,共32页。17四、典型(dinxng)例题例例1 求nzzezf )(在0 z的留数.解解阶阶极极点点,的的是是因因为为nzfz)
11、(0 0 ,Resnzze所以所以.)!1(1 n nznnnzzezzn110ddlim)!1(1第17页/共31页第十七页,共32页。18例例2 求6sin)()()(zzzzQzPzf 在0 z的留数.分析分析(fnx),0)0()0()0( PPP.0)0( P0 z是zzsin 的三级零点由规则(guz)3得.sinddlim)!13(10),(Res63220 zzzzzzfz的的三三级级极极点点,是是所所以以)(0zfz 计算(j sun)较麻烦.第18页/共31页第十八页,共32页。19如果利用洛朗展开式求1 c较方便: ! 5! 31sin5366zzzzzzzz.! 510
12、 ,sinRes16 czzz,!5!353 zz解解第19页/共31页第十九页,共32页。20说明说明(shumng): 0z如 为 m 级极点,当 m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开洛朗级数求1 c来计算留数 . 66550sinddlim)!16(10),(Reszzzzzzfz.! 51 2. 在应用(yngyng)规则2时, 取得比实际(shj)的级数高.级数高反而使计算方便. :6 m 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将m但有时把m取得比实际的如上例取第20页/共31页第二十页,共32页。21例例3 求51)(zezfz 在0 z的留数.解解 0
13、z是)(zf的四级极点. 1! 6! 5! 4! 3! 21116543255zzzzzzzzez,! 6! 51! 41! 31! 211234 zzzzz10),(Res czf所以所以.241! 41 在 z0内将展成洛朗级数:)(zf第21页/共31页第二十一页,共32页。22例例4 计算积分,d)1(2zzzeCz C为正向圆周:. 2 z解解zzzezzfzzd)1(lim0),(Res20 ,)1(lim20 zezz 221)1()1(ddlim)!12(11),(Reszzezzzfzz0 z为一级极点,1 z为二级极点,第22页/共31页第二十二页,共32页。23 zezz
14、zddlim121)1(limzzezz , 0 zzzeCzd)1(2 所以所以)01(2 i 1),(Res0),(Res2zfzfi .2 i 第23页/共31页第二十三页,共32页。24例例5 计算积分 Czzz,d14C为正向圆周:.2 z函数14 zz在2 z的外部, 除 点外没有其他(qt)奇点. Czzzd14 0 ,11Res22zzfi ),(Res2zfi 0 ,1Res24zzi. 0 解解 根据(gnj)定理 2与规则4: 第24页/共31页第二十四页,共32页。25与以下解法(ji f)作比较 :被积函数14 zz有四个一级极点i ,1都在圆周2 z的内部 , 所以
15、 Czzzd14 1),(Res1),(Res2 zfzfi ),(Res),(Resizfizf 由规则(guz)3 ,414)()(23zzzzQzP 第25页/共31页第二十五页,共32页。26 Czzzd14.0414141412 i可见(kjin), 利用无穷远点的留数更简单.例例6 计算积分 Czzizz,)3)(1()(d10C为正向圆周 :.2 z解解 除 )3)(1()(1)(10 zzizzf被积函数点外, 其他奇点为.3,1, i 第26页/共31页第二十六页,共32页。27由于i 与 1在C的内部, Czzizz)3)(1()(d101),(Res),(Res2zfiz
16、fi ),(Res3),(Res2 zfzfi 0)3(21210ii则),(Resizf ),(Res zf所以(suy)1),(Reszf 3),(Reszf .0 .)3(10ii 第27页/共31页第二十七页,共32页。28五、小结(xioji)与思考 本节我们学习了留数的概念、计算(j sun)以及留数定理. 应重点掌握计算(j sun)留数的一般方法,尤其是极点处留数的求法, 并会应用留数定理计算(j sun)闭路复积分.第28页/共31页第二十八页,共32页。29.2:,d)1(sin22正向正向计算计算 zCzzzzC思考题思考题第29页/共31页第二十九页,共32页。30思考
17、题答案思考题答案(d n). 1sin2放映结束放映结束(jish)(jish),按,按EscEsc退退出出. .第30页/共31页第三十页,共32页。31感谢您的观看(gunkn)!第31页/共31页第三十一页,共32页。NoImage内容(nirng)总结1。第2页/共31页。任意一条简单闭曲线 C 的积分。外处处解析, C 是 D内包围(bowi)诸奇。两边同时除以 且。如果 为 的一级极点, 那末。+(含有 正幂的项)。其中 在 解析且。为 的一级极点,。在所有各奇点 (包括 点)。的留数的总和必等于零.。说明: 由定理得。说明: 定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线。例1 求第三十二页,共32页。